巧設題·重聯(lián)想·散思維
——一道中考復習題的解法探究

江蘇省南京市金陵中學仙林分校中學部(210000)孔偉偉

1 原題呈現(xiàn)

如圖,四邊形ABCD是邊長為6的正方形,點E在邊AB上,BE=4,過點E作EF//BC,分別交BD、CD于點G、F兩點,若M、N分別是DG、CE的中點,求MN的長.

2 試題評價

此題為2017年浙江寧波市第10 題,本題雖以選擇的形式考察,但方法多樣,題目中蘊含正方形、矩形的多個性質(zhì),考察中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、等腰三角形三線合一、勾股定理等知識點,因此可以從不同的角度分析和挖掘題目.同時需要學生借助基本模型靈活運用知識,對學生思維水平要求較高,同時進行細致的觀察、合理的聯(lián)想、嚴謹?shù)耐评?能夠較好地考察學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等素養(yǎng).

3 解法探究

3.1 利用三角形中位線

解法1:看如圖1所示,取DF、CF的中點H、K,連接MH、NK;∵MH、NK分別為?DGF和?CEF的中位線,易證四邊形HMRK為矩形,∴MR=HK=HF+FK=3,∵?DMH為等腰直角三角形,∴MH=DH=1,RK=1,NR=2,∴在Rt?MRN中,.

圖1

解法2:如圖2,連接FM并延長交AD于點Q,連接QG、BQ、BF,∵四邊形BECF為矩形,且N為CE中點,∴BN=NF,易證四邊形DQGF為正方形,∴MN是?BFQ的中位線,.

圖2

解法3:如圖3,延長GN交BC于點H,易證?EGN∽=?CHN,∴N為GH的中點,∴MN為?GHD的中位線;∵?DFG為等腰直角三角形,DF=FG=2,.

圖3

3.2 利用等腰三角形三線合一

解法4:如圖4,連接CM、EM,取DF中點P,連接MP,延長PM交AB于點H;由正方形的對稱性易證?HEM∽=?PMC,∴MC=ME,∵∠EMC=90?,.

圖4

3.3 利用直角三角形性質(zhì):“斜邊中線等于斜邊一半”

解法5:如圖5,連接MF,BF,∵四邊形BECF為矩形,且N為CE中點,∴BN=NF,易證?DFG為等腰直角三角形,∵M為DG中點,∴FM⊥DG,在Rt?BFM中,.

圖5

3.4 利用平面直角坐標系

解法6:如圖6,建立如下平面直角坐標系,由題可知設:C(6,0),E(0,4),D(6,6),G(4,4),由中點坐標公式可得:.

圖6

3.5 利用梯形中位線

解法7:如圖,取AE的中點K,BE的中點H,連接MK、NH,作NJ⊥KM,∵MK為梯形AEGD的中位線,∴5,∵N、H分別是BE、CE的中點,易證四邊形KJNH為正方形,∴KJ=HN=NJ=3,.

圖7

4 解后反思

4.1 體驗聯(lián)想,喚醒自我認知

解題教學,教師應該盡可能引導將數(shù)學知識按照一定的邏輯進行聯(lián)結(jié),避免“碎片化”學習,注重開發(fā)學生聯(lián)想思維,從“想不到”到“能想到”,甚至想到更多的“巧法”.此題中的關(guān)鍵元素是中點,看到中點首先可以想到三角形中位線定理;看到等腰和中點,想到等腰三角形三線合一;看到特殊四邊形對角線中點,想到連接另一條對角線;看到直角三角形和斜邊中點,想到“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”;看到平行和中點,想到倍長中線構(gòu)造全等;在平面直角坐標系中,看到中點想到中點坐標公式,化形為數(shù).數(shù)學中很多復雜的問題都是由熟悉的、基本的幾何模型演變而來,引導學生產(chǎn)生聯(lián)想,有助于喚醒學生已有的認知,對問題產(chǎn)生新的想法,找到解題思路.

本題中的條件“四邊形ABCD是邊長為6 的正方形”若變成“四邊形ABCD為矩形,AB=6,∠ABD=60?”,仍然可以求出MN的長度;當然條件可以更一般化為:四邊形ABCD為平行四邊形,AB=a,BC=b,∠BAD=α,∠ABD=β,AE=c,如圖8所示,通過解三角形和三角形中位線定理即可得MN的長.解題教學不是簡單的解決一道題,更多地關(guān)注重要結(jié)論性質(zhì)的拓展與推廣.在變式教學中,學生可以從多角度、多層面、多結(jié)論去認識,從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),有效提高學生的學習效率和探索能力,提升思維層次,發(fā)展學生的數(shù)學學科素養(yǎng).

圖8

4.2 分析問題,拓展思維深度

波利亞說:掌握數(shù)學就意味著善于解題.教師在解題教學中,既要分析題目中的顯性和隱性的條件,也要分析題目條件與結(jié)論得內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu),深度挖掘題目中的基本幾何模型、蘊含的數(shù)學方法和數(shù)學的本質(zhì),從而培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、條理性和融合性.本題充分利用中點這個元素,通過對中點的聯(lián)想,從不同的切入點思考,幫助學生鞏固所學知識,提高知識應用能力,實現(xiàn)深度學習.