新人教版課本“閱讀材料”的教學(xué)與思考*
——以“橢圓的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”教學(xué)為例

陸婭君 冉勝利 楊 興

(貴州師范大學(xué),550025)

數(shù)學(xué)教材中的“閱讀材料”不應(yīng)該是被教學(xué)遺忘的角落,而應(yīng)該成為教學(xué)改革的試驗(yàn)田[1]．在新人教版高中數(shù)學(xué)教材體系中,各章都設(shè)置“閱讀材料”,不僅是對(duì)正文內(nèi)容的拓展與補(bǔ)充,而且為數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考．章建躍博士認(rèn)為，“閱讀材料”可以幫助學(xué)生理解、掌握正文的內(nèi)容,激勵(lì)學(xué)生探究新的知識(shí),開闊學(xué)生的視野,培養(yǎng)學(xué)生的人文精神[2]．教師應(yīng)當(dāng)充分挖掘閱讀材料的功能與價(jià)值,并結(jié)合章節(jié)知識(shí)內(nèi)容開展教學(xué)．本文選取“閱讀材料”中“橢圓的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”對(duì)此進(jìn)行探索．

一、案例分析

1.依托教材，創(chuàng)設(shè)情境

一個(gè)在古希臘發(fā)生的故事,一群被關(guān)押在西西里島上巖洞中的犯人,因不堪忍受統(tǒng)治者的殘忍虐待,深夜時(shí)分,這群犯人在巖洞里聚集,悄聲議論越獄的方法．然而計(jì)劃敗露,越獄失敗,犯人們互相猜疑,但又找不到誰(shuí)是告密者,這究竟是怎么一回事呢?原來(lái),這個(gè)巖洞是橢圓形的結(jié)構(gòu),如圖1所示．犯人們盡管只是在洞里悄聲議論,也能通過(guò)反射,把聲音清晰地傳到洞門處看守員的耳朵里,人們將這種設(shè)計(jì)叫做“刁尼秀斯”之耳．

師:究竟是什么原因?qū)е鹿适轮羞@種奇特的現(xiàn)象?

生:因?yàn)閹r洞的截面是橢圓形狀的．

師:與犯人和看守人所處的位置有關(guān)系嗎?看守員所在位置和犯人議論所在位置處于橢圓內(nèi)部哪兩個(gè)極其特殊的位置?

生:與兩者的位置是有關(guān)系的,可能是橢圓當(dāng)中的兩個(gè)焦點(diǎn)．

設(shè)計(jì)意圖依托蘊(yùn)含“橢圓的光學(xué)性質(zhì)”的閱讀素材以及教師的啟發(fā)式提問(wèn),讓學(xué)生帶著目的自主閱讀,并引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)學(xué)關(guān)系,感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系．

2.閱讀發(fā)現(xiàn)，直觀驗(yàn)證

問(wèn)題1光的反射現(xiàn)象如果與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)有關(guān),那么應(yīng)該遵循怎樣的反射規(guī)律?

在物理學(xué)中,焦點(diǎn)可以理解成是光線聚集的點(diǎn)．在故事中的現(xiàn)象是聲音的反射,無(wú)論是聲波還是光波都應(yīng)該遵循相同的反射規(guī)律．把故事中的巖洞抽象成橢圓,把看守人員與犯人小聲討論的位置抽象成橢圓的焦點(diǎn),把光線抽象成直線,得到圖2．圖2直觀地反映了光在橢圓內(nèi)的反射規(guī)律:由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線交于橢圓的另一焦點(diǎn)上．

問(wèn)題2反射鏡面和橢圓會(huì)有怎樣的位置關(guān)系?

由物理學(xué)的相關(guān)知識(shí)可得,反射鏡面與橢圓的位置關(guān)系是相切的．

問(wèn)題3如何直觀地驗(yàn)證橢圓中光的反射規(guī)律?

