陳濤
摘 要:數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)在發(fā)展的過程中所積累下來的精髓,和數(shù)學(xué)知識一起構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的整個系統(tǒng),而數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)思想方法的重要組成,在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中占據(jù)著十分重要的地位。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中,由于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高、教學(xué)內(nèi)容過于抽象等原因,存在著教學(xué)質(zhì)量不佳的情況,因此,為了改善高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量,教師要加強教學(xué)中對數(shù)形結(jié)合思想方法的挖掘,引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系和幾何圖形之間的有效轉(zhuǎn)化,幫助學(xué)生深入探尋數(shù)學(xué)的本質(zhì),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);化難為簡;數(shù)形結(jié)合;函數(shù)教學(xué)
中圖分類號:G633.6?? 文獻標識碼:A?? 文章編號:1673-8918(2022)02-0056-04
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要部分,對學(xué)生數(shù)學(xué)知識框架的確立具有十分重大的影響,而盡管從初中數(shù)學(xué)教學(xué)起就一直在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的知識和方法,但是函數(shù)知識的抽象性和晦澀難懂的特點,導(dǎo)致學(xué)生無法真正了解函數(shù)的表達意義,從而導(dǎo)致了高中數(shù)學(xué)函數(shù)課堂效率不理想的現(xiàn)狀。對此,通過在函數(shù)教學(xué)中加強對數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透,可以將抽象的函數(shù)知識轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生容易接受的直觀形象,使學(xué)生可以使用形象思維來認識問題,達到化難為簡的作用,有助于提升教學(xué)的質(zhì)量。
一、 高中數(shù)形結(jié)合教學(xué)現(xiàn)狀
(一)在高中數(shù)學(xué)中,數(shù)形結(jié)合的運用不夠全面
在高中數(shù)學(xué)的課堂教育中,教師對于數(shù)形結(jié)合的運用以及理解認知都不夠全面,這也就會影響課堂的教學(xué)成果,據(jù)了解目前很多教師對于高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合知識了解得還不夠透徹。如果再遇到課堂數(shù)學(xué)解題的過程中,教師沒有理解數(shù)形結(jié)合這一方法的本質(zhì),那么可能會導(dǎo)致學(xué)生在了解數(shù)形結(jié)合的初步階段就遇到阻礙,不能夠完全對幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)換角度進行合理的分析,繼而學(xué)生的思維也會受到限制。
(二)高中學(xué)生無法完全掌握數(shù)形結(jié)合的方法
每一個學(xué)生受到的教育以及成長環(huán)境不同,對于知識的理解程度也不同,這使得學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的理解會產(chǎn)生差異,許多學(xué)生沒有完全掌握數(shù)形結(jié)合的解題方法,無法從思想上認識到數(shù)形結(jié)合的重要性,這也使得學(xué)生沒有辦法靈活地運用數(shù)形結(jié)合來思考數(shù)學(xué)問題以及解決問題。那么,數(shù)學(xué)難題中的一些隱藏信息就無法被挖掘出來,這會嚴重地影響到學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的能力。
二、 數(shù)形結(jié)合思想的原則分析
(一)等價性原則
