深度學(xué)習(xí)下“將軍飲馬”問題的教學(xué)設(shè)計與思考*

北京市十一學(xué)校龍樾實(shí)驗(yàn)中學(xué)(100096)彭芳芳

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》明確指出:“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù),應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中.”[1]深度學(xué)習(xí)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與思考,能夠有效幫助學(xué)生建立知識的系統(tǒng)性,培養(yǎng)學(xué)科思維和創(chuàng)新意識,滲透核心素養(yǎng).筆者以數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典幾何問題——“將軍飲馬”問題為載體,呈現(xiàn)深度學(xué)習(xí)引領(lǐng)下的幾何應(yīng)用專題的教學(xué)設(shè)計與思考,與讀者分享交流.

1 教學(xué)設(shè)計

1.1 內(nèi)容分析

最短路徑問題是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊“軸對稱”這一章的應(yīng)用內(nèi)容,屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中“圖形與幾何”領(lǐng)域.最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到,初中階段,主要以“兩點(diǎn)之間,線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”為知識基礎(chǔ),有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究.

本課例以數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題——“將軍飲馬”問題為載體,開展對“最短路徑問題”的課題研究與深度學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)散情境,并通過類比轉(zhuǎn)化、遷移學(xué)習(xí),利用基本原理(“兩點(diǎn)之間線段最短”和“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”)與基本變換(平移、軸對稱)解決問題,發(fā)現(xiàn)學(xué)科本質(zhì).

1.2 學(xué)習(xí)者分析

本班學(xué)生為我校分層教學(xué)理念指導(dǎo)下的數(shù)III 學(xué)生,學(xué)生基礎(chǔ)較好,認(rèn)知能力、學(xué)習(xí)能力和遷移能力較強(qiáng).在此之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“幾何圖形初步”、“相交線與平行線”、“三角形”和“全等三角形”,已具備一定的空間觀念、幾何直觀、幾何推理能力和幾何思維.為提升課堂效率,本課主要采用開放性的問題驅(qū)動式教學(xué)策略.

1.3 學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)能夠建立幾何模型,將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的最短路徑問題;

(2)能夠利用軸對稱、平移等圖形變換,將線段和的最值問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”問題或“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”問題;

(3)能根據(jù)情境需求,分類討論,并完成復(fù)雜情境向簡單情境的轉(zhuǎn)化,體會分類討論思想和類比、轉(zhuǎn)化思想,體會學(xué)科思維習(xí)慣,體驗(yàn)深度學(xué)習(xí)過程;

(4)積極參與問題的探索活動,自主創(chuàng)設(shè)情境、提出問題,學(xué)會和他人合作交流,體會成功的快樂,提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

1.4 教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一:情境引入 模型建立

早在古羅馬時代,傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者,名叫海倫.一天,一位羅馬將軍專程去拜訪他,向他請教一個百思不得其解的問題:將軍每天從軍營A出發(fā),先到河邊飲馬,然后再去河岸B地開會,應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?從此,這個被稱為“將軍飲馬”的問題被廣泛流傳.

問題1:同學(xué)們,你能借助于幾何圖形把這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎?

學(xué)生活動:學(xué)生分析畫圖,建立幾何模型,回答問題:把軍營A、河岸B抽象為A,B兩點(diǎn),河抽象為直線l,于是將軍飲馬問題轉(zhuǎn)化為在直線l上取一點(diǎn)P,使得AP與BP兩線段之和最小.

教師活動:引入情境,提出問題,鼓勵學(xué)生展示建模過程.

設(shè)計意圖:讓學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.

環(huán)節(jié)二:條件開放 分類討論

問題2:在直線上l取一個點(diǎn)P,使得線段AP與BP之和最小,有幾種不同的情形?

學(xué)生活動:畫圖分析、分類討論,并與同學(xué)交流討論,達(dá)成共識:A,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)和A,B兩點(diǎn)在直線l的異側(cè).

追問1:哪一種情況比較簡單?如何解決?你的依據(jù)是什么?

學(xué)生活動:思考判斷、互相交流、組織語言、回答問題:若A,B在直線l的異側(cè),連接線段AB,線段AB與直線l的交點(diǎn)即為要求的P點(diǎn).依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短(三角形的兩邊之和大于第三邊),如圖1所示.

圖1

追問2:如果A,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè),如何解決?能否根據(jù)所學(xué)轉(zhuǎn)化為第一種情況?

追問3:轉(zhuǎn)化的依據(jù)是什么?

學(xué)生活動:獨(dú)立思考,對比轉(zhuǎn)化,與同學(xué)交流討論,嘗試回答,相互補(bǔ)充:作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′,將“同側(cè)”問題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”問題,如圖2所示,轉(zhuǎn)化的依據(jù)是“線段垂直平分線(對稱軸)上任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”.

圖2

教師活動:以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生分類討論,先易后難,并利用轉(zhuǎn)化思想解決問題.

