談新課程背景下高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

?福建省德化第一中學(xué) 張福慶

1 引言

數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”)提出的六大核心素養(yǎng)之一，高考數(shù)學(xué)命題逐漸由“能力立意”向“素養(yǎng)立意”轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)直觀更加受到重視，高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要任務(wù).如何培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)？筆者做如下幾點思考.

2 強化高中生對直觀想象素養(yǎng)的認(rèn)知

數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)一方面在其它核心素養(yǎng)的培養(yǎng)中起到橋梁紐帶作用，另一方面又對人認(rèn)識事物產(chǎn)生較大的影響.培養(yǎng)高中生對數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的認(rèn)知，可以促使他們在心理上重視數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)，主動接納數(shù)學(xué)直觀想象思維，積極參與相關(guān)訓(xùn)練.首先要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識直觀想象素養(yǎng)在其他核心素養(yǎng)形成的橋梁作用，激發(fā)他們對直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的重視.直觀想象是數(shù)學(xué)抽象或數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，是邏輯推理或數(shù)學(xué)運算的鋪墊，是數(shù)據(jù)分析的載體等.其次是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識直觀想象素養(yǎng)對事物認(rèn)知的影響，促進他們對直觀想象的認(rèn)同感.數(shù)學(xué)直觀想象促進人們用數(shù)學(xué)直觀的眼光看待世界，認(rèn)知事物本質(zhì)，數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)能促進形成對事物直觀的洞察力，從而增強學(xué)生對數(shù)學(xué)直觀想象的認(rèn)同感.

3 數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的方法

數(shù)學(xué)直觀想象著重從幾何直觀的視角引導(dǎo)學(xué)生感知事物的形態(tài)和變化，但數(shù)學(xué)直觀想象不能局限于“數(shù)形結(jié)合”.史寧中教授曾指出：“在大多數(shù)的情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是‘看’出來的而不是‘證’出來的.”“看”是一種直覺判斷能力，“看”在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)直觀想象.如何培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)？

3.1 動手實踐是提高直觀想象意識的源泉

直觀想象是直觀的延伸，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要手段，人類認(rèn)識世界是從實踐和直觀想象開始的.數(shù)學(xué)理論來源于實踐又指導(dǎo)實踐.引導(dǎo)學(xué)生自己動手實踐，在實踐中獲取數(shù)學(xué)感知，抽象數(shù)學(xué)原理，從而強化直觀想象意識，這是課堂引入、應(yīng)用教學(xué)環(huán)節(jié)的重要內(nèi)容.

例如，在“指數(shù)級增長”知識點教學(xué)中，給學(xué)生每人一張A4紙，讓他們不斷對折，學(xué)生前6次對折都能輕松完成，第7次對折就很難完成了，這就讓學(xué)生對“指數(shù)級增長”有一個初步的認(rèn)識，然后就適時拋出問題“如果一張普通A4紙的厚度是0.088 mm，對折10次后有多厚？對折20次呢？對折42次呢？”學(xué)生計算對折10次后的厚度約為9.0 cm(人手拇食指自然張開的跨度)，對折20次后的厚度約為92.3 m(30層樓高)，對折42次后的厚度約為387028.093 km(超過地球與月球之間的距離)，通過這樣的折紙操作學(xué)生驚詫于數(shù)據(jù)躍升的同時對“指數(shù)級增長”有了直觀而深刻的認(rèn)知.

又如不少學(xué)生對“長方體中，側(cè)面的對角線和與該側(cè)面相交的棱互相垂直”,即如右圖所示，對“長方體ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面的對角線AD1和與側(cè)面ADD1A1相交的棱AB互相垂直”認(rèn)知有困難.教學(xué)中筆者課前制作好長方體模型，讓兩名學(xué)生借助模型上臺演示.其中一名學(xué)生拿著長方體模型，另一位學(xué)生拿著細(xì)繩給長方體的一個面拉上對角線，讓學(xué)生觀察、梳理該對角線與各棱的關(guān)系，一目了然地展現(xiàn)這種垂直關(guān)系.

列寧認(rèn)為：“從生動的直觀到抽象的思維，并從抽象的思維到實踐，這就是認(rèn)識真理、認(rèn)識客觀實在的辯證途徑.”人們認(rèn)識事物是一個從實踐到認(rèn)識，再從認(rèn)識到實踐的過程.很多數(shù)學(xué)理論都是歷代數(shù)學(xué)家們通過實踐、實驗領(lǐng)悟出來的，動手實踐是提高學(xué)生直觀想象意識的源泉.因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要有意識地設(shè)置一些讓學(xué)生動手實踐的內(nèi)容，促進學(xué)生明白，生活中許多看似復(fù)雜的事物，有時用直觀的方法和思維去認(rèn)知就變得簡單明了，動手實踐是人類認(rèn)識世界的重要手段.

