問題驅(qū)動探究 落實核心素養(yǎng)*
——以“空間向量基本定理”教學(xué)設(shè)計為例

宋 軍 吳現(xiàn)榮

(貴州省都勻第一中學(xué)，558000) (黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，558000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)指出,定理教學(xué)的意義不僅在于讓學(xué)生掌握“書本知識”,更重要的是讓他們從中體驗數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)定理的心路歷程．美國數(shù)學(xué)家哈爾斯說過，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”,問題是思維活動進行的原動力和牽引力,而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)又是在學(xué)生與情境、問題的有效互動中得到提升的．為了體驗數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)空間向量基本定理的心路歷程,追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡,把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài),根據(jù)空間向量基本定理產(chǎn)生的背景和它發(fā)展的需要等方面去設(shè)計“前后一致邏輯連貫”、符合學(xué)生思維發(fā)展水平的問題.在這些問題的驅(qū)動下,不僅能使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、探究、思考中完成定理的自然習(xí)得,還能發(fā)展和落實數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的興趣．本文以“空間向量基本定理”教學(xué)設(shè)計為例，對此進行探討.

一、設(shè)置問題,引入課題

問題1(1)兩個向量有什么關(guān)系?是怎樣研究的?

生:共線與不共線,由向量共線的條件知研究共線問題,也就同時研究了不共線問題．

(2)三個向量有什么關(guān)系?怎樣研究?

生:共面與不共面,由平面向量基本定理，研究共面問題,也就同時研究了不共面問題．

(3)四個向量有什么關(guān)系?怎樣研究?

師:在(1)(2)的基礎(chǔ)上,類比是重要的:兩個向量共線,一個向量用另一個向量表示;三個向量共面,一個向量用另外兩個(此時這兩個向量不共線)向量表示,叫做平面向量基本定理;四個向量呢?一個向量能否用另外三個(此時這三個向量不共面)向量表示嗎?怎樣表示?

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部發(fā)展促進知識的自然延伸或突破,這種從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題,有利于發(fā)揮數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部動力,有利于建立“前后一致,邏輯連貫”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程．

①

設(shè)計意圖用向量的減法知識解決問題2,該問題的結(jié)論是空間向量基本定理的特例,其特殊在于點P在平面ABC上．

②

③

問題4由① ② ③ 有何發(fā)現(xiàn)?

設(shè)計意圖讓學(xué)生直觀感知空間向量基本定理,從具體的素材“平面向量基本定理”模型中經(jīng)歷一個從直觀的“形”到具體的“數(shù)”的抽象概括過程,使空間向量基本定理的生成自然而然,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

問題5請同學(xué)們分別作出下列向量,這些向量都在上述直線OA,OB,OC構(gòu)成的空間內(nèi)嗎?

設(shè)計意圖讓學(xué)生自己動手作圖驗證、操作確認(rèn),自然水到渠成地得到定理,深刻理解定理的形成過程．

二、 抽象概括,詮釋定理

師:若將所有的向量的始點放在一起,則整個空間被向量的終點填滿．即空間內(nèi)的任意向量都可以用三個不共面向量的表示;反之,由這三個不共面向量表示的向量都在這個空間內(nèi)．于是有:

空間向量基本定理如果e1,e2,e3是空間內(nèi)的三個不共面向量,那么對于這一空間內(nèi)的任意向量p,存在唯一的實數(shù)組λ1,λ2,λ3,使得p=λ1e1+λ2e2+λ3e3．

我們把不共面的向量e1,e2,e3叫做表示這一空間內(nèi)所有向量的一組基底．定理中給定一組基底,表示向量p的實數(shù)λ1,λ2,λ3的唯一性可從代數(shù)角度作如下證明:

問題6在空間向量基本定理中的實數(shù)λ1,λ2,λ3的任意性和唯一性,當(dāng)λ3=0中它是什么定理?當(dāng)λ2=λ3=0時它是什么定理?

設(shè)計意圖理解有關(guān)定理間的聯(lián)系,事實上,一個非零向量可以表示與之共線的任一向量,兩個不共線的向量可以表示與之共面的任一向量,這正是由一維的向量共線條件推廣到二維的平面向量基本定理,再進一步推廣到三維的空間向量基本定理,這種表示是唯一的．這三個結(jié)論都可看成向量分解的唯一性,只不過范圍不同而已,體現(xiàn)了類比思想,從而形成數(shù)學(xué)定理體系,有利于定理的內(nèi)化、遷移與靈活應(yīng)用．

三、例題講解,加深理解

設(shè)計意圖解此類問題的關(guān)鍵是找所求向量與基底間的關(guān)系,運用向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則來尋求．這一過程體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想,體會基底選擇的重要性,選定空間不共面的三個向量作基底后,任意空間向量,都用基底來表示,為向量的運算提供極大的便利,同時也是用空間向量解決立體幾何的基本出發(fā)點．

變式求證四面體對棱中點的連線交于一點,且互相平分．

設(shè)計意圖空間向量基本定理解決幾何問題的通解通法是選好一組不共面的基底,并用它們表征其余空間向量,體現(xiàn)了向量基底的思想,進一步深化對空間向量基本定理的認(rèn)識,感受到向量數(shù)形二重性在證明空間幾何問題中的獨特魅力．

設(shè)計意圖從一般到特殊,回歸教材選修2-1第88頁思考題的第2個問題,這更有利于理解空間向量基本定理．

四、課堂小結(jié),反思提煉

(1)提出問題的方法:從向量線性運算的問題引出“用不共線的兩個向量表示平面內(nèi)任意向量”的研究課題,這樣做到承前啟后,達到“自然且水到渠成”引入學(xué)習(xí)內(nèi)容的效果．

(2)研究的基本思路:從特殊到一般,獲得一般規(guī)律的猜想,再進行嚴(yán)格的邏輯論證．

(3)歸納概括定理的內(nèi)涵,通過例題說明基底的作用．

(4)提出正交分解和坐標(biāo)表示的研究任務(wù):將基底特殊化“e1⊥e2,e1⊥e3,e2⊥e3,|e1|=|e2|=|e3|=1”．并將定理與空間直角坐標(biāo)系聯(lián)系起來,有什么新發(fā)現(xiàn)?