和枯燥的數(shù)學(xué)理論知識相比較,數(shù)形結(jié)合法也在一定程度上降低了理解知識的難度,并且圖像和圖形的變換過程還可以吸引學(xué)生的注意力,讓他們更有興趣去探索數(shù)學(xué)知識。在整個過程中,學(xué)生的思維被有效地調(diào)動了起來,而且教師可以用其他的方法,比如說運用一些生活中常見的物體來展現(xiàn)這些圖形,幫助學(xué)生分析直線位置變化的情況以及直線與圓之間的位置關(guān)系。這種方式不僅可以吸引學(xué)生的注意力,而且將理論和實踐相結(jié)合,學(xué)生也會更快地掌握知識內(nèi)容,整個課堂也會變得非?;钴S,可以進一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣。
數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與幾何圖像之間的轉(zhuǎn)化,從而換一種思路來思考或者解決問題。因此,要想實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的目的,就必須要遵循等價性的原則,也就是確保轉(zhuǎn)化出的圖像或者數(shù)量必須具有一致性,不影響問題的解決。
比如,針對“x15=4sinx有幾個實根”這個問題,學(xué)生在解決的過程中可以首先對問題進行轉(zhuǎn)化,得到y(tǒng)=x15和y=4sinx這兩個函數(shù),并且,通過直接觀察就可以得到,這兩個函數(shù)都是奇函數(shù),所以在畫圖的過程中只需要考慮右半軸的圖像繪制即可。而要想得到正確的結(jié)論,就需要學(xué)生繪制出標準的圖像,完整地找到兩個函數(shù)圖像之間的交點,不然就會導(dǎo)致錯誤的發(fā)生。
(二)雙向性原則
高中的數(shù)學(xué)知識在一定程度上存在著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性。在教學(xué)過程中知識點之間的聯(lián)系不會被刻意放大,所以在高中學(xué)生的腦海里,這些知識點都是被打亂的,學(xué)生很難通過自己的能力去探索數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系。這就需要通過數(shù)形結(jié)合法將數(shù)學(xué)知識進行有效的銜接,讓學(xué)生的腦海里可以形成一個完整的知識體系。高中數(shù)學(xué)知識具有復(fù)雜性和抽象性,學(xué)習(xí)起來比較困難,很多學(xué)生都會因為無法理解高中數(shù)學(xué)知識,產(chǎn)生心理落差。在這個時候教師更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合法去理解這些數(shù)學(xué)難題,讓他們對數(shù)學(xué)知識的理解從簡單到難形成一個合理的過渡。
數(shù)形結(jié)合思想的使用給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了很多的便利,成為學(xué)生十分喜愛的一種問題解決方式。但是在實際的教學(xué)中,我們可以發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的理解還不夠透徹,認為數(shù)形結(jié)合就是用畫圖像的方式來解決問題,這種思想將“形”的價值體現(xiàn)了出來,卻忽視了數(shù)形結(jié)合中“數(shù)”的價值和“結(jié)合”的內(nèi)涵,從而導(dǎo)致了學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用不夠理想的情況。數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休,因此,在運用數(shù)形結(jié)合來解決問題的過程中,學(xué)生必須認識到數(shù)量關(guān)系和圖像之間的轉(zhuǎn)換是雙向的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美。
以如下問題為例:假設(shè)目標函數(shù)當(dāng)中的兩個變量x和y滿足數(shù)量關(guān)系{x|2y-5x≤0;x-y-2≤0;x≥0},那么目標函數(shù)z=4x+6y+1的最大值是多少?要想使用數(shù)形結(jié)合的思想來解決這個問題,首先就需要學(xué)生對題目當(dāng)中的目標函數(shù)進行處理,轉(zhuǎn)變成為我們熟悉的“y=”的形式,之后再根據(jù)轉(zhuǎn)化得到的結(jié)論來進行畫圖,根據(jù)函數(shù)最值的理論知識來快速地解決問題。這樣,在這道問題中,學(xué)生一方面可以感受幾何圖像直觀的優(yōu)勢,另一方面也可以體會到精確運算的簡潔之美,這正是數(shù)形結(jié)合的魅力所在。
(三)簡單性原則
