基于課本內(nèi)容的數(shù)學閱讀理解題編擬

邱鈺童 嚴亞強

(蘇州大學數(shù)學科學學院,215006)

數(shù)學閱讀理解題作為考查學生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的“新題型”,注重通性通法的提煉,促進學生閱讀自學,體現(xiàn)綜合性與創(chuàng)新性,必將在新高考的考查中發(fā)揮不可替代的作用．由此可見有針對性地編擬與教材配套的數(shù)學閱讀理解題的工作迫在眉睫．配套習題的使用,可以消除學生對于此類題型的陌生感,在熟悉“閱讀理解”模式的同時,引導學生閱讀自學,做好“思維的體操”．本文對此進行探討.

一、閱讀理解題的內(nèi)涵、價值和編擬現(xiàn)狀

1.內(nèi)涵與價值

馬云鵬等人指出:“數(shù)學閱讀理解題是指在閱讀一段數(shù)學描述之后,按照某一指定要求進行作答、側(cè)重考查分析理解能力的一種題型”[1].閱讀理解的過程是建立在分析材料基礎(chǔ)上對問題的理解與知識的遷移,一方面考查學生對新知識的理解和應(yīng)用,又能促進學生數(shù)學思維能力的提高[2].經(jīng)過有效的閱讀理解題練習,數(shù)學閱讀理解題可以發(fā)展為一種自適應(yīng)學習,它們或是滲透某些數(shù)學方法,或體現(xiàn)某種數(shù)學思想,或提供某些重要結(jié)論,對提高學生的自主學習能力、概括遷移能力、邏輯推理和歸納分析能力有著重要的積極作用,所以,深入研究閱讀理解具有現(xiàn)代教育意義．

2.編擬現(xiàn)狀

編擬數(shù)學閱讀理解題常用的技巧很多,一般認為，以過程檢查的方式編擬、以方法遷移的方式編擬和以定義新運算、新概念的方式編擬是最常用、最有效的三種方法．本研究在此基礎(chǔ)上增加以課本習題改編的方式編擬、以數(shù)學文化再創(chuàng)造的方式編擬兩種方法．另外進行習題設(shè)計時,為了有效地幫助學生復(fù)習鞏固所學的知識與技能,考慮到題目的專題性、模仿性、集中性,還應(yīng)該有一定的重復(fù)性．同時發(fā)揮習題的知識、育人與評價功能．

二、數(shù)學閱讀理解題編擬的常用方式

1.以過程檢查的方式編擬

習題1在學習了集合的基本運算后,老師要求同學解決如下問題:設(shè)A={x|x2-x-6=0},B={x|2ax+1=0},若A∩B=B,求符合條件的a有多少個?

一個學生給出的解法如下:

請指出該解法的錯誤之處,并給出正確解法.

評析本題與人教A版必修一第1章“集合與常用的邏輯用語”配套,主要考查學生對于集合知識點的掌握程度,考查學生的批判性思維．這類改錯題常常涉及錯誤樣例的識別與改正．Tennyson Cocchiarella以及Bransford和Schwartz的研究發(fā)現(xiàn),錯誤樣例學習是非常有效的[3].GroBe和Renkl研究結(jié)果發(fā)現(xiàn),正、誤樣例的學習才對遷移成績有積極的作用[4].編擬這一類閱讀理解題，一方面可增加后續(xù)正確解法的可能性;另一方面降低錯誤解法的可能性,提高學習的效果．

2.以方法遷移的方式編擬

習題2互為反函數(shù)的指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;而所有偶函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱．現(xiàn)在我們定義:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y=x對稱,即已知函數(shù)f(x)的定義域為D,?x∈D,若y=f(x),x=f(y)也成立,則稱函數(shù)f(x)為“自反函數(shù)”．顯然斜率為-1的直線所確定的一次函數(shù)都是“自反函數(shù)”,它們都為單調(diào)遞減的函數(shù)．請舉出一種自反函數(shù),并說出它的基本性質(zhì)．

評析本題與人教A版必修一第4章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”配套，要求學生考慮函數(shù)及其反函數(shù)性質(zhì)的同時,需要抓住反函數(shù)的基本性質(zhì)——?x∈D,若y=f(x),則x=f(y),篩選一些已經(jīng)學習過的初等函數(shù)．此類題著重考查學生的概括遷移能力和分析歸納能力．數(shù)學中“遷移”的核心是類比,通過類比被模仿對象解決問題．TIMSS報告揭示,許多學生不能以類比進行推理,他們看不見數(shù)學思想之間的結(jié)合與聯(lián)系,不能用已有的理解去把握新情境．因此,在數(shù)學教學中進行方法遷移非常重要,是學生學習的基本過程．

3.以定義新運算、新概念的方式編擬

習題3已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={(x，y)|x∈A,y∈A,x，y∈A},則集合B中所含元素的個數(shù)為______.

