PME視角下的“函數(shù)的零點”概念教學(xué)設(shè)計

?西華師范大學(xué) 王 雪 李中平

1 研究背景及問題的提出

1.1 研究背景

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是基礎(chǔ)知識和基本技能的核心與靈魂.理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的出發(fā)點.如果教師過分偏重解題技巧而忽視概念的教學(xué)，那么會導(dǎo)致解題時學(xué)生只知解題套路卻不懂原理.“數(shù)學(xué)教育心理學(xué)(psychology of mathematics education，簡記為PME)是研究學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律以及教師如何根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律進(jìn)行有效教學(xué)設(shè)計的學(xué)科”[1].PME理論對學(xué)生的學(xué)與老師的教都有很強的指導(dǎo)意義，在進(jìn)行概念教學(xué)時從PME視角透視教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計出符合學(xué)生學(xué)習(xí)心理規(guī)律的教學(xué)設(shè)計.

1.2 問題的提出

著名數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)指出:“在數(shù)學(xué)中重要的不是符號，而是概念.”[2]數(shù)學(xué)概念教學(xué)一直都是教學(xué)重點，然而學(xué)生仍然會混淆某些數(shù)學(xué)概念.“函數(shù)的零點”是函數(shù)的進(jìn)一步應(yīng)用；函數(shù)的零點概念作為函數(shù)概念的延伸，學(xué)習(xí)函數(shù)的零點概念也可加深對函數(shù)概念認(rèn)識和理解；但函數(shù)的零點也是易混淆的概念，如果不能合理地融入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，那么就很難從大腦中提取出來進(jìn)行靈活運用.

“其實概念的形成與轉(zhuǎn)變是一個連續(xù)動態(tài)的心理歷程”[3].因此在“函數(shù)的零點”概念教學(xué)時，考慮從PME視角透視教學(xué)，在學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)零點概念的心理活動基礎(chǔ)上，去把握知識的傳授過程，幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).函數(shù)的零點概念教學(xué)的關(guān)鍵在于結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的零點概念的心理活動和學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知發(fā)展水平，引領(lǐng)學(xué)生對概念探究、理解，經(jīng)歷概念的形成過程，準(zhǔn)確把握住函數(shù)零點的外延與內(nèi)涵，多元化表征概念，同時能運用到具體情境中.

那么教師如何從PME視角實施函數(shù)的零點概念教學(xué)？學(xué)生如何明晰概念的外延和內(nèi)涵？是否能多種形式表征函數(shù)的零點概念？

2 理論基礎(chǔ)

2.1 現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)下的知識

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)根據(jù)知識的不同狀態(tài)和表述形式將知識廣義地劃分為陳述性知識和程序性知識，其中陳述性知識是指“是什么”，程序性知識則是指“怎么做”.數(shù)學(xué)概念是人們對客觀現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的思考在頭腦中的映射.因此數(shù)學(xué)概念屬于較為復(fù)雜的陳述性知識，概念的應(yīng)用對應(yīng)的技能則屬于程序性知識.當(dāng)數(shù)學(xué)概念被學(xué)習(xí)者“隱性”獲得納入知識結(jié)構(gòu)后，在應(yīng)用數(shù)學(xué)概念時會轉(zhuǎn)換成相應(yīng)技能“顯性”表現(xiàn)成概念的形成情況.

2.2 數(shù)學(xué)概念特征下的多元表征

從概念學(xué)習(xí)的心理角度來說，數(shù)學(xué)概念的表征具有多元性特征.若學(xué)生沒有理解概念就不能用另一種表征方式去表達(dá)概念，所以在教學(xué)過程中必須注重概念形式的轉(zhuǎn)換.2000年美國NCTM在《學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與原則》中指出的“不同的表征將導(dǎo)致不同的思維方式”，意味著在多角度理解概念的同時也在發(fā)展學(xué)生的邏輯思維.