3.2 數(shù)學(xué)軟件是提供直觀想象思維的載體

適當(dāng)以數(shù)學(xué)軟件為載體進行輔助教學(xué)，對學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)有很好的促進作用.

例如，在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識長方體及其特殊分割幾何體在中國古代數(shù)學(xué)典籍中的名稱，我們借助GeoGebra數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)軟件展示矩體(長方體)的分割過程，首先沿長方體對角面分割得到兩個塹堵(底面為直角三角形的直三棱柱)，然后進一步以底面的一個直角頂點及其對棱所在平面分割得到一個陽馬(底面為矩形,一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐)和一個鱉臑(四個面都是直角三角形的四面體).緊接著又指導(dǎo)學(xué)生在電腦上用GeoGebra學(xué)習(xí)軟件自主操作完成以上過程，使學(xué)生更加直觀地領(lǐng)悟相關(guān)的分割過程與分割所得到的幾何體.

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，GeoGebra、幾何畫板、數(shù)學(xué)畫板等數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用可以直觀展示數(shù)學(xué)知識的生成過程，如果能教會學(xué)生親自動手操作數(shù)學(xué)軟件，直觀體驗效果將更加明顯，原來枯燥生澀的數(shù)學(xué)知識也變得靈動起來，不那么面目可憎了，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位.因此，在教學(xué)中適當(dāng)應(yīng)用多媒體輔助平臺，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)能起到事半功倍的效果.

3.3 情景引入是提升直觀想象效果的手段

課堂引入是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，精彩直觀的課堂引入往往是學(xué)生直觀理解教學(xué)內(nèi)容的重要鋪墊，對教學(xué)起到畫龍點睛的作用.

例如，研究函數(shù)極值，以爬山為引，先上山再下山是翻過山頂，先下山再上山是穿過山谷，學(xué)生想象著，延綿起伏的群山，交替出現(xiàn)的山峰和山谷，直觀理解了函數(shù)極值的概念.研究函數(shù)零點存在性定理，即如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是f(x)=0的根.我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理.

講解定理時我們可以以穿越小路為引，即一個人開始時在小路的一側(cè)，而在下一個時間節(jié)點他還在同一側(cè)，那我們就不清楚他在這段時間內(nèi)是否穿越小路.但如果他在第二個時間節(jié)點出現(xiàn)在小路的另一側(cè)，那我們就可以斷定他穿越了小路，但其間穿越了多少次卻是未知的，引導(dǎo)學(xué)生將“穿越小路”的情景與函數(shù)零點存在性定理的表述進行比較，定理就直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前.不管是函數(shù)的極值還是零點問題，對許多學(xué)生來說都是較為抽象難懂的概念，但通過直觀形象的情景引入，就變得直觀易懂起來.

別把數(shù)學(xué)理論教得太死板，一個直觀有趣的情景引入能回報你一個精彩的課堂.一方面學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有了最直接快捷的理解，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)問題理解的直觀性，是提高數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的重要手段.另一方面，學(xué)生親眼目睹了數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的魅力，促使他們真正重視直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.4 精準(zhǔn)練習(xí)是落實直觀想象實踐的途徑

數(shù)學(xué)離不開解題，直觀想象作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，也必然是高考重點考查的內(nèi)容，落實直觀想象實踐，做好精準(zhǔn)練習(xí)，是高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的主要過程.

精選或原創(chuàng)相關(guān)習(xí)題強化實踐訓(xùn)練.首先要對高考在“直觀想象素養(yǎng)”考查的方向與題型有清楚的認(rèn)知，例如數(shù)形結(jié)合題型、創(chuàng)新直觀題型、空間直觀想象類題型等，然后我們才能立足高考對“直觀想象素養(yǎng)”的考查特點精選或原創(chuàng)習(xí)題，落實“直觀想象素養(yǎng)”實踐訓(xùn)練.

該例題對直觀想象素養(yǎng)的考查是數(shù)形結(jié)合思想，思維的難點與關(guān)鍵在于如何把握圖形的變化規(guī)律及圖形背后所蘊含的數(shù)量關(guān)系，借助幾何直觀形成解題思路.通過適量的針對性訓(xùn)練，促使學(xué)生重視數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的自我培養(yǎng)，理解數(shù)學(xué)直觀思維，掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)直觀想象解決問題的能力.當(dāng)然數(shù)學(xué)直觀并不等同于“數(shù)形結(jié)合”，要把握高考“直觀想象素養(yǎng)”考查模式，做到有的放矢地訓(xùn)練.

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)直觀想象是通過數(shù)學(xué)的眼光觀察世界來建立數(shù)學(xué)直覺的基本方法，是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、理解數(shù)學(xué)問題、梳理論證思路和運算的輔助工具，也是進行邏輯論證、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模的思維基礎(chǔ).同時，數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的過程中也在培養(yǎng)學(xué)生面對人生抉擇時能靜下心來，用最直接的方式做出選擇的良好品質(zhì).