認(rèn)知彈性理論下的結(jié)構(gòu)不良試題探析
——以“2021年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第18題”為例

高田田 陳豫眉

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,637002)

認(rèn)知彈性理論最早是斯皮羅提出的,他依據(jù)知識(shí)的復(fù)雜程度,將知識(shí)分為結(jié)構(gòu)良好領(lǐng)域的知識(shí)和結(jié)構(gòu)不良領(lǐng)域的知識(shí),強(qiáng)調(diào)知識(shí)的情境性．從學(xué)習(xí)觀的維度來(lái)看,他提出將學(xué)習(xí)分為初級(jí)學(xué)習(xí)和高級(jí)學(xué)習(xí),高級(jí)學(xué)習(xí)階段強(qiáng)調(diào)掌握概念的復(fù)雜性,要求學(xué)生能夠有效利用已習(xí)得的知識(shí)分析新的情境,同時(shí)能夠?qū)⒓河械闹R(shí)遷移至新的情境中去,靈活解決問(wèn)題[1]．

所謂結(jié)構(gòu)不良試題,是相對(duì)于結(jié)構(gòu)良好試題而言的,并不是指試題本身有誤,而是指構(gòu)成問(wèn)題的初始狀態(tài)、算子、目標(biāo)狀態(tài)三者存在某種不確定性,因而通常沒(méi)有所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案．解決結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，能有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲,幫助學(xué)生從多個(gè)方面去把握問(wèn)題的本質(zhì),追求知識(shí)蘊(yùn)含的價(jià)值,有效形成跨學(xué)科綜合解決問(wèn)題的能力．因此,結(jié)構(gòu)不良試題對(duì)促進(jìn)學(xué)生的素養(yǎng)養(yǎng)成和學(xué)習(xí)能力的提升具有重要意義[2]．

基于認(rèn)知彈性理論,斯皮羅提出解決結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的兩大原則,一是“多元表征”,從多個(gè)角度審視問(wèn)題,增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)遷移的能力;二是建立“縱橫交叉形”知識(shí)結(jié)構(gòu),從多個(gè)維度展示知識(shí)與知識(shí)之間、知識(shí)與情境之間的聯(lián)系,提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力.在此基礎(chǔ)上，本文依據(jù)問(wèn)題解決的一般過(guò)程,把結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題解決的過(guò)程劃分為三階段:表征問(wèn)題空間階段、解決問(wèn)題階段、評(píng)估解決方案階段．下面以一道高考題為例，對(duì)此進(jìn)行探究.

試題呈現(xiàn)(2021年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)18題)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,從下面① ② ③ 中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立．

① 數(shù)列{an}是等差數(shù)列;

③a2=3a1．

注若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分．

一、表征問(wèn)題空間

該題給出三個(gè)條件,要求在三個(gè)條件中選取兩個(gè)作為題目的條件,剩下一個(gè)作為要證明的結(jié)論,共有三種組合方式:選擇① ② 為條件，選擇① ③ 為條件或選擇② ③ 為條件．該題作為結(jié)構(gòu)不良試題,由三道結(jié)構(gòu)良好試題組成,每個(gè)結(jié)構(gòu)良好的試題都要進(jìn)行一次表征．

該題考察的是數(shù)列問(wèn)題,主要是進(jìn)行抽象表征,顯性條件是已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為{an}的前n項(xiàng)和;隱性條件是首項(xiàng)a1是正數(shù),若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則公差d>0；若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則公比q>0．若之后遇到解析幾何、立體幾何等試題,可結(jié)合文字、數(shù)式、圖表等進(jìn)行形象表征．

面對(duì)三種組合方式,學(xué)生腦中會(huì)浮現(xiàn)幾個(gè)問(wèn)題：(1)每個(gè)條件都有意義嗎?是否與初始條件矛盾?(2)這三種組合方式都可以證明出最后結(jié)論嗎?(3)哪種組合方式解題更簡(jiǎn)單?(4)需要運(yùn)用哪些知識(shí)?(5)是否有多種解題途徑?(6)哪種解題途徑更快捷?

