支架式教學(xué)法在復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用
——以“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”復(fù)習(xí)課為例

南愛(ài)玲

(江蘇省蘇州市南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)，215021)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)強(qiáng)調(diào),“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．”

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論下的支架式教學(xué)模式是指一步一步地為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供適當(dāng)?shù)?、小步調(diào)的線(xiàn)索或提示(支架),讓學(xué)生通過(guò)這些支架一步一步地攀升,逐漸發(fā)現(xiàn)和解決學(xué)習(xí)中的問(wèn)題,掌握所要學(xué)習(xí)的知識(shí),提高問(wèn)題解決能力,成長(zhǎng)為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)習(xí)者．其核心是將復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)加以分解,以便將學(xué)習(xí)者的理解逐步引向深入．本文以“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”復(fù)習(xí)課為例，探討以支架式教學(xué)理論為指導(dǎo),如何在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)問(wèn)題,層層遞進(jìn),培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

一、課堂實(shí)錄

1.回歸課本，腳踏實(shí)地

師:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)重要工具,本節(jié)課我們就來(lái)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用．

例1(選修1-1第89頁(yè)習(xí)題4改編)求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間．

師:請(qǐng)同學(xué)們考慮這個(gè)問(wèn)題怎么解決?

生:研究函數(shù)的性質(zhì),先看定義域,這個(gè)函數(shù)定義域是(0,+∞)．求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)等于零,求出零點(diǎn),再列表得出導(dǎo)數(shù)符號(hào),進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間．(解題過(guò)程略)

師:說(shuō)得很好!函數(shù)問(wèn)題首先考慮定義域,然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系解決問(wèn)題．

2.循序漸進(jìn)，層層深入

師:這個(gè)題目是一個(gè)具體的函數(shù),如果含有參數(shù)a,對(duì)函數(shù)的單調(diào)性會(huì)有什么影響呢?

變式1研究函數(shù)y=x-alnx,a∈R的單調(diào)性．

x(0,a)a(a,+∞) y'-0+ y↘↗

故增區(qū)間是(a,+∞),減區(qū)間是(0,a)．

師:考慮很全面,分類(lèi)討論的依據(jù)也很清楚,根據(jù)a的范圍討論了不同情況下函數(shù)的單調(diào)性．如果把a(bǔ)放到x前面,會(huì)有什么變化呢?

變式2研究函數(shù)y=ax-lnx,a∈R的單調(diào)性．

師:你為什么要分a=0和a≠0討論呢?

生:因?yàn)閍在一次項(xiàng)系數(shù)上．

師:你怎么看出來(lái)它是一次項(xiàng)系數(shù)的?

師:繼續(xù)說(shuō)下去．

x0,1a 1a1a,+∞ y'-0+ y↘↗

師：這位同學(xué)雖然一開(kāi)始碰到一點(diǎn)小困難,但是后面克服了困難，順利解決了這個(gè)問(wèn)題．解完這個(gè)題,你的感受是什么?

生:在求導(dǎo)數(shù)后要及時(shí)通分,將研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)轉(zhuǎn)化為研究導(dǎo)函數(shù)中分子的符號(hào)．

師:總結(jié)得很好!接下來(lái)看變式3．

變式3研究函數(shù)y=ax2-lnx,a∈R的單調(diào)性．

x0,12a 12a12a,+∞ y'-0+ y↘↗

師:這位同學(xué)思路清晰,表達(dá)完整規(guī)范,能說(shuō)說(shuō)這一題跟變式2有何聯(lián)系與區(qū)別嗎?

黨的十九大以來(lái)，省委省政府對(duì)加快構(gòu)建現(xiàn)代綜合交通運(yùn)輸體系給予了前所未有的關(guān)心重視和大力支持。省委書(shū)記婁勤儉指出，高質(zhì)量發(fā)展是一個(gè)系統(tǒng)化工程，其中最核心的是創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)，最主要的是建設(shè)現(xiàn)代化經(jīng)濟(jì)體系，最迫切的是建設(shè)綜合交通運(yùn)輸體系。

生:這兩題共同之處是分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)差不多,考慮導(dǎo)數(shù)是否有零點(diǎn),零點(diǎn)是否在定義域內(nèi),分類(lèi)時(shí)a的范圍是一樣的,不同之處是通分后分子一個(gè)是一次函數(shù),一個(gè)是二次函數(shù),在畫(huà)示意圖時(shí)有所區(qū)別．

3.融會(huì)貫通，提煉升華

師:總結(jié)得很到位．下面這個(gè)問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們思考一下．

變式4研究函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,a∈R的單調(diào)性．

x(0,1)1(1,+∞) y'+0-y↗↘

x(0,1)1(1,+∞) y'+0- y↗↘

x(0,1)11,12a 12a 12a,+∞ y'+0-0+ y↗↘↗

x0,12a 12a12a,1 1(1,+∞) y'+0-0+ y↗↘↗

師:思路清晰,但是解題過(guò)程中存在一些問(wèn)題,有沒(méi)有同學(xué)發(fā)現(xiàn)?

