與圓有關(guān)的那些“最”

南京師范大學附屬中學樹人學校(210000)姜紅

蘇科版初中教材,九年級上學期第2 章“對稱圖形——圓”中,有多個最值問題,值得探究.學生對此類問題的認識往往只流于淺表,未經(jīng)深刻思考和推理論證,不利于思維的深度發(fā)展.針對于此,在此探究一二.

問題1 定點與定圓上點距離的最值

如圖1,圓外點P到⊙O半徑為2,OP=3,則點P到⊙O上點的最大距離為____,最小距離為____.

圖1

從直觀上,容易意識到此問題中當點P、圓心O與圓上的點共線時,P與該點的距離取得最值.即圖2 中,點P與點A距離最大,為3+2=5,與點B距離最小,為3?2=1.

圖2

但是,理由何在?

對初學者來說,還有個問題,如何證明P到某點的距離是最大的?

證明“P到某點的距離是最大”,即證明“P到某點的距離比P到其他點的距離都大”.故而方法可以是:在⊙O上任取另外不同于A的點A′,證明PA >PA′(如圖3).具體如下:

圖3

在⊙O上任取另外不同于A的點A′,連接PA′、OA′.若P、O、A′三點不共線,在?POA′中,OP+OA′ >PA′,又∵OA=OA′,∴OP+OA >PA′,即:PA >PA′.若A′在OP與⊙O的交點B處,則PA′=OP ?OB=OP ?OAPA′

綜上,對于任意不同于A的點A′,都有PA >PA′.故點P與⊙O上點A的距離最大,為3+2=5.

同理可證,點P與⊙O上點B的距離最小,為3?2=1.故答案為:5,1

問題一般化:平面內(nèi)點P到圓心O的距離為d,⊙O的半徑為r.當點P在⊙O外,P到圓上點距離的最大值為d+r,最小值為d ?r.當點P在⊙O內(nèi),P到圓上點距離的最大值為d+r,最小值為r ?d.當點P在⊙O上,P到圓上點距離的最大值為d+r=r+r=2r,最小值為0.

綜上,平面內(nèi)點P到圓上點距離的最大值為d+r,最小值為|d ?r|.

問題1 的變式:平面內(nèi),點P到⊙O上點的最長距離為m,最短距離為n,則此圓的半徑為.

問題2 直徑是圓中最長的弦

我們可以直接用上述方法加以證明.

如圖4,AB為⊙O的直徑,CD為任意一條非直徑弦,求證:AB >CD.

圖4

證明:連接OC、OD(如圖5),在?COD中,OC+OD >CD,即r+r >CD,即直徑d>CD,∴直徑AB >非直徑弦CD.

圖5

本質(zhì)上講,以上問題都是轉(zhuǎn)化為“三角形的三邊關(guān)系”.

問題3 過圓內(nèi)定點弦長的最值

如圖6,點P在⊙O內(nèi),畫出過點P的最長弦、最短弦,并證明你的結(jié)論.

圖6

在問題1 中已經(jīng)討論過,過點P的最長弦是直徑AB.直覺感受,最短弦是跟最長弦垂直的弦CD(如圖7).這個結(jié)論同樣需要進行論證.以下從不同角度進行論證.

圖7

方法1:垂徑定理+ 勾股定理:如圖8,過點P任畫另一條與AB不垂直的弦EF,過點O作OG⊥EF,垂足為G,連接OC、OF.∵CD⊥AB,CD=2CP,在Rt?OPC中,同理可得,EF=2FG,又∵OP >OG,且OC=OF,∴CP

圖8

方法2:圓冪定理+基本不等式:如圖9,任作弦EF與直徑AB相交于點P,∴EP·FP=AP·BP=(r+d)·(r?d)=r2?d2為定值,當且僅當EP=FP時取等號.此時EF⊥AB.

圖9

事實上,圖7 中線段半徑r(即OC)是AP與BP的算術(shù)平均數(shù),也是Rt?COP的斜邊,而CP是AP與BP的幾何平均數(shù),也是Rt?COP的直角邊.故此圖也用作對命題“兩正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)”的證明.

問題4 定點、圓心及圓上點張角的最值

其一,定點在圓外.如圖10,點A在半徑為1 的⊙O外,OA=2,點B在⊙O上,則∠OAP的最大值為____.

圖10

從直觀上講,當直線AP與⊙O相交時(如圖11)則在上必然存在點P′使得∠OAP更大,故僅當直線AP與⊙O相切時,∠OAP最大,此時Rt?AOP′中,sin ∠OAP=,所以∠OAP的最大值為30?.

圖11

論證起來,考慮∠OAP的鄰邊OA為定長,可以作OB⊥AP于點B(如圖12),考察Rt?AOB中,sinA=(僅當B與P重合時取等),所以∠OAP≤30?.

圖12

此時問題可一般化為:半徑為r的⊙O外有一點A,OA=d(d >r),P為⊙O上一點,則∠OAP的最大值為.

其二,定點在圓內(nèi).如圖13,點A在半徑為3的⊙O內(nèi),點P在⊙O上,當∠OPA最大時,S?AOP=____.

圖13

同上,考慮∠OPA的鄰邊OP為定長,可以作OB⊥AP于點B(如圖14),考察Rt?POB中,僅當B與A重合時取等,此時OA⊥AP(如圖15),AP=此時.

圖14

圖15

此中的角度最大值問題,亦可一般化為:半徑為r的⊙O內(nèi)有一點A,OA=d(d