評析本題與人教A版必修一第1章“集合與常用的邏輯用語”配套．定義一個新運算,或定義一個新概念,然后解決一個與之相匹配的數(shù)學問題,采用這一方法編制的閱讀理解題,是考查學生理解能力的有效方式．但應(yīng)當強調(diào)的是,所要定義的新運算、新概念應(yīng)當是中學生能夠理解的,不能將大學中的高等數(shù)學知識作簡單下移式處理就來編題．與上題類似的,高考中常常以集合與命題知識為依托,既能考查學生的理解、遷移知識的能力,又能考查學生的探究能力與創(chuàng)新能力．

4.以課本習題改編的方式編擬

習題4函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)=x3-3x圖象的對稱中心;

(2)類比寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論；

(3)試寫出函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點P(a，b)成中心對稱的充要條件.

評析本題知識源自人教A版第3章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的拓廣探索第13題.學生在學習函數(shù)的奇偶性時,書中并沒有直接展示這一定理,本習題以閱讀材料的形式開宗明義,滲透已學奇偶性中有關(guān)對稱性的一般化結(jié)論．第(3)題進一步把一個函數(shù)本身的中心對稱問題推廣到兩個函數(shù)的對稱關(guān)系,引導學生進一步積極思考、主動探索,從而得出結(jié)論．而此類題更是給學生提高一般化的研究思路與方法，考查學生數(shù)學抽象能力同時,引導學生分析問題,解決問題．

5.以數(shù)學文化再創(chuàng)造的方式編擬

(1)如圖2,在斜邊上內(nèi)接正方形(弦上容方),請計算內(nèi)接正方形的邊長y；

(2)比較兩種方式,在直角三角形內(nèi),哪一種內(nèi)接正方形面積最大?

評析本習題基于人教A版第2章“一元二次函數(shù)、方程與不等式”的內(nèi)容，進行“基本不等式”的知識考查.基本不等式結(jié)構(gòu)簡單,關(guān)系深刻,在高中數(shù)學中有著舉足輕重的地位．以上借助“勾股容方”問題設(shè)計分層問題,一是數(shù)學史是數(shù)學教學的指南；二是在基本不等式的教學中,配套習題多為常規(guī)的應(yīng)用題,簡單的證明題,使用有數(shù)學史料的習題,可加深學生的數(shù)學理解,幫助學生對比古今思想方法,拓寬學生的數(shù)學思維,在滲透數(shù)學文化的同時,進行數(shù)學文化的再創(chuàng)造．

三、小結(jié)與反思

1.不必片面追求“大容量”練習

作為新題型的一種,數(shù)學閱讀理解題是考查學生數(shù)學能力的一種形式,往往在表述上有較大的閱讀量,很多教師為了迎合當下命題趨勢,在命題上常常對“一手閱讀材料”簡單下移式處理,視覺上顯現(xiàn)“大容量”,形式上貌似“大手筆”,這是風格的堅守還是命題的八股呢?正如章建躍教授所言:真正的數(shù)學題應(yīng)該滿足一些基本條件,例如，反映數(shù)學本質(zhì),與重要的數(shù)學概念和性質(zhì)相關(guān),不糾纏于細枝末節(jié),體現(xiàn)基礎(chǔ)知識和聯(lián)系性,解題方法自然、多樣,具有發(fā)展性,表述形式簡潔、流暢且好懂等特點．在編擬習題時,一方面堅決落實知識、能力的考查需求,另一方面需要因題而異,因知識點而異,對細枝末節(jié)進行適當?shù)男藜簦槐乜桃庵魂P(guān)注理解能力考查,理解能力的考查也不必只體現(xiàn)在文字閱讀量及其理解上．

2.注重教學導向

編擬配套課本的數(shù)學閱讀理解題,不僅僅是為了讓學生適應(yīng)“材料——閱讀”的模式,更應(yīng)該借助由教師的精心設(shè)計將“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”．可以是利用“材料”設(shè)計問題鏈形式,深挖變式,鞏固知識,也可以是利用閱讀理解題引導學生閱讀自學,帶著數(shù)學的眼光,學會一種思路,學習一種方法．“教師不應(yīng)是教課本而是用課本去教”,充分發(fā)揮課本練習的功能,在教學上狠下功夫,提升學生關(guān)鍵能力．要創(chuàng)造條件,給學生閱讀空間．四基四能的核心在于活動平臺,在觀念上改變過度(刻意挖掘深度)的機械訓練;另外，還要重視學生基本綜合能力,從閱讀的知識遷移到創(chuàng)新層面進行能力培養(yǎng),引領(lǐng)學生的思維再上更高的臺階．

3.辯證理解“新”與“舊”

新題型中的“新”是一個相對概念,幾年后也許不能再稱為“新”了．這些題型有什么教育教學價值?這些題型如何設(shè)計?如何教學?如何評價?……從這個角度看,傳統(tǒng)題型教育教學有太多的優(yōu)勢,而新題型教育教學又有太多的不足,但這條路總應(yīng)該有人去開拓、去探路,愿做探索之路上一塊小小的路標．從某種意義上說，數(shù)學傳統(tǒng)題型教育教學的優(yōu)勢之處也就是它相對的劣勢之處,新題型教育教學的成功之處也就是它相對的不足之處.可以斷言兩者的有機結(jié)合一定會超越任何一方,是更適應(yīng)當代社會需求的教與學[6].