數(shù)形結(jié)合可以更加直觀地反映數(shù)學(xué)思想,高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中靈活地運用數(shù)形結(jié)合法具有重要意義。它可以讓學(xué)生更加快速地掌握數(shù)學(xué)知識,進而提高學(xué)生的綜合能力和素養(yǎng),在解題的過程中,學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合法可以拓展數(shù)學(xué)思維,尤其是在學(xué)習(xí)幾何知識點時。通過運用數(shù)形結(jié)合可以快速有效地分析出數(shù)學(xué)題目,找出其中的關(guān)鍵點,并且進一步解出答案,在一定程度上降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的難度。數(shù)形結(jié)合解題方法是高中時期大大小小考試的高頻考點。現(xiàn)如今,全國數(shù)學(xué)高考大綱紛紛指向?qū)W生數(shù)學(xué)思維邏輯的培養(yǎng)。從新課程標準對思維能力的要求來看,數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生樹立現(xiàn)代思維意識。為充分轉(zhuǎn)化高中生僵化的思維邏輯及解題思路,我們教師必須要教會學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合。
其實最能夠體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合方法的就是函數(shù)方程。很多學(xué)生在解決函數(shù)問題的過程中會產(chǎn)生厭煩的情緒,這是因為學(xué)生首先想到的是自己將要進行大量的數(shù)學(xué)運算,而數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的直接應(yīng)用目的就是幫助學(xué)生更加便捷地解決問題,使學(xué)生可以擺脫過多的運算步驟,用簡單直接的方法去解決問題,提高學(xué)生思考問題的效率,展示數(shù)學(xué)的簡潔之美。
比如,針對函數(shù)問題:y=ax-x-a(a>0并且a≠1),y有兩個零點,那么a的取值范圍是?如果學(xué)生首先想要使用運算的方式去解決問題,那么很容易走進“死胡同”,找不到解題的思路,但是如果想到了數(shù)形結(jié)合思想,則可以對題目當(dāng)中的函數(shù)進行處理,轉(zhuǎn)化出g(x)=ax(a>0并且a≠1)和 h(x)=x+a這兩個新的函數(shù),接下來只需要通過分類的方式畫出兩個函數(shù)在同一坐標系當(dāng)中的圖像,就可以很快地得出結(jié)論。
三、 數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用途徑
(一)在函數(shù)新知初探中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中一步步地體現(xiàn)出它的優(yōu)勢,但是在實際的運用過程中,仍然存在一些問題。比如說,教師對于數(shù)形結(jié)合法的理解不夠透徹,這導(dǎo)致了學(xué)生無法正確地理解它的使用方法。因此教師需要全面理解數(shù)形結(jié)合法,并且找出其中問題的存在,對教學(xué)的內(nèi)容進行相應(yīng)的調(diào)整,使得數(shù)形結(jié)合法發(fā)揮出真正的作用?;A(chǔ)決定上層建筑,學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)函數(shù)知識時如果形成了良好的數(shù)形結(jié)合意識,則可以為后續(xù)解決更多的問題奠定扎實的基礎(chǔ),極大地提升學(xué)生在整個高中時期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。
比如,在教學(xué)“集合的含義與表示”這一節(jié)內(nèi)容時,學(xué)生對知識的掌握將會直接影響到學(xué)生對函數(shù)定義的理解,對后續(xù)的教學(xué)至關(guān)重要。因此,教師絕不能滿足于學(xué)生對集合概念的機械式記憶,而是要讓學(xué)生從多個角度進行探索,充分地消化吸收集合的概念。首先,在學(xué)生簡單了解了集合的定義之后,筆者向?qū)W生提出了一個問題:現(xiàn)在有兩個集合,集合A={1,2,3},集合B={1,2,3,4,5},那么你們猜一猜下面的哪張圖可以用來表示這兩個集合之間的關(guān)系?然后在黑板上給學(xué)生畫出了兩張圖像,一張圖像是集合B包裹著集合A,另一張是集合A包裹著集合B。學(xué)生很快說出第一張圖像是正確的。這樣,就引申出了韋恩圖的概念。之后,筆者接著讓學(xué)生思考:為什么會發(fā)明出韋恩圖這種表達方式呢?從而引導(dǎo)學(xué)生去思考數(shù)形結(jié)合的意義,使學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合在解決問題上的優(yōu)越性,在層層遞進的探索中獲得一次成功的數(shù)形結(jié)合體驗,為學(xué)生后續(xù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中深入使用數(shù)形結(jié)合思想奠定好基礎(chǔ)。
(二)在尋求解題方法中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想
