巧添“輔助線” 妙解幾何問題

?江蘇省江陰市顧山中學(xué) 吳靈姿

大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)平面幾何內(nèi)容時都感覺到有點難度，歸根到底是在處理一些問題的過程中難以把握怎么作“輔助線”，有的問題一旦確定了輔助線的添加方法，問題就變得非常容易.文章圍繞初中平面幾何問題如何添加輔助線主要從四個方面做了細致分析，旨在為大家提供解決相關(guān)問題的實例研究.

1 添加“輔助線”，構(gòu)造新圖形

我們在解決一些幾何圖形問題的過程中，常常是從已知條件出發(fā)，分析條件得到某個結(jié)論，然后向未知靠攏.但是在一些問題的分析中，卻很難將已知與未知聯(lián)系起來，這就需要我們適當(dāng)添加“輔助線”，構(gòu)造新的幾何圖形，建立橋梁關(guān)系，將待解問題轉(zhuǎn)化為可解問題.下面筆者結(jié)合具體案例淺淡下對作輔助線的幾點認(rèn)識.

例1(2022南京)如圖1，將平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到平行四邊形AB′C′D′的位置，使點B′落在BC上，B′C′與CD交于點E．若AB=3，BC=4，BB′=1，求CE的長．

圖1

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AB=AB′，考慮到等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，如圖2，作輔助線AM⊥BB′，垂足為M，過點B作BN⊥AB′于點N，再計算CE的長.圍繞CE構(gòu)造直角三角形，過點E作EG⊥BC，交BC的延長線于點G，從而根據(jù)已知條件可以得到△AMB∽△EGC，△ANB∽△B′GE，最后根據(jù)已知邊長求得答案.

圖2

2 巧用“輔助線”，構(gòu)造全等三角形

對于關(guān)鍵已知條件，如“中線”“中點”等，注意利用延長、平行等手段，構(gòu)造全等三角形.中線問題往往可以延長，構(gòu)造全等三角形，將分散的已知信息融合到同一個三角形中；中點問題往往構(gòu)造中位線，利用中位線的性質(zhì)得到邊與邊或者三角形的面積等關(guān)系.

圖3

圖4

3 巧作“輔助線”， 體現(xiàn)“平分點”

遇到關(guān)鍵詞“平分”，對于角注意作到角兩邊的垂線，對于邊注意作與兩個端點的連線，從而構(gòu)造全等形或者等腰三角形，再結(jié)合已知條件進行求解.遇到此類問題，我們往往考慮到角平分線上的點到角兩邊的距離相等，線段平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，此類問題涉及的內(nèi)容多是求邊長的問題.

例3如圖5，點D在等邊三角形ABC的邊BC上，連接AD，線段AD的垂直平分線EF分別交邊AB，AC于點E，F(xiàn)．當(dāng)CD=2BD時，試判斷AE和AF的關(guān)系．

圖5

圖6

4 借助“輔助線”，轉(zhuǎn)化比值

遇到關(guān)鍵點“比值”問題，注意考慮作平行線，構(gòu)造相似三角形.一般情況下，當(dāng)所要求的是一個比值問題時，首先要考慮到在相似三角形中研究問題，從而確定對應(yīng)線段的比值.若能明顯觀察到兩個線段所在的三角形相似，可利用已知條件進行分析求解，但是大多問題不能直接判定相似，這就需要根據(jù)題意適當(dāng)添加輔助線進行轉(zhuǎn)化，從而讓問題變得易解.

圖7

圖8

5 巧連“輔助線”，建立相似三角形

遇到關(guān)鍵點“切線”，注意連接圓心與切點，構(gòu)造直角三角形.根據(jù)切線的定義可以很明確地判斷切點與圓心連線的重要性.故在問題中出現(xiàn)切線必連切點與圓心，從而再構(gòu)造直角三角形；其次是形如“a+kb”的最值計算，根據(jù)k的值巧妙構(gòu)造相似三角形也是常見輔助線作法.

圖9

圖10

當(dāng)然，針對不同的問題應(yīng)考慮不同的方法和思路作輔助線.如，出現(xiàn)面積問題，往往作底邊的高線為輔助線；遇到多邊形問題，往往轉(zhuǎn)化為三角形，割補多邊形是作輔助線的重點；出現(xiàn)線段之和或之差問題，采用截長或補短法作輔助線是常見之法.

在平面幾何問題中，添加輔助線的方法多種多樣，且靈活多變，僅借助幾種方法是不夠的，還需要我們準(zhǔn)確把握相關(guān)的基本概念和基本性質(zhì)，多練習(xí)多總結(jié)，在給定的條件下結(jié)合圖形不斷深入研究隱含的或規(guī)律性的問題，不斷積累突破疑難問題的經(jīng)驗與方法.