2.3 概念同化

概念的學(xué)習(xí)有概念形成、概念同化兩種方式.而高中階段的學(xué)生對函數(shù)已經(jīng)具備了一定的認(rèn)知，因此從PME視角下選擇概念同化是最好的教學(xué)方式.概念同化即利用已掌握的概念去學(xué)習(xí)新概念，主動與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的相關(guān)概念相互作用，由此獲得新概念的過程.概念同化的心理過程包括辨別、同化、強化.

2.4 信息加工學(xué)習(xí)理論下的學(xué)習(xí)過程

加涅(R.Gagne)認(rèn)為學(xué)習(xí)的過程就是一個信息加工的過程.信息加工學(xué)習(xí)理論將學(xué)習(xí)活動及主要的心理活動進(jìn)一步拆分，把學(xué)習(xí)過程劃分為八個階段，且各自發(fā)揮不同的功能.第一階段是“動機”，激發(fā)學(xué)習(xí)動機，產(chǎn)生學(xué)習(xí)期望.第二階段是“了解”，把注意力集中在與學(xué)習(xí)目標(biāo)有關(guān)的刺激上.第三階段是“獲得”，學(xué)生對新獲得的刺激進(jìn)行編碼、貯存.第四、五、六階段分別是“保持”“回憶”“概括”，將獲得的信息都貯存在長時記憶中.“保持”階段注意信息的貯存，避免新舊刺激的干擾.“回憶”階段，把信息合理地從大腦中提取.“概括”階段，將學(xué)習(xí)的知識遷移到不同情境中.第七階段是“操作”，通過作業(yè)反映出學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.第八階段是“反饋”，在強化的同時促進(jìn)信息的有效加工.

基于PME視角研究的需要，綜合數(shù)學(xué)概念表征的多元性、概念同化的心理過程與信息加工學(xué)習(xí)理論下的學(xué)習(xí)過程，因此將函數(shù)的零點概念教學(xué)過程概括為四個環(huán)節(jié)：概念探究、概念表征、概念同化、概念應(yīng)用.

3 函數(shù)的零點概念教學(xué)過程

3.1 概念探究——激發(fā)動機引起注意以揭示本質(zhì)屬性

教師：大家回憶從初中到現(xiàn)在都學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？又學(xué)到了函數(shù)的哪些知識呢？

學(xué)生1：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，學(xué)了圖象和性質(zhì).

教師：那同學(xué)們能不能畫出一次函數(shù)y=2x+1的圖象，接著觀察函數(shù)圖象與x軸、y軸相交的點.我們把圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)稱為函數(shù)的零點，在這個圖象(如圖1)中與x軸交點的橫坐標(biāo)-0.5稱為一次函數(shù)y=2x+1的零點，那么思考一下零點的本質(zhì)是點還是數(shù)？如果是數(shù)，是有理數(shù)還是實數(shù)？

圖1

學(xué)生2：是實數(shù).

教師：很好，那么是不是只有一次函數(shù)有零點呢？接著試著描點畫出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，與x軸交點的橫坐標(biāo)是多少？那么該函數(shù)的零點是多少？有幾個零點？

學(xué)生3：函數(shù)圖象(如圖2)與x軸交點的橫坐標(biāo)是-1,3，因為函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)是函數(shù)的零點，所以該函數(shù)的零點是-1,3，有兩個零點.

圖2

設(shè)計意圖：回顧簡單舊知，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使之產(chǎn)生學(xué)習(xí)動機.引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖象上感受零點的存在，計算函數(shù)的零點并且得出零點的本質(zhì)是實數(shù).層層誘導(dǎo)，逐步喚起舊知的同時還可以增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

3.2 概念表征——獲得概念保持記憶以轉(zhuǎn)換多種形式

教師：根據(jù)上面我們畫出的函數(shù)圖象中有零點的存在，思考所有的函數(shù)都有零點嗎？請舉例.

學(xué)生4：不一定，因為函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)是函數(shù)的零點，如果所給函數(shù)與x軸無交點，那么該函數(shù)就無零點，比如反比例函數(shù).

