函數(shù)與規(guī)律探索相撞出思維火花

?浙江省杭州市蕭山區(qū)高橋初級中學 施燕芬

1 問題提出

在平時的學習中，常常會碰到規(guī)律探索問題，這類問題一般給出一列數(shù)、一列式子或一列圖形等形式，通過觀察、比較、歸納、猜想的過程，尋求內(nèi)在規(guī)律，然后依據(jù)規(guī)律加以運用．此類問題有效地考查了學生的邏輯推理、歸納猜想、發(fā)現(xiàn)探索，以及運用所學知識和方法分析、解決數(shù)學問題的能力，考查的數(shù)學思想有：特殊與一般、類比、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸．

一般規(guī)律題的解答是先找出相鄰兩項間的聯(lián)系及各項中的數(shù)字與序號之間的關(guān)系，再從特殊到一般進行觀察與猜想，得到一般規(guī)律．但是隨著課改的不斷深入，規(guī)律探索問題也有了新變化，面對新問題，應(yīng)該具體對待．本文中介紹與前面不一樣的規(guī)律探索方法：直接從問題的一般情況出發(fā)，得出一般規(guī)律；或在計算多個幾何量(或多個數(shù))之和時，不分別計算每個變量的具體值,而只求出由這些變量構(gòu)成的某個代數(shù)式的整體值.這種從一般情況分析、或從整體分析處理問題的方法，使問題解決更合理、更簡潔且實用．

2 求點的坐標

例1(德陽中考)如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A在第一象限，點B在x軸的正半軸上，△AOB為正三角形，射線OC⊥AB，在OC上依次截取點P1，P2，P3，……，Pn，使OP1=1，P1P2=3，P2P3=5，……，Pn-1Pn=2n-1(n為正整數(shù))，分別過點P1，P2，P3，……，Pn向射線OA作垂線段，垂足分別為Q1，Q2，Q3，……，Qn,則點Qn的坐標為.

圖1

圖2

下面只需解決OQn與OPn的關(guān)系.

在Rt△OPnQn中，由∠QnOPn=30°，可得

點評：規(guī)律探究問題通常由特殊到一般，由具體到抽象，找出幾個特殊情況，再去類比、猜想、分析一般的規(guī)律特征．本題若按部就班，則涉及的點太多，關(guān)系過于復雜.因此，反其道而行之，直接去求點Qn的坐標.利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，尋找Qn的橫縱坐標與OQn的關(guān)系，進一步尋找OQn與OPn的關(guān)系即可解決．同時，求OPn運用整體思想解決顯得渾然天成、精彩靈動．

3 求線段和

因此選:C．

進一步拓展：原題已知條件不變，把所求結(jié)論部分改成“求A1B1+A2B2+A3B3+……+AnBn的值”．

4 求與反比例函數(shù)有關(guān)的三角形面積之和

圖3

圖4

點評：本題若將所求三角形的面積一個一個算出來，再去尋找規(guī)律，過程會顯得繁瑣而冗長；而利用每個三角形的底邊為1及反比例函數(shù)圖象上點的特征，再運用平移及整體思想，將分散的線段平移到同一條線段上，則可快速解題，化困難為神奇，不得不拍手稱快．

5 教學啟示

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》提出，數(shù)學學習不僅包括數(shù)學的一些現(xiàn)成結(jié)果，還包括這些結(jié)果的形成過程．規(guī)律探索性問題，正是新課程理念下培養(yǎng)學生觀察、實驗、操作、歸納、猜想，發(fā)展學生的直覺思維和合情推理能力的絕好材料.它不僅可以考查學生發(fā)現(xiàn)問題、自主探究、解決問題等綜合能力，暴露學生在解題過程中的思維品質(zhì)，還能反饋學生對數(shù)學思想方法的掌握情況，較直觀地反映出學生的數(shù)學素養(yǎng)，體現(xiàn)出新時期下數(shù)學課程的基本要求．

探索性問題的素材包羅萬象，一切都可入題；題型之多彩，設(shè)計之巧妙，相對于傳統(tǒng)試題來說是一種突破，是一種創(chuàng)新．規(guī)律探索是發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的一種創(chuàng)造性思維，也是探索發(fā)現(xiàn)新知識的一種重要手段，一般按照“問題—猜想—驗證—總結(jié)—結(jié)論”的流程進行解題．在平時的學習中，我們不但要探討此類問題的一般解法，也要有意識地甄選出別樣解法的試題進行對比訓練.這樣學生便可以靈活運用解題方法，從整體上把握題目，創(chuàng)造性地分析解答問題，不僅有助于形成整體性的思維方式，而且更能夠讓學生在解題過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的無窮魅力．

當然以上各題不用整體思想也可以求出，只是過程更長一點，運用整體思想解題則體現(xiàn)出創(chuàng)造性解決問題的能力，是求簡意識的體現(xiàn)．因此，在平時訓練時，我們不僅要思考怎樣去分析題意、探索解題思路，更重要的是思考怎樣才是最簡的，其解法又是怎樣想到的．這里的核心，不是從一題多解的基礎(chǔ)上找出一個最優(yōu)解，因為這樣做太浪費時間和精力，而是培養(yǎng)學生從一開始就能較為迅速地尋求和發(fā)現(xiàn)解決問題的最優(yōu)路徑的意識和能力，或者說幫助學生如何去制定出最佳的解決方案，這是我們在習題教學中要努力實現(xiàn)的目標．正如高斯所說，“去尋求一種最美和最簡捷的證明，乃是吸引我去研究數(shù)學的主要動力”．也正是這種動力，才能從更高層次上去激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，進而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和探究能力．