師:還有嗎?

師:這也是很多同學(xué)在做題時(shí)經(jīng)常會(huì)忽略的地方,邏輯順序錯(cuò)誤,以后解題時(shí)要注意．接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下，如何利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性?

生1:首先考慮定義域,求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),判定零點(diǎn)是否在定義域內(nèi),如果兩個(gè)零點(diǎn)都在定義域內(nèi)，要討論零點(diǎn)的大小關(guān)系,不能忘了相等的情況．

生2:導(dǎo)數(shù)也可能沒(méi)有零點(diǎn),說(shuō)明其符號(hào)是恒正或者恒負(fù)的．

生3:在判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)的時(shí)候要盡量畫(huà)出圖象,根據(jù)圖象看符號(hào)不容易錯(cuò)．

生4:如果導(dǎo)數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)含參,要討論系數(shù)的符號(hào),尤其要先討論系數(shù)等于零的情況．

師:同學(xué)們對(duì)這部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)得非常好,想想還滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法呢?

生:分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合．

師:還有嗎?

生:還有轉(zhuǎn)化與化歸,求導(dǎo)之后通分的過(guò)程實(shí)際上就是將導(dǎo)數(shù)的符號(hào)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)或者二次函數(shù)的符號(hào)．

師:歸納得很全面,知識(shí)點(diǎn)和思想方法的掌握也很到位．下面做一道課堂練習(xí),測(cè)試一下自己對(duì)這類(lèi)問(wèn)題掌握的程度．

4.趁熱打鐵，及時(shí)反饋

課堂練習(xí)已知函數(shù)f(x)=lnx+x-ax2,a∈R.

(1) 若f(x)在x=1處取得極值, 求a的值;

(2) 設(shè)g(x)=f(x)+(a-3)x,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性．

(投影展示學(xué)生的作業(yè)并點(diǎn)評(píng))

二、教學(xué)反思

1.注重知識(shí)生成，領(lǐng)悟理解

課堂是知識(shí)生成、生長(zhǎng)、發(fā)展的主陣地,抓住課堂、提高效率是值得每一位教師思考的問(wèn)題．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)重要工具,而利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是重點(diǎn)也是難點(diǎn)．本節(jié)課通過(guò)具體問(wèn)題將含參數(shù)的難點(diǎn)分解,逐個(gè)剖析,從一次函數(shù)到二次函數(shù),從導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)是否存在,到有兩個(gè)零點(diǎn),層層鋪墊,為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)支架,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,促進(jìn)學(xué)生對(duì)這一題型的充分理解．在變式2的教學(xué)過(guò)程中,當(dāng)學(xué)生沒(méi)有理解分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)致做不下去時(shí),教師并沒(méi)有急著告訴學(xué)生應(yīng)該怎么做,而是通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題“你為什么要分a=0和a≠0討論呢?”“你怎么看出來(lái)它是一次項(xiàng)系數(shù)的?”引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并及時(shí)采取通分的措施將問(wèn)題繼續(xù)解決．

2.注重思想方法，激活思維

萊布尼茲指出,數(shù)學(xué)的本質(zhì)不在于它的對(duì)象而在于它的思想、方法．知識(shí)是載體,思想是根本,在學(xué)習(xí)過(guò)程中讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)感悟數(shù)學(xué)思想方法．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出導(dǎo)數(shù)后通分這一步驟,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,將導(dǎo)數(shù)的符號(hào)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)(一次函數(shù)或二次函數(shù))的符號(hào)問(wèn)題．本節(jié)課自始至終滲透著分類(lèi)討論的思想方法,在解題的過(guò)程中幫助學(xué)生理解分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)、分類(lèi)討論的步驟以及注意點(diǎn),做到不重不漏,注重培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式．思想方法也是核心素養(yǎng)的一種體現(xiàn),掌握思想方法就是從宏觀層面上把握住知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解,促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化．

3.培養(yǎng)學(xué)生能力，提升素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力,引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)態(tài)度．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是憑空想象的,而是扎根于課堂教學(xué)這塊土壤.在教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生積累活動(dòng)和思維的經(jīng)驗(yàn),數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累中不斷提升．?dāng)?shù)學(xué)解題的過(guò)程就是一個(gè)學(xué)生活動(dòng)的過(guò)程,包括學(xué)生的思維活動(dòng),在解題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生能力,激活學(xué)生思維,為提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供平臺(tái)．在教學(xué)過(guò)程中,讓學(xué)生充分參與學(xué)習(xí)活動(dòng),經(jīng)歷反思、領(lǐng)悟、深化,將數(shù)學(xué)理性思維潛移默化為學(xué)生內(nèi)在思維品質(zhì),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．