教師：在畫函數(shù)y=2x+1，y=x2-2x-3圖象時，如何求函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)？

學(xué)生5：使2x+1=0，x2-2x-3=0，算出x，就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).

教師：對，很不錯.對于一般函數(shù)y=f(x)，試著類比得出函數(shù)零點的概念.

學(xué)生6：對于函數(shù)y=f(x)，使f(x)=0的實數(shù)x就叫做函數(shù)y=f(x)的零點.

教師：非常好，這就是函數(shù)零點的概念.接著思考x2-2x-3=0，2x+1=0是方程還是函數(shù)？零點是方程的零點還是函數(shù)的零點？兩者之間有什么關(guān)系，結(jié)合圖象來看呢？

北運河流域全境共劃分為346條小流域，其中山區(qū)37條，平原286條，山區(qū)—平原21條。按照北京市水土保持類型區(qū)劃分，北運河流域地跨北京市全部4個類型區(qū)，其中城市徑流控制區(qū) 2 434km2，含224個小流域；地下水源涵養(yǎng)區(qū)757km2，含72個小流域；地表水源涵養(yǎng)區(qū)735km2，含34個小流域；土壤侵蝕控制區(qū)320km2，含 16 個小流域（見圖1）。

學(xué)生7：2x+1=0，x2-2x-3=0是方程，零點是函數(shù)的零點，函數(shù)所對應(yīng)的方程f(x)=0的實數(shù)根就是函數(shù)的零點，也即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).

教師：試著先算出y=2x+3的零點，再在x軸上表示出零點.

設(shè)計意圖：根據(jù)圖象及零點的存在位置，逐步追問得到零點的外延與內(nèi)涵：外延——圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，內(nèi)涵——對于函數(shù)y=f(x)，使f(x)=0的實數(shù)x.誘導(dǎo)學(xué)生得出零點的概念，使其明晰外延和內(nèi)涵.學(xué)生7的回答切實體現(xiàn)出學(xué)生對函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系的理解，從數(shù)、形上表示零點，轉(zhuǎn)換不同形式進(jìn)行多種表征以促進(jìn)思維的發(fā)展.

3.3 概念同化——提取概念情境概括以促進(jìn)知識理解

教師：根據(jù)前面可得出y=x2-2x-3有零點，y=x2-2x-3是二次函數(shù)，回憶并動手畫圖象，思考二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)都有零點嗎？有幾個零點？請給出理由.

學(xué)生8：二次函數(shù)y=ax2+bx+c不是都有零點，有零點的話，就使ax2+bx+c=0，算出方程的實數(shù)根，方程實數(shù)根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù).那么就考慮ax2+bx+c=0中x的情況.

教師：那么回到了ax2+bx+c=0中求實數(shù)根的情況？會用到什么？

學(xué)生9：對，會用到判別式.

表1

注：a≠0.

教師：當(dāng)函數(shù)y=f(x)=g(x)-h(x)時，如何求函數(shù)f(x)的零點？提示：從零點的概念出發(fā).

學(xué)生10：要求函數(shù)的零點就是使f(x)=0，即g(x)-h(x)=0,即g(x)=h(x)，就是求使等式成立的實數(shù)x.

教師：很不錯，回到y(tǒng)=x2-2x-3，根據(jù)式子的轉(zhuǎn)換，用畫圖象的方式求函數(shù)的零點.

學(xué)生11：首先y=x2-2x-3轉(zhuǎn)換成y=x2-(2x+3)，其中把x2看作是g(x)，把2x+3看作是h(x)，那么就是求使x2=2x+3成立的x.分別畫出y=x2，y=2x+3的圖象，會發(fā)現(xiàn)有兩個交點.

教師：這兩個交點與之前所求出來的零點有相同點嗎？說出盡可能多的發(fā)現(xiàn).