解決問題是在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的主要路徑,對于鞏固學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識大有幫助。數(shù)量關(guān)系和幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的兩個主要對象,幾乎所有的函數(shù)問題都和數(shù)形結(jié)合有著一定的聯(lián)系。因此,在引導(dǎo)學(xué)生探索函數(shù)問題解決方法的過程中,教師一定要將數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思路,對學(xué)生進行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的印象,取得更好的問題解決策略。
比如,在復(fù)習(xí)“三角函數(shù)”知識的過程中,筆者在練習(xí)課上給學(xué)生展示了一道問題:求出函數(shù)y=sinx+2cosx-2的值域。這個問題看起來很簡單,但是其中蘊含著的數(shù)學(xué)知識點卻十分豐富,可以作為鍛煉學(xué)生解題能力的經(jīng)典題型。在學(xué)生了解題目的內(nèi)容和要求之后,我首先讓學(xué)生使用自己喜歡的方法去解決問題,最后發(fā)現(xiàn)班級里一共出現(xiàn)了兩種解題思路,一種是代數(shù)的方法,學(xué)生通過對函數(shù)y進行變形,利用三角函數(shù)的有界性性質(zhì)來解決問題;另一種就是數(shù)形結(jié)合的方法,學(xué)生通過繪制相關(guān)的圖像,利用斜率的知識來解決了問題。在展示出了學(xué)生的想法之后,筆者和學(xué)生一起對兩種思路的特點和適用性進行分析,讓學(xué)生對如何使用幾何圖形來促進數(shù)量關(guān)系的解決產(chǎn)生更加深刻的認識。
(三)在知識歸納總結(jié)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想
知識是數(shù)學(xué)思想方法的載體,因此,在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想,更多的是體現(xiàn)在知識性的教學(xué)中。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的函數(shù)知識是按照一定的順序被編排在教材上的,但是數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)知識中的體現(xiàn)卻比較的分散,因此,教師還需要從知識歸納的角度來引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,讓學(xué)生形成廣泛應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的意識,從而發(fā)揮出數(shù)形結(jié)合思想的核心作用。
比如,在高三階段針對函數(shù)知識進行復(fù)習(xí)的過程中,筆者引導(dǎo)學(xué)生進行了一次類似頭腦風(fēng)暴的活動,讓學(xué)生說一說自己印象當(dāng)中在函數(shù)知識學(xué)習(xí)或者解題過程中會用到數(shù)形結(jié)合思想的地方。這樣的活動引起了學(xué)生的好奇心,學(xué)生開始說出自己的經(jīng)驗,包括解決三角函數(shù)時應(yīng)用到的數(shù)形結(jié)合思想、韋恩圖、不等式函數(shù)中數(shù)軸的應(yīng)用等。將學(xué)生的觀點都記錄下來之后,筆者和學(xué)生一起對相關(guān)知識進行了整理,制作出簡單的思維導(dǎo)圖,讓學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思想融入自己的知識系統(tǒng)中去。
(四)在函數(shù)知識回顧中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想
反思是提升學(xué)生能力的主要途徑。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過程中,教師要及時地引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)的知識進行回顧,加深學(xué)生的印象,并且使學(xué)生對其中應(yīng)用到的數(shù)形結(jié)合思想進行系統(tǒng)的整理,促使學(xué)生獲得從感性到理性上的跨越,真正地將數(shù)形結(jié)合思想的使用轉(zhuǎn)變?yōu)樽约旱慕忸}能力和學(xué)習(xí)能力,從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。
