整式概念學(xué)習(xí)中常見錯(cuò)誤例析

?湖南省長沙市特殊教育學(xué)校 陳賽蘭

整式分為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，對(duì)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的有關(guān)概念，教材中都作了嚴(yán)格的界定.但由于學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵理解不透徹、不到位，導(dǎo)致做題時(shí)出錯(cuò)；抑或?qū)Ω拍畹耐庋铀奶厥鈱?duì)象了解不夠，認(rèn)識(shí)不足，導(dǎo)致做題時(shí)出錯(cuò).以下筆者結(jié)合實(shí)例，作一分析！

1 在區(qū)分單項(xiàng)式和多項(xiàng)式時(shí)出錯(cuò)

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式只有一字之差，但意義卻完全不同.單項(xiàng)式是數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式，它包括三種類型：單獨(dú)的數(shù)字；單獨(dú)的字母；數(shù)與字母的乘積.單獨(dú)的數(shù)字可以看作字母指數(shù)為0的單項(xiàng)式，單獨(dú)的字母可以看作系數(shù)是1或-1的單項(xiàng)式.當(dāng)整式里的單項(xiàng)式不止一個(gè)時(shí)，這時(shí)的整式就稱為多項(xiàng)式，多項(xiàng)式實(shí)際上是多個(gè)單項(xiàng)式的組合體.

錯(cuò)解：單項(xiàng)式有②⑥；多項(xiàng)式有③⑤.

正解：單項(xiàng)式的有①④⑥；多項(xiàng)式的有②③.

例2下列判斷錯(cuò)誤的是( ).

B.2 020是單項(xiàng)式

C.-a不是單項(xiàng)式

錯(cuò)解：AD.

正解：C.

評(píng)注：正確理解單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的概念是解決問題的前提條件.在區(qū)分單項(xiàng)式與多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)著重觀察整式中是否含有加號(hào)或減號(hào)，若含有則是多項(xiàng)式，若沒有則是單項(xiàng)式.

2 在確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)時(shí)出錯(cuò)

在合并同類項(xiàng)時(shí)，參與運(yùn)算的是幾個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)，不變的是字母與字母的指數(shù).而同類項(xiàng)也是單項(xiàng)式，所以確定單項(xiàng)式的系數(shù)很重要，它是正確合并同類項(xiàng)的前提.單項(xiàng)式的次數(shù)是單項(xiàng)式的一個(gè)重要特征，其對(duì)于多項(xiàng)式次數(shù)的確定至關(guān)重要.

錯(cuò)解：①4；②6.

例4已知(m-3)x3y|m|+1是關(guān)于x，y的七次單項(xiàng)式，則m2-2m+2=.

錯(cuò)解：5或17.

剖析：單獨(dú)的一個(gè)數(shù)也是單項(xiàng)式，如數(shù)0，它的系數(shù)是0，次數(shù)也是0；15，它的系數(shù)是15，次數(shù)是0.既然例4中的單項(xiàng)式的次數(shù)不是0，那么就必須保證字母的存在.保證字母存在需要滿足單項(xiàng)式的系數(shù)不能為0，并且所有字母的指數(shù)和不為0.根據(jù)題意，可得3+|m|+1=7且m-3≠0，解得m=-3.所以m2-2m+2=9+6+2=17．

正解：17.

評(píng)注：在確定單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，先要把式子寫成乘積的形式，然后再找數(shù)字因數(shù)；在確定單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，只關(guān)注其中的字母，然后把字母的指數(shù)相加即可.

3 在確定多項(xiàng)式的項(xiàng)時(shí)出錯(cuò)

多項(xiàng)式的項(xiàng)是指其中的每一個(gè)單項(xiàng)式，弄清多項(xiàng)式里的每一項(xiàng)尤為重要.在進(jìn)行多項(xiàng)式的升降排列時(shí)，需要對(duì)多項(xiàng)式的某些項(xiàng)重新調(diào)整位置，只有理清了每一項(xiàng)，才不會(huì)出錯(cuò)；在整式的加減運(yùn)算中，去括號(hào)及合并同類項(xiàng)，都需要變動(dòng)其中某一項(xiàng)的位置，這也要求學(xué)生知道多項(xiàng)式的每一項(xiàng).

例5多項(xiàng)式2a-3a2b3+4ab2-16的最高次項(xiàng)是，常數(shù)項(xiàng)是.

錯(cuò)解：最高次項(xiàng)是5,常數(shù)項(xiàng)是16.

