核心素養(yǎng)背景下一道“新定義題”分析與思考

揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225100)占昱

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了學(xué)生能在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),樹立善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、審美價(jià)值的課程目標(biāo).為了在評(píng)價(jià)課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn),考察結(jié)果性目標(biāo)的同時(shí)兼顧過程性目標(biāo),數(shù)學(xué)考試中的試題應(yīng)該具有一定的創(chuàng)新性和靈活度,在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)還能考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.“新定義題型”作為創(chuàng)新性題型,是在題目中給出學(xué)生在課堂上沒有學(xué)習(xí)過的新概念、新運(yùn)算,將“新定義”與已學(xué)知識(shí)結(jié)合,提出相關(guān)數(shù)學(xué)問題.解決該類型題目需要學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)通過閱讀題目條件和例子,自主學(xué)習(xí)和理解題目中的“新定義”,并運(yùn)用“新定義”解決問題.新定義題在考察學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的掌握程度和知識(shí)的遷移能力的同時(shí),也考察了學(xué)生的從問題中提取信息能力、閱讀理解能力和自主學(xué)習(xí)能力,并且解決問題時(shí)往往會(huì)要求學(xué)生具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng),實(shí)現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考察.

2021年是江蘇省實(shí)行新高考改革的第一年,八省聯(lián)考作為第一次新高考前的一次適應(yīng)性考試,既是對(duì)各省的教育的一次評(píng)價(jià),又為各省在新高考模式下高中教育教學(xué)指明方向.在八省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷第20 題中,改變了以往常規(guī)出題方式,應(yīng)用了“新定義題”題型.下面就八省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷中的第20 題新定義題為例,分析該題所考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力.

1 試題解析與點(diǎn)評(píng)

試題:北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性,規(guī)定:多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如:正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3 個(gè)面角,每個(gè)面角是,所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為,故其總曲率

為4π.

(1)求四棱錐的總曲率.

(2)若多面體滿足:頂點(diǎn)數(shù)?棱數(shù)+面數(shù)=2,證明:這類多面體的總曲率是常數(shù).

1.1 試題解析

通過分析題目中給出的計(jì)算曲率的公式和例子,可以發(fā)現(xiàn)要按照題目中所舉的例子計(jì)算四棱錐的總曲率,需要知道四棱錐的頂點(diǎn)數(shù)、面角數(shù)以及面角的大小,但是由于四棱錐的不確定,其每個(gè)面角的大小是不確定的,所以通過各頂點(diǎn)曲率求和得到總曲率的方法是較難的.但是通過觀察可以發(fā)現(xiàn)四棱錐有一個(gè)面為四邊形,內(nèi)角和為2π,其余四個(gè)面是三角形,四個(gè)面的總內(nèi)角和是π·4,所以所有面角的和為所有面的內(nèi)角和相加即π·4+2π·1,由于四棱錐有五個(gè)頂點(diǎn),再計(jì)算出2π·5 與所有面的內(nèi)角和的差得出答案.第(2)問是將第(1)問抽象化,在解決第(2)問時(shí)可以類比第(1)問的方法.首先設(shè)出每個(gè)面的邊數(shù),再利用多邊形內(nèi)角和公式計(jì)算出所有面的內(nèi)角的總和,并化簡(jiǎn)該式子,最后在利用曲率的公式計(jì)算并利用問題中的條件化簡(jiǎn),發(fā)現(xiàn)該類多面體的總曲率為4π,即多面體滿足:頂點(diǎn)數(shù)?棱數(shù)+面數(shù)=2 時(shí),多面體總曲率是4π.

解:(1)記總曲率為K,則四棱錐的總曲率K=2π·5?(π×4+2π×1)=4π,

(2)記多面體總曲率為K,頂點(diǎn)數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E;設(shè)多面體每個(gè)面的邊數(shù)分別為n1,n2...nF,則對(duì)應(yīng)的每個(gè)面是ni邊形;則第i面的內(nèi)角和為(ni ?2)·π;所以總內(nèi)角和為.