比如,在讓學(xué)生求解“求出函數(shù)y=sinx+2cosx-2的值域”這一問題時,筆者在學(xué)生解決了題目之后,讓學(xué)生進行思考,想一想為什么這道問題可以使用數(shù)形結(jié)合的方法去解決,從而讓學(xué)生站在出題者的角度去考慮問題,明白是因為這種問題的子結(jié)構(gòu)具有特殊性,從而讓學(xué)生在遇到類似問題時可以快速地發(fā)現(xiàn)使用數(shù)形結(jié)合解題的思路。這樣,通過讓學(xué)生對函數(shù)當(dāng)中的數(shù)形結(jié)合思想進行回顧,有助于使學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思想進行內(nèi)化,促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提升。
(五)在函數(shù)知識教學(xué)中建立學(xué)生數(shù)形結(jié)合思路
教師在對學(xué)生進行數(shù)形結(jié)合課堂教學(xué)的時候,要有效地結(jié)合本中教材的例題,以此來促進學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的了解,掌握數(shù)形結(jié)合的思考方法以及思路延伸。在高中教學(xué)中,如“反三角函數(shù)”“指數(shù)函數(shù)”等內(nèi)容,利用數(shù)形結(jié)合的方式來引導(dǎo)學(xué)生解答問題,明白概念是一個非常有效的方法。但是,教師在施教的過程中,要注重通過教材的引導(dǎo),讓學(xué)生自己建立起一個對數(shù)形結(jié)合概念的認知,從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和邏輯能力。
比如,在學(xué)習(xí)“平面解析幾何初步”的時候,教師就可以讓學(xué)生通過“數(shù)形結(jié)合”的方式對題目進行分析和解答,增強學(xué)生對結(jié)合圖形的判斷力和分析能力。教師可以告訴學(xué)生,在學(xué)習(xí)平面解析幾何初步的時候,可以通過“以形幫數(shù)”的方式來分析題目。在面對題目的時候,可以把原有的圖形進行拆分或者合并,然后計算出幾何的部分數(shù)據(jù),在得出可以延伸的數(shù)據(jù)之后,再將之拆分開,逐個計算,逐個分析。并且要在曲線與方程式之間建立起良好的對應(yīng)和呼應(yīng)關(guān)系,讓整個題目的前后能夠緊密銜接起來,滿足數(shù)形結(jié)合的要求,實現(xiàn)“以形幫數(shù)”?;蛘呓處熆梢砸龑?dǎo)學(xué)生,通過畫圖或者畫坐標的形式來進行數(shù)學(xué)題目的空間結(jié)構(gòu)概念推理,讓學(xué)生的大腦中形成一種立體概念,能自行地構(gòu)建一個解題的思路。以此為法,結(jié)合課本教材對學(xué)生進行數(shù)形結(jié)合解題思路的培養(yǎng),能有效建立學(xué)生的學(xué)習(xí)和解題思路,幫助學(xué)生在將來的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中攻堅克難。特別是在面對一些異面直線成直角、平面與平面之間成角等問題時,以數(shù)形結(jié)合的方式進行解答和分析,能大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和解題速度,幫助學(xué)生構(gòu)建起一個完整的數(shù)學(xué)思維框架。
綜上所述,函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點,在教學(xué)過程中,教師絕不能使用灌輸式的教學(xué)手段,讓學(xué)生死記硬背題型,而是要充分挖掘數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用價值,引導(dǎo)學(xué)生從更多的角度來看待函數(shù)問題,深化學(xué)生對函數(shù)問題的解決能力,使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到發(fā)展,從而提升高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的效果。教師在進行高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的時候,想要有效地提高課堂教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,就要利用有效的教學(xué)手段對學(xué)生進行引導(dǎo)和培養(yǎng),讓學(xué)生學(xué)會通過技巧性的方法來學(xué)習(xí),提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力。而且在教學(xué)過程中,教師要嚴格按照教材規(guī)定開展教學(xué),并且要緊密地結(jié)合課堂實際問題,以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為導(dǎo)向教育學(xué)生。
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