二、解決問(wèn)題的過(guò)程

從三個(gè)待用條件中選取兩個(gè)作為條件,剩下的一個(gè)為要證明的結(jié)論,共有三種選法．

情形1選擇① ③ 為條件．

情形2選擇① ② 為條件．

情形3選擇② ③ 為條件(也是全國(guó)卷甲卷文科第18題)

分析要證明{an}為等差數(shù)列,轉(zhuǎn)化為證明an-an-1是一個(gè)常數(shù),利用an=Sn-Sn-1求出an的通項(xiàng)公式,注意一定要討論n=1的特殊情況．

注在實(shí)施解決方案過(guò)程中可能會(huì)遇到許多事先無(wú)法預(yù)料的突發(fā)情況,因此,必須對(duì)其進(jìn)行彈性監(jiān)控,不斷調(diào)整和評(píng)價(jià)解決方案的實(shí)際效果．隨著問(wèn)題狀態(tài)的變化,解決方案需要不斷地修改與完善．

三、評(píng)估解決方案

本題以數(shù)列為背景,考察等差數(shù)列的定義,an與Sn之間的轉(zhuǎn)化,等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列基本量的計(jì)算等,顯然情形1的解題思路學(xué)生接觸較多,較為容易想到．

而2020年新高考Ⅰ卷第17題,從探究三角形存在有意義的角度而言,選擇條件③ 會(huì)與初始條件矛盾,可見(jiàn)條件③ 的推理具有不可行性．而本題每個(gè)條件的推理都具有可行性,無(wú)形中降低了難度．此類(lèi)問(wèn)題需要考生依靠問(wèn)題界定的初始條件,通過(guò)分析每一個(gè)條件選項(xiàng)的可行性,根據(jù)既往經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)有情境對(duì)條件選項(xiàng)一一作出預(yù)測(cè)性判斷,然后選擇一個(gè)最佳的、最合情的條件進(jìn)行嘗試性探究[3]．

本題是在限定的三個(gè)條件中選兩個(gè)作為條件,另一個(gè)作為結(jié)論,原題就變成一個(gè)結(jié)構(gòu)良好的封閉題．這種題型有一定的開(kāi)放性,但開(kāi)放度非常有限．所以我們把這種題稱為半結(jié)構(gòu)不良題更為合適[4].但即使是以這樣的半結(jié)構(gòu)不良題作為試題,也是高考?xì)v史上的一大突破．雖然此題難度不大,但要求學(xué)生通盤(pán)考慮所給的三個(gè)條件,對(duì)給出的三個(gè)條件進(jìn)行預(yù)判,選出最利于解決問(wèn)題的條件．這種要求學(xué)生先分析后選擇的試題,考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的洞察力,從而真正考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．作為全國(guó)卷甲卷,又是新開(kāi)發(fā)的題型,因此命題者在問(wèn)題的設(shè)置上降低了很多難度.一方面在問(wèn)題設(shè)置上并沒(méi)有要求考生自行補(bǔ)充條件,并且缺少的條件不多,命題者給出3個(gè)條件讓考生來(lái)選擇;另一方面,題目放在解答題18題的位置,通過(guò)數(shù)列這類(lèi)高考要求不高的題目來(lái)設(shè)置問(wèn)題，也降低了難度要求．今后是否可能會(huì)在要求更高的立體幾何、解析幾何或?qū)?shù)中引入此類(lèi)題型還不清楚[5]．

四、建議

學(xué)生所遇到的題目基本都是結(jié)構(gòu)良好的題目,通常采用題海戰(zhàn)術(shù),找尋問(wèn)題的規(guī)律,增強(qiáng)對(duì)概念的掌握,形成解題的一般模式．但在日常生活中所遇到的問(wèn)題大多屬于結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題,基于彈性認(rèn)知理論,筆者提出以下幾點(diǎn)建議．(1)學(xué)生面對(duì)結(jié)構(gòu)不良試題時(shí)要注重對(duì)試題進(jìn)行多元表征,多維分析,發(fā)展自身的彈性認(rèn)識(shí);(2)在運(yùn)用案例進(jìn)行實(shí)際學(xué)習(xí)時(shí),不應(yīng)將案例與相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的“一一配對(duì)”,而是應(yīng)當(dāng)實(shí)現(xiàn)不同情境與知識(shí)之間的相互聯(lián)系,面對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn),要使用多個(gè)相關(guān)的、代表不同情境的案例來(lái)幫助理解,最終形成一個(gè)知識(shí)點(diǎn)和相應(yīng)的案例所交替構(gòu)成的“縱橫交叉形”結(jié)構(gòu);(3)教師要為學(xué)生創(chuàng)造盡可能貼近真實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)習(xí)情境;(4)教師可以利用現(xiàn)代信息技術(shù)，以具有概括性強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念為主干,以相關(guān)的案例為分支,將數(shù)學(xué)概念鑲嵌在多個(gè)與其相關(guān)的背景案例中,利用真實(shí)情境實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系,形成概念群．學(xué)生可以依據(jù)自身情況,選擇一個(gè)案例情境進(jìn)入,展開(kāi)自主學(xué)習(xí),構(gòu)建具有個(gè)人特色且能夠靈活遷移的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)．