和諧促成同構(gòu)，統(tǒng)一助力直觀

郭海萍 林新建

[摘? 要] 很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味，其最大原因就是經(jīng)常陷于“題?！辈荒茏园危苌購摹懊馈钡慕嵌热タ创忸}.文章以2021年全國統(tǒng)一考試模擬演練第8題為例，從“數(shù)學(xué)美”的視角出發(fā)，分別從“以‘和諧’促成同構(gòu)”與“以‘統(tǒng)一’助力直觀”兩方面來引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)中的“和諧美”與“統(tǒng)一美”.

[關(guān)鍵詞] 和諧;同構(gòu);統(tǒng)一;直觀

參數(shù)大小比較是近年來數(shù)學(xué)高考考查的熱點(diǎn)之一，這類題目因式子結(jié)構(gòu)雜亂，參數(shù)排列無序，給考生的解答帶來了極大的困難.為此，教學(xué)中教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生基于“數(shù)學(xué)美”的視角，挖掘此類問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系，并對已知式子作恰當(dāng)變形，構(gòu)造出和諧、對稱或統(tǒng)一的式子，方便問題的解決.

下面以一道新高考模擬演練題為例，就如何基于數(shù)學(xué)中的“和諧美”與“統(tǒng)一美”的視角來指引解題作一闡述，以饗讀者.

試題：（2021年全國統(tǒng)一考試模擬演練第8題）已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則（? ）

A. c<b<a B. b<c<a

C. a<c<b D. a<b<c

[?] 考點(diǎn)剖析

本題以比較大小的形式出現(xiàn)，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查考生綜合應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力，考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，綜合性強(qiáng)、難度較大.

[?] 解法探析

題目給出了三個(gè)式子及三個(gè)參數(shù)，且三個(gè)參數(shù)分別位于三個(gè)式子，由于看不出三個(gè)參數(shù)之間的聯(lián)系，因此也就無法直接對其進(jìn)行大小比較.

為此，需要對式子的模型特點(diǎn)作感知，以發(fā)掘式子的隱含信息，進(jìn)而對式子作適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)換，找出參數(shù)間的聯(lián)系，方能有效解決問題.

1. 以“和諧”促成同構(gòu)

基于“和諧美”對已知式子作恒等變形，得到=，=，=，進(jìn)而根據(jù)式子特征構(gòu)造出函數(shù)f（x）=（x>0），利用同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性和圖像解決問題.

解析：由已知可得=，=，=，且0<a<5，0<b<4，0<c<3，構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x>0），從而f（a）=f（5），f（b）=f（4），f（c）=f（3）. 因?yàn)閒′（x）=，所以函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而f（5）>f（4）>f（3），作出函數(shù)f（x）的大致圖像，如圖1所示. 因?yàn)?<a<5，0<b<4，0<c<3，所以0<a<1，0<b<1，0<c<1，且f（a）>f（b）>f（c），所以a<b<c.

評析：基于“和諧美”，對已知式子作出了恰當(dāng)?shù)淖冃?，使得其?guī)則與規(guī)律顯示了起來，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的“同構(gòu)”，彰顯了數(shù)學(xué)解題的“模型美”和“對稱美”.

“和諧美”是數(shù)學(xué)的一種重要美，表面上雜亂無章的式子，通過和諧的轉(zhuǎn)換，就會顯示出規(guī)則與規(guī)律. 教學(xué)中教師要引領(lǐng)學(xué)生感知數(shù)學(xué)的“和諧美”，運(yùn)用數(shù)學(xué)的“和諧美”，在美的感受中培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

如問題：（2020年全國Ⅰ卷理科第12題）若2a+loga=4b+2logb，則（? ）

A. a>2b B. a<2b

C. a>b2 D. a<b2

2. 以“統(tǒng)一”助力直觀

基于“統(tǒng)一美”對已知式子作恒等變形，得到右邊統(tǒng)一的三個(gè)關(guān)系式x=ex，x=ex，x=ex，進(jìn)而借助于一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)y=ex的圖像，直觀地解決問題.

解析：由已知得x=ex，x=ex，x=ex，且0<a<5，0<b<4，0<c<3，可知a，b，c分別是函數(shù)y=x，y=x，y=x與函數(shù)y=ex的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出上述函數(shù)的圖像，如圖2所示，由于直線y=ex與函數(shù)y=ex的圖像相切于點(diǎn)（1，e），而>e，>e，>e，所以函數(shù)y=x，y=x，y=x與函數(shù)y=ex的圖像均有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)均分別在（0，1），（1，+∞）上.

易知5，4，3分別是函數(shù)y=x，y=x，y=x與函數(shù)y=ex的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，但0<a<5，0<b<4，0<c<3，從而0<a<1，0<b<1，0<c<1，直觀分析即知a<b<c.

評析：基于“統(tǒng)一美”，對已知式子作出了恰當(dāng)?shù)淖冃?，發(fā)現(xiàn)了其圖形特征和變化規(guī)律，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的直觀與簡潔，彰顯了數(shù)學(xué)解題的“直觀美”和“簡潔美”.

“統(tǒng)一美”也是數(shù)學(xué)的一種重要美，表面上看起來毫不相關(guān)的內(nèi)容，卻可以通過一個(gè)概念、一個(gè)公式統(tǒng)一起來. 教學(xué)中教師要引領(lǐng)學(xué)生感知數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一美”，運(yùn)用數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一美”，在美的感受中培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).

再如問題：（漳州市2021屆高三畢業(yè)班適應(yīng)性測試）正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2-a=2，b+3b=3，c+logc=4，則實(shí)數(shù)a，b，c之間的大小關(guān)系為（? ）

A. b<a<c B. a<b<c

C. a<c<b D. b<c<a

[?] 教學(xué)建議

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味，其最大原因就是沒完沒了地做題，陷于“題?！辈荒茏园?，很少從“美”的角度去看待問題.

實(shí)際上，數(shù)學(xué)之美無處不在，數(shù)學(xué)“美”不只是一種審美標(biāo)準(zhǔn)，這種審美效應(yīng)還能直接作用于數(shù)學(xué)解題中. 在解題過程中，一旦題目所提供的信息與審美情感吻合，就會激起審美直覺，使人迅速地從“美”的角度確定解題思路，從而使問題得以解決. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能適當(dāng)換個(gè)視角去看待解題，讓學(xué)生欣賞其中的“數(shù)學(xué)美”，一定能更深刻地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

所以，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)美”的認(rèn)知活動，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中感知“數(shù)學(xué)美”、體悟“數(shù)學(xué)美”、追尋“數(shù)學(xué)美”，讓思路更加自然順暢，讓數(shù)學(xué)課堂更加生動有趣，讓他們在“美”的感受中分析問題和解決問題，進(jìn)而培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).