可以利用幾何畫板直觀驗(yàn)證:首先找到橢圓的一條切線,作為反射鏡面;連結(jié)切點(diǎn)P和焦點(diǎn)F1,PF1就可以作為一條入射光線;作出反射鏡面的法線PH之后,就需要觀察反射光線是否經(jīng)過(guò)F2,如圖3所示．

問(wèn)題4用幾何畫板直觀演示，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠F1PH和∠F2PH存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系?如圖4所示．

當(dāng)∠F1PH=∠F2PH時(shí),也就說(shuō)明反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2.改變橢圓的形狀,可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角仍然是相等的．

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在反復(fù)閱讀素材的過(guò)程中,嘗試建立文字與圖形的聯(lián)系,并逐步抽象數(shù)學(xué)模型,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．

3.通過(guò)證明，深度探究

師:前面利用幾何畫板初步驗(yàn)證了橢圓的光學(xué)性質(zhì),如何從數(shù)學(xué)的角度來(lái)證明?

活動(dòng):已知橢圓的左焦點(diǎn)F1與圓的圓心重合,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與圓的半徑相等即2a(a定為任意正數(shù)),如圖5所示．如何通過(guò)紙片對(duì)折的方式作出線段F2M的垂直平分線?

只需要讓點(diǎn)M和點(diǎn)F2重合即可,即對(duì)折兩個(gè)點(diǎn),由此便得到一條折痕．打開紙片觀察折痕,如圖6所示．

師:折痕所在的直線和橢圓具有怎樣的位置關(guān)系?

通過(guò)“折紙”活動(dòng)發(fā)現(xiàn)，折痕所在的直線與橢圓是相切的．

師:設(shè)折痕所在直線為l,如果l和橢圓相切,那么直線l會(huì)作為一個(gè)什么圖形出現(xiàn)?

直線l會(huì)作為反射鏡面出現(xiàn),但通過(guò)“折紙”活動(dòng)和幾何畫板的驗(yàn)證得到的“相切”是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?需要進(jìn)一步驗(yàn)證．

問(wèn)題5已知橢圓的左焦點(diǎn)F1與圓的圓心重合,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與圓的半徑相等即2a(a定為任意正數(shù)),如何證明折痕所在的直線l與橢圓相切?

首先證明點(diǎn)P在橢圓上．如圖7所示,半徑F1M與直線l相交于點(diǎn)P.又因?yàn)辄c(diǎn)P在線段F2M的垂直平分線上,所以將PF2連結(jié)．由垂直平分線的性質(zhì)可知,PF2=PM.由此可得PF1+PF2=PF1+PM=F1M=2a,又因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,所以P是橢圓上的一點(diǎn)．

師：點(diǎn)P既是橢圓上的點(diǎn),同時(shí)也處于線段MF2的垂直平分線上,那么也只能說(shuō)明點(diǎn)P是直線l與橢圓的一個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)一定是切點(diǎn)嗎?相交和相切最主要的區(qū)別在哪里?

相交和相切最主要的區(qū)別在于交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題．如果要驗(yàn)證相切的情況,就需要驗(yàn)證點(diǎn)P是直線l與橢圓唯一的交點(diǎn)．

師:如何證明一個(gè)點(diǎn)的唯一性?

在直線l上任意取一個(gè)不與點(diǎn)P重合的點(diǎn)N.點(diǎn)N在線段MF2的垂直平分線上,所以滿足NF2=NM,再連結(jié)NF1,如圖8所示.因?yàn)辄c(diǎn)N與點(diǎn)P并不重合，故而點(diǎn)N，M，F(xiàn)1可構(gòu)成一個(gè)三角形.根據(jù)三角形的性質(zhì)可得NF1+NM>F1M.根據(jù)等價(jià)替換便可得NF1+NF2>F1M=2a.據(jù)此可說(shuō)明點(diǎn)N到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和大于2a,即可得到點(diǎn)N位于橢圓的外部．因此,直線l上有且只有一個(gè)點(diǎn)P在橢圓上,其余所有的點(diǎn)都在橢圓的外部,又根據(jù)橢圓是一個(gè)封閉的圖形,所以直線l與橢圓相切,點(diǎn)P是切點(diǎn)．

問(wèn)題6已知橢圓的左焦點(diǎn)F1與圓的圓心重合,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與圓的半徑相等即2a(a定為任意正數(shù)),如圖9所示,求證:∠F1PH=∠F2PH.