1.2 試題點(diǎn)評(píng)

該題以大學(xué)微分學(xué)中的曲率為背景,結(jié)合立體幾何中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行試題命制.但是該題中的“曲率”并不是幾何中真正的曲率,而是將曲線的曲率性質(zhì)類比到空間當(dāng)中,用來描述空間的彎曲性,以此形成了一個(gè)新“曲率”的概念.同時(shí)第(2)問的條件也是著名的歐拉定理,即在一凸多面體中,頂點(diǎn)數(shù)?棱數(shù)+面數(shù)=2.此題屬于新定義題型中的新概念題,學(xué)生要能夠解決這個(gè)問題,首先需要結(jié)合已有的幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)和理論體系來理解“曲率”的概念,應(yīng)用數(shù)學(xué)語言和符號(hào)解釋“曲率”的計(jì)算方法.這要求學(xué)生具有較高數(shù)學(xué)表征能力;學(xué)生在理解“曲率”概念和計(jì)算方法基礎(chǔ)上,根據(jù)題目中的計(jì)算公式和自身的空間觀念找到多面體的點(diǎn)、面、邊和角的密切關(guān)系,通過圖形的性質(zhì)和變換建構(gòu)“數(shù)”與“形”的關(guān)系,并將其轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的關(guān)系來解決問題.該題的第(2)問形式上是證明題,但本質(zhì)上是計(jì)算題,即計(jì)算一類滿足頂點(diǎn)數(shù)?棱數(shù)+面數(shù)=2 條件的多面體的總曲率,與其面數(shù)n無關(guān).在解決問題(2)時(shí),需要把第(1)問的解題方法類比到第(2)問,將求具體的四棱錐的總曲率抽象為求n面體的總曲率,從而證明第(2)問結(jié)論,考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),同時(shí)學(xué)生需要運(yùn)用邏輯推理能力,選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法證明問題(2)的數(shù)學(xué)命題,并用準(zhǔn)確的語言表述論證過程.在計(jì)算第(2)問的多面體曲率時(shí),需要學(xué)生具有一定的符號(hào)意識(shí),從多面體中理清點(diǎn)、面、邊和角的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,并能用符號(hào)表示運(yùn)算對(duì)象,運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理,同時(shí)理解運(yùn)算對(duì)象、探究運(yùn)算思路,通過運(yùn)算證明問題中的一般性結(jié)論.由此可見,該試題不僅考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí),還綜合考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、幾何直觀、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

新定義題除了定義新概念外,還有定義新運(yùn)算的題型.解決新運(yùn)算題需要學(xué)生具有一定的抽象意識(shí),理解新運(yùn)算中的運(yùn)算規(guī)則,避免對(duì)一些運(yùn)算符號(hào)的思維定勢(shì)干擾解題思路.其實(shí)學(xué)習(xí)新定義、新運(yùn)算等是學(xué)生擴(kuò)充其數(shù)學(xué)知識(shí)體系的一個(gè)基本途徑,數(shù)學(xué)新知識(shí)的學(xué)習(xí),無非就是新概念、新結(jié)構(gòu)和新運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程.例如,我們?cè)谛W(xué)階段就已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的加法,在初中階段性學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式和分式的加法,到了高中又學(xué)習(xí)了函數(shù)加法和向量的加法.相對(duì)于實(shí)數(shù)的加法,中學(xué)階段所學(xué)的這些“加法”都是新運(yùn)算.到了大學(xué)階段學(xué)習(xí)代數(shù)結(jié)構(gòu)以后知道,任何一個(gè)交換群中的運(yùn)算都可以叫做“加法”,進(jìn)一步抽象化,所謂集合G上的加法就是G×G到G的滿足一定條件的一個(gè)映射.因此“新定義題”能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng),對(duì)學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)大有裨益.

下面將對(duì)往年高考中出現(xiàn)的新概念題、新運(yùn)算題進(jìn)行簡(jiǎn)要分析,體會(huì)新定義題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

2 往年高考新定義題

試題1:(2017年江蘇第19 題)對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足:an?k+an?k+1+...an?1+an+1+...+an+k?1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n(n >k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.

(1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;

(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列.