學(xué)生12：交點的橫坐標(biāo)就是零點的值，交點的個數(shù)是零點的個數(shù).

設(shè)計意圖：通過二次函數(shù)判別式，得出二次函數(shù)不同情境下零點存在情況.表格讓學(xué)生直觀感受到二次函數(shù)中方程的根、圖象與x軸的交點、函數(shù)的零點之間的聯(lián)系，讓學(xué)生主動接納知識，加深對零點的理解.考慮y=f(x)=g(x)-h(x)的情況，給予學(xué)生思路去探究，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點是求兩個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)，拓寬學(xué)生思維.

3.4 概念應(yīng)用——操作作業(yè)強化概念，實現(xiàn)知識遷移

教師：總結(jié)函數(shù)的零點概念，完成下面的練習(xí)題：

(1)求一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的零點；

(2)y=x2-2x-1是否有零點？

(3)y=x3+2x+1有幾個零點？

(4)y=lnx+2x-6是否有零點？

學(xué)生可以根據(jù)以上所學(xué)完成習(xí)題：通過求方程的實數(shù)根、函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)、拆分為兩個函數(shù)的交點，去判斷零點的值、零點是否存在及零點的個數(shù).

教師：思考函數(shù)的零點、方程的根、與x軸交點的橫坐標(biāo)、兩個函數(shù)的交點之間的關(guān)系？

學(xué)生13：函數(shù)y=f(x)的零點對應(yīng)方程f(x)=0的實數(shù)根，也是與x軸交點的橫坐標(biāo)，實數(shù)根的個數(shù)=交點數(shù)=零點個數(shù)；對于y=f(x)=g(x)-h(x)函數(shù)形式，兩個函數(shù)交點的橫坐標(biāo)就是y=f(x)的零點，交點數(shù)=零點個數(shù).

設(shè)計意圖：通過零點概念的應(yīng)用可以反饋出學(xué)生對零點概念的掌握情況.引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)到形，從形到數(shù)，從方程到函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象到方程把握零點的外延和內(nèi)涵，進(jìn)一步強化函數(shù)零點的概念，自然納入認(rèn)知系統(tǒng)中進(jìn)行信息加工處理.

4 結(jié)論與建議

4.1 PME視角下的“函數(shù)的零點”概念教學(xué)的必要性

中學(xué)階段是學(xué)生生理、心理和智力發(fā)展較快的時期.這一時期的學(xué)生受心理特征和能力基礎(chǔ)的約束，剛進(jìn)入高一的學(xué)生在面臨難度更大、更抽象的數(shù)學(xué)知識以及初高中教師不同的教學(xué)方法時，會遇到一定的學(xué)習(xí)“障礙”.數(shù)學(xué)教師的首要教學(xué)任務(wù)就是掃除這種“障礙”.函數(shù)本身就作為抽象的存在，函數(shù)的零點概念是教學(xué)的重點.從PME視角審視概念教學(xué)，打破學(xué)生的思維定式，發(fā)展其抽象思維.以學(xué)生可接受的教學(xué)方式把函數(shù)的零點概念進(jìn)行信息加工，同化到知識結(jié)構(gòu)中，促進(jìn)良好知識結(jié)構(gòu)的形成.

4.2 對函數(shù)的零點概念教學(xué)的建議

在實際的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師總把更多關(guān)注點放在學(xué)生的解題能力上，“而忽視數(shù)學(xué)概念在心理層面的發(fā)展與形成，極容易造成學(xué)生對于概念的理解只是停留在機械的記憶層面”[4].對“函數(shù)的零點”教學(xué)時要把握學(xué)生心理，進(jìn)行層次訓(xùn)練促進(jìn)思維逐步發(fā)展，同時滲透數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法并與后面的知識建立聯(lián)系；從形的角度理解零點的概念，從數(shù)的角度給出解答時要具有嚴(yán)密的邏輯性；課堂結(jié)尾引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得出零點的不同表征方式，切實把握概念的內(nèi)涵與外延.