因?yàn)榫€段F1M的垂直平分線是直線l,所以PF2=PM,∠PF2B=∠PMB,F2B=MB,據(jù)此可得?PF2B≌?PMB,即∠MPB=∠F2PB.因?yàn)椤螹PB=∠F1PA,由等量替換可得∠F1PA=∠F2PB.因?yàn)镻H⊥l,所以∠APH=∠BPH,即得∠F1PH=∠F2PH.

據(jù)此可得橢圓的光學(xué)性質(zhì):由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線交于橢圓的另一焦點(diǎn)上．

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生動(dòng)手操作“折紙”活動(dòng),在觀察、操作和猜想等活動(dòng)中,自主構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)．再?gòu)臄?shù)學(xué)的角度證明折痕所在直線與橢圓相切，∠F1PH=∠F2PH,從而抽象出橢圓的光學(xué)性質(zhì)．

4.鞏固拓展，體驗(yàn)價(jià)值

問(wèn)題7在故事引入中,將巖洞設(shè)計(jì)成橢圓形狀,犯人們盡管只是在洞中悄聲議論,為何聲音也能清晰地傳到洞口附近看守員的耳朵里?

問(wèn)題8在影視業(yè)中,電影放映機(jī)內(nèi)部的反光鏡是一個(gè)橢圓形的結(jié)構(gòu),為什么要將燈絲和片門放在兩個(gè)焦點(diǎn)的位置?

設(shè)計(jì)意圖聯(lián)系生活中的數(shù)學(xué),讓學(xué)生在體驗(yàn)和理解橢圓光學(xué)性質(zhì)的同時(shí),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．將光學(xué)性質(zhì)與學(xué)生所學(xué)的橢圓性質(zhì)建立聯(lián)系,形成知識(shí)綜合體系,潛移默化地形成較為完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

二、對(duì)“閱讀材料”的思考

1.對(duì)案例的總結(jié)與反思

依托教材中的“閱讀材料”，結(jié)合古希臘故事創(chuàng)設(shè)情境,由此引入橢圓的光學(xué)性質(zhì)課題和提出相關(guān)的探究問(wèn)題,接著利用“折紙”活動(dòng)和幾何畫板驗(yàn)證橢圓的光學(xué)性質(zhì),幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),進(jìn)而發(fā)展學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng);鞏固階段通過(guò)讓學(xué)生運(yùn)用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．

2.借助“閱讀材料”,培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的能力

“閱讀材料”具備一定的探究性,合理運(yùn)用其進(jìn)行教學(xué)，是提升學(xué)生探究能力的重要途徑,應(yīng)當(dāng)深入挖掘閱讀材料內(nèi)容與正文知識(shí)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系．教材正文內(nèi)容更注重知識(shí)的形成過(guò)程,而閱讀材料的探究特征更為

3.借助“閱讀材料”,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用

教材中“閱讀材料”的內(nèi)容與社會(huì)生活、科技生產(chǎn)等都有著緊密聯(lián)系．在教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察生活,感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價(jià)值以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．如， “海倫和秦九韶”一文介紹古人利用三角形邊長(zhǎng)計(jì)算三角形面積的公式,從而解決實(shí)際生活中三角形的高不易測(cè)量的問(wèn)題,充分體現(xiàn)古人的智慧和數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用;“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”介紹太陽(yáng)灶生熱、手電筒和探照燈發(fā)光的原理,讓學(xué)生了解圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),感悟生活處處皆數(shù)學(xué)．