剖析：多項(xiàng)式的項(xiàng)是指多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式，每個(gè)單項(xiàng)式都包括它系數(shù)的正負(fù)號(hào)，所以例5中的多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)是-3a2b3，而5是最高次項(xiàng)的次數(shù).常數(shù)項(xiàng)是-16，不能丟掉它前面的符號(hào).

正解：最高次項(xiàng)是-3a2b3，常數(shù)項(xiàng)是-16.

例6關(guān)于多項(xiàng)式-x3y+xy-7，下列說法錯(cuò)誤的是( ).

A．是四次三項(xiàng)式 B．最高次項(xiàng)系數(shù)是-1

C．不含二次項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)是-7

錯(cuò)解：AD.

剖析：多項(xiàng)式的項(xiàng)是指多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式，每個(gè)單項(xiàng)式都包括它系數(shù)的正負(fù)號(hào).所以例6中的多項(xiàng)式由三項(xiàng)組成，分別是-x3y，+xy，-7.其中-x3y是最高次項(xiàng)，它的系數(shù)是-1，次數(shù)是4；+xy是二次項(xiàng)，系數(shù)是+1，次數(shù)是2；-7是常數(shù)項(xiàng).

正解：C.

評(píng)注：注意“最高次項(xiàng)”“最高次項(xiàng)的次數(shù)”“最高次項(xiàng)的系數(shù)”這幾個(gè)名詞的不同,它們主語分別是“項(xiàng)”“次數(shù)”“系數(shù)”，前面的文字是主語修飾詞.雖然研究的是同一項(xiàng)，但所關(guān)注的要素不同.

4 在確定多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)出錯(cuò)

多項(xiàng)式的次數(shù)是指在多項(xiàng)式中，比較各單項(xiàng)式項(xiàng)的次數(shù)，將次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)作為多項(xiàng)式的次數(shù).多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式的重要內(nèi)容，當(dāng)我們說某個(gè)多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)式時(shí)，首先要確定它的次數(shù)；在確定整式方程是幾次方程時(shí)，實(shí)際上也是依據(jù)多項(xiàng)式次數(shù)的概念進(jìn)行定義的.

例7若m，n均為自然數(shù)，且m

錯(cuò)解：n=4.

剖析：π是圓周率，是一個(gè)常數(shù)，所以-πn+2也是一個(gè)常數(shù).多項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)因?yàn)椴缓帜福运拇螖?shù)為0，從而常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)最低.因?yàn)閙

正解：n=5.

例8已知關(guān)于x，y的多項(xiàng)式x4+(m+2)xny-xy2+3．

(1)當(dāng)m，n為何值時(shí)，它是五次四項(xiàng)式？

(2)當(dāng)m，n為何值時(shí)，它是四次三項(xiàng)式？

錯(cuò)解：(1)n=4，m為任意實(shí)數(shù)；(2)m，n均為任意實(shí)數(shù).

剖析：(1)多項(xiàng)式x4+(m+2)xny-xy2+3中，第一、二、三、四項(xiàng)的次數(shù)分別是4，(n+1)，3，0，要使這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)為5，則n+1=5，解得n=4.但是第二項(xiàng)的系數(shù)是m+2，當(dāng)它為0時(shí)，則不合題意，因此m+2≠0，即m≠-2.(2)要把原來的四項(xiàng)式變?yōu)槿?xiàng)式，必須讓其中的一項(xiàng)為0，觀察多項(xiàng)式可以發(fā)現(xiàn)，第一、三、四項(xiàng)都不可能為0，只有第二項(xiàng)有這個(gè)條件，因?yàn)樗南禂?shù)是m+2.因此，當(dāng)m+2=0時(shí)，即m=-2，多項(xiàng)式變?yōu)槿?xiàng)式，此時(shí)n為任意實(shí)數(shù).

正解：(1)n=4，m≠-2.

(2)m=-2，n為任意實(shí)數(shù).

評(píng)注：在確定多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，只觀察含字母的項(xiàng)，在含字母的項(xiàng)中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就是所求多項(xiàng)式的次數(shù).特別注意的是“π”也表示一個(gè)數(shù)，只不過它是我們將來要學(xué)習(xí)的無理數(shù).它不是字母.

“人非圣賢，孰能無過”！在新知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，由于學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)角度及側(cè)重點(diǎn)不同，因此犯一些錯(cuò)誤也是正常的.隨著錯(cuò)誤的糾正，學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)會(huì)更加深刻，同時(shí)，也提高了自身的思辨能力.人生不就是在不斷的犯錯(cuò)糾錯(cuò)中成長起來的嗎？