扇形面積公式與三角形面積公式的內(nèi)在聯(lián)系

上海市寶山區(qū)上海新聞出版職業(yè)技術(shù)學(xué)校(200431)有四普

1 引言

初中階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了扇形面積公式和弧長公式,在高中階段學(xué)習(xí)弧度制的時候,又學(xué)習(xí)了在弧度制下的扇形面積公式.然而就是在這一新的公式形式的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)扇形的面積公式和弧長公式識記比較困難,公式的規(guī)律性不太明顯.出現(xiàn)這種情況的原因有三:一是由于初中階段教材內(nèi)容安排以及教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中使用了傳統(tǒng)的教學(xué)過程;二是高中階段教師未對公式進(jìn)行深層次的處理和解釋,學(xué)生未能完全理解扇形面積公式的實質(zhì);再者還有部分學(xué)生處于“盡信書”的狀態(tài),不對公式的來龍去脈進(jìn)行一番思考和求證.

2 初中階段的教學(xué)過程

“弧長和扇形面積”的教材編寫過程和一般的教學(xué)過程大致經(jīng)歷這樣幾個階段:問題情境→思考并得出公式→用公式解決問題情境中的問題→公式的再應(yīng)用[1-2].傳統(tǒng)的教學(xué)過程也會讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,從而來推導(dǎo)出扇形的面積公式,培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和歸納能力.在經(jīng)歷這一過程后學(xué)生也基本能夠做到識記和推導(dǎo)扇形面積公式,但是作為教育來說,這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.

在傳統(tǒng)的推導(dǎo)扇形面積公式的過程中,教師一般會創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,從而來推導(dǎo)出扇形面積公式.這個過程一般是這樣的:給出一個半徑為R的圓和一組半徑都為r扇形,這些扇形的圓心角分別是270?,180?,90?,60?,30?,1?,n?(此處僅為舉例,與教學(xué)過程采用數(shù)據(jù)并非嚴(yán)格一致),如下表1所示:

表1 扇形面積變化與圓心角度數(shù)變化之間的規(guī)律

在這里采用的是部分與整體,由特殊到一般的歸納方法,從而推導(dǎo)出扇形面積公式[3].學(xué)生們在初中學(xué)習(xí)的時候大致就是經(jīng)歷的這樣一個過程,老師們也基本上采用的是這一教學(xué)設(shè)計思路,出現(xiàn)這樣的情況主要和我們學(xué)生初中階段的學(xué)情和教材安排有關(guān).

3 高中階段的教學(xué)過程

高中階段的扇形面積公式是在學(xué)習(xí)弧度制時提出來的,在這一學(xué)習(xí)階段,學(xué)生學(xué)習(xí)了弧度制,弧度制下的弧長公式:

在這里l表示弧長,α表示弧所對應(yīng)的圓心角的弧度數(shù),r表示扇形所在圓的半徑,根據(jù)任意角的角度制與弧度制之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

初中給出的角度制下扇形面積公式為:

將公式(1),(2)代入(3)即得弧度制下的扇形面積:

高中階段的弧度制下的扇形面積公式也就這樣給出了,這樣給出的公式(4)使學(xué)生感覺像是一種推導(dǎo)式,不便于學(xué)生們的理解與識記.于是在學(xué)生們對新的公式的記憶變得模糊時,又得從初中所學(xué)的公式里面推導(dǎo)出來,且不說這里面無法保證所有的學(xué)生都能完成推導(dǎo),更有一個重要原因是無法讓學(xué)生去真正理解知識、領(lǐng)悟知識、收獲知識從而實現(xiàn)自我的發(fā)展,這也不是我們愿意看到的教育[4-5].

也正是因為學(xué)生們在初中學(xué)習(xí)的時候采用的學(xué)習(xí)方法再加上高中階段給出的弧度制下的扇形面積公式的導(dǎo)出式,從而導(dǎo)致學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)過程中對扇形面積公式產(chǎn)生了困惑與識記困難.

4 三角形面積公式與扇形面積公式的內(nèi)在統(tǒng)一性

筆者在設(shè)計和教授本節(jié)課時采用了支架式教學(xué)法[6],前面的教學(xué)過程和傳統(tǒng)的教學(xué)過程也比較類似,但是在導(dǎo)出公式(4)之后筆者會讓學(xué)生們觀察公式(4),并且在這里設(shè)置了一個探索環(huán)節(jié):a.公式(4)和我們以往學(xué)習(xí)的什么公式比較類似;b.出現(xiàn)這一現(xiàn)象是巧合嗎,請分析原因.

學(xué)生們在觀察之后發(fā)現(xiàn)公式(4)與三角形的面積公式在形式上高度相似,幾乎可以認(rèn)為是一樣的,但是對于問題b的回答卻始終得不到一個圓滿的結(jié)果,有的同學(xué)認(rèn)為此時可以把扇形認(rèn)為是一個三角形,但是就是說不出具體的原因.

筆者為了讓學(xué)生們清楚知道出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因,給同學(xué)們滲透了極限的思維,讓同學(xué)們觀察下圖1:

圖1

為什么會出現(xiàn)這種情況呢?筆者在教學(xué)的過程中前半部分也采用了上文中高中階段學(xué)習(xí)的框架,只不過筆者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了內(nèi)容的拓展,讓同學(xué)們觀察上圖的變化,體會三角形與扇形之間的形態(tài)變化.

觀察發(fā)現(xiàn),我們把一個扇形分割成若干個全等三角形時,隨著分割次數(shù)的增加,分割出來的小扇形越來越近似三角形,它的面積也越來越接近于小三角形的面積,當(dāng)分割次數(shù)n趨近于無窮大時必然有扇形的面積等于三角形的面積,即:

當(dāng)n趨近于無窮大時,三角形的高h(yuǎn)?AOB與扇形的半徑r相等,三角形的底邊AB的長等于小扇形的弧長lAB,nlAB就等于大扇形的弧長l,于是有:

從公式(6)中可以發(fā)現(xiàn),求解扇形的面積是通過求三角形的面積來實現(xiàn)的,也就是說扇形的面積出自于三角形的面積.

因為扇形可以看成是無數(shù)個全等的底邊無限小的等腰三角形組成的,因此扇形的面積才會與三角形的面積出奇的相似,也就是說扇形的面積公式與三角形的面積公式具有內(nèi)在統(tǒng)一性.如果我們把扇形的弧看成是“底”,半徑看成“高”的話,則扇形就可以看成一個特殊的三角形了,其面積公式和三角形的面積公式那就是一樣的了,這也就很好地解釋了為什么扇形的面積公式會與三角形的面積公式很相似.

經(jīng)過上述解釋,學(xué)生對扇形的理解更加深刻.同樣的方法也可以應(yīng)用到弧長公式上,學(xué)生們對于扇形的面積公式以及弧長公式的認(rèn)識也更加深刻,也解決了學(xué)生在學(xué)習(xí)扇形時遇到的公式識記困難以及對公式形式的困惑,并且在探討的過程中有效拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,促進(jìn)了學(xué)生對極限思想的理解.

5 結(jié)論

扇形的面積公式與三角形的面積公式具有內(nèi)在統(tǒng)一性,可以用一個統(tǒng)一的形式表示出來.數(shù)學(xué)中有許多圖形的面積公式可以用一個統(tǒng)一的形式表示出來[7],因此在教學(xué)過程中我們需要把公式的來龍去脈弄清楚[8],看清各個公式之間的內(nèi)在聯(lián)系,這樣既有利于提升我們課堂的效果,同時也有助于實現(xiàn)對學(xué)生的真正教育,促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.