解析:(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),an?3+an?2+an?1+

an+1+an+2+an+3=(an?3+an+3)+(an?2+an+2)+(an?1+an+1)=2×3an根據(jù)“P(k)數(shù)列”的定義,可得數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;

(2)由{an}是P(3)數(shù)列可得an?2+an?1+an+1+an+2=4an,又由{an}是P(3)數(shù)列可得an?3+an?2+an?1+an+1+an+2+an+3=6an,整理即可求得2an=an?1+an+1,即可證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

分析:該題將新定義題型與數(shù)列的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行結(jié)合,屬于新定義題中的新概念題.解決該問題需要學(xué)生在理解“P(k)數(shù)列”定義的基礎(chǔ)上,靈活運(yùn)用等差數(shù)列概念和性質(zhì),并運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理,得出等差數(shù)列是“數(shù)列P(k)”的結(jié)論,同時(shí)在第一問的基礎(chǔ)上,利用題目中的條件和“P(k)數(shù)列”的定義得到(2)問中的結(jié)論.該題不僅考察了學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)的掌握程度,同時(shí)還考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).除此之外,教師在該題的教學(xué)過程中,可以讓學(xué)生探索更一般的結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生的探索精神.個(gè)交點(diǎn),故選 B.

分析:該題屬于新定義題中的新運(yùn)算題型,題中定義了一種新的運(yùn)算“?”,利用新運(yùn)算構(gòu)建一個(gè)新的函數(shù)f(x).該題需要學(xué)生能理解、運(yùn)用運(yùn)算法則得到函數(shù)f(x)的解析式,并利用分段函數(shù)和函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法結(jié)合函數(shù)圖像解決該問題.對(duì)于該題,拋開新運(yùn)算,這道題其實(shí)是一道簡(jiǎn)單的關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的選擇題,但是加入新運(yùn)算后,不僅提高了試題的難度、區(qū)分度和創(chuàng)新度,同時(shí)考查了學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力,對(duì)學(xué)生幾何直觀、邏輯推理,特別是數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高.

3 教學(xué)建議

通過分析上述八省聯(lián)考和往年高考中的新定義題,我們發(fā)現(xiàn)這些題難度并不大,本質(zhì)上還是對(duì)高中的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查.為了提高學(xué)生新定義題的解題能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

3.1 注重知識(shí)的聯(lián)系和知識(shí)的遷移

對(duì)于“新定義題”,雖然是新的“定義”,但是這些概念其實(shí)是已經(jīng)學(xué)習(xí)過的概念、定理的延伸,其問題本質(zhì)上還是考察書本中數(shù)學(xué)知識(shí),以及學(xué)生能否通過已經(jīng)學(xué)習(xí)的定義來理解新定義.所以解決問題的關(guān)鍵還是在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系性,注意學(xué)生知識(shí)的遷移能力.在教學(xué)過程中,教師應(yīng)該加深學(xué)生對(duì)遷移能力的認(rèn)識(shí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)遷移意識(shí),在學(xué)生牢固掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有一定的歸納總結(jié)能力,進(jìn)而提高學(xué)生的遷移能力,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系,建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu),為學(xué)生知識(shí)的遷移打下基礎(chǔ).

3.2 加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言操作能力

“新定義題”解題的一大難點(diǎn)就在學(xué)生需要精準(zhǔn)理解問題中給出的新定義的內(nèi)涵,并應(yīng)用新定義解決問題,其考察的本質(zhì)是學(xué)生的數(shù)學(xué)語言操作能力,學(xué)生需要理解問題中新定義的概念,實(shí)現(xiàn)定義的數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化.因此,教師在教學(xué)過程中,應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化能力.在解決問題時(shí),讓學(xué)生自主思考,提取問題中的有效信息并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言解決問題.在學(xué)習(xí)新定義、新運(yùn)算時(shí),有意識(shí)地讓學(xué)生將語言文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,用自己的話表達(dá),培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力.同時(shí),教師在教學(xué)過程中還應(yīng)該注意多種數(shù)學(xué)表征類型的應(yīng)用,這樣不僅加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,還能切實(shí)提高數(shù)學(xué)語言操作能力.

3.3 培養(yǎng)學(xué)生深度思考能力

數(shù)學(xué)學(xué)科的根本是其思維特性,數(shù)學(xué)活動(dòng)主要表現(xiàn)在思維活動(dòng),數(shù)學(xué)教學(xué)的根本是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考.學(xué)生在考試過程中遇到新定義題后不會(huì)解決,產(chǎn)生畏難心理和恐懼心理,其很大原因是學(xué)生不善于思考.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考.讓學(xué)生提出問題,讓學(xué)生舉例論證,有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生舉反例、特例,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維,提高學(xué)生的思維“活性”.為學(xué)生提供質(zhì)疑反思的機(jī)會(huì),培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑反思能力.同時(shí),在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),展現(xiàn)思路的產(chǎn)生過程,教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)研究的一般方法,通過教會(huì)學(xué)生思考來提高學(xué)生的解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).