設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生全面分析問題,針對不同情境進(jìn)行分類討論;關(guān)注學(xué)生思維生成的過程,通過問題驅(qū)動式教學(xué),搭建臺階,為學(xué)生探究問題提供“腳手架”,將“同側(cè)”難于解決的問題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”容易解決的問題,滲透轉(zhuǎn)化思想;引導(dǎo)學(xué)生思考線段和最小問題的依據(jù)和將“同側(cè)”問題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”問題的依據(jù),培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

環(huán)節(jié)三:推理證明 語言規(guī)范

問題3:你能用幾何語言證明線段和AP+BP最小嗎?

學(xué)生活動:思考分析,用圖形語言與符號語言完成推理證明.

教師活動:關(guān)注學(xué)生的書寫過程,引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合,用圖形語言與符號語言共同完成證明過程,必要時進(jìn)行思維點(diǎn)撥.

設(shè)計意圖:進(jìn)一步體會作法的科學(xué)性,訓(xùn)練解題規(guī)范,提高學(xué)生的邏輯思維能力.

環(huán)節(jié)四:思想總結(jié) 方法提煉

思考1:下面請同學(xué)們思考,將軍飲馬問題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法和思想?

學(xué)生活動:回顧研究內(nèi)容,再現(xiàn)思維生成的過程,獨(dú)立思考,總結(jié)提煉.

設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生回顧解題過程,把握研究問題的基本策略、基本思路和基本方法,完成思想和方法提煉,養(yǎng)成總結(jié)思考的習(xí)慣,再次體會解題過程中的模型思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和從簡單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)研究方法.

環(huán)節(jié)五:情境開放 應(yīng)用拓展

思考2:在現(xiàn)實(shí)生活中,馬不能只喝水不吃草,如果將軍先到草地牧馬,再到河邊牧馬.你能不能據(jù)此創(chuàng)設(shè)情境,然后解決問題呢?請小組交流完成.

學(xué)生活動:分析思考,小組交流,分類討論,自主創(chuàng)設(shè)情境,并嘗試解決新情境下的問題.

教師活動:先給學(xué)生自己獨(dú)立思考的時間和空間,在必要時引導(dǎo)學(xué)生畫圖建模、分類討論,類比研究.

設(shè)計意圖:通過要素開放拓展學(xué)生的思維,引領(lǐng)開放性學(xué)習(xí),讓學(xué)生通過類比研究,體會總結(jié)的思想方法在新情境中的應(yīng)用,把握問題核心,體會軸對稱的“橋梁”作用,感悟轉(zhuǎn)化思想,鞏固應(yīng)用學(xué)習(xí)成果.

環(huán)節(jié)六:方向引領(lǐng) 深化研究

小組作業(yè),請各小組任選一個方向,完成研究性報告:

1.在以上問題中,我們都把將軍的飲馬地(牧馬地)抽象為河邊(草地)的某個點(diǎn),實(shí)際情況是否是這樣?更一般地,如果把飲馬地(牧馬地)抽象為河邊(草地)的某條線段,如何解決?

2.為了保持馬的健壯,將軍決定牧馬、飲馬后,再去沙灘遛馬,你能否設(shè)計并完成研究報告?

設(shè)計意圖:在鞏固課堂所學(xué)的基礎(chǔ)上,培養(yǎng)學(xué)生深入研究和思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提升鉆研能力,培養(yǎng)學(xué)術(shù)規(guī)范,提高創(chuàng)新意識.

2 深度學(xué)習(xí)拓展研究

在深度學(xué)習(xí)的引領(lǐng)下,我們對將軍飲馬問題展開了如下的拓展研究:

將軍飲馬2.0:將軍從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,最后再回到A點(diǎn)宿營.怎樣走才能使總的路程最短?

分析:將草地抽象為直線OM,河抽象為直線ON,于是問題轉(zhuǎn)化為:在直線OM和ON上分別取一點(diǎn)P和Q,使得線段AP、PQ與QA之和最小.

情形1:點(diǎn)A在角∠MON外,如圖3所示.

圖3

作法:如圖4所示,過A點(diǎn)作AQ⊥ON交ON于Q,交OM于P,則點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是滿足要求的牧馬點(diǎn)和飲馬點(diǎn).

圖4

依據(jù):(1)兩點(diǎn)之間線段最短;(2)點(diǎn)到直線的線段中,垂線段最短.

情形2:A點(diǎn)在角∠MON內(nèi),如圖5所示.

圖5

作法:如圖6所示,(1)分別作點(diǎn)A關(guān)于直線OM、ON的對稱點(diǎn)A′、A′′;

圖6

(2)連接A′A′′,交直線OM于點(diǎn)P,交直線ON于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是牧馬點(diǎn)和飲馬點(diǎn).

依據(jù):(1)垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;(2)兩點(diǎn)之間線段最短.

總結(jié)將軍飲馬2.0 版本的問題中,運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法和思想:以上兩個情形均屬于兩線一點(diǎn)的最短路徑問題,主要用到了

①模型思想:將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題;

②分類討論思想:根據(jù)A點(diǎn)在草地與河張成的角的外部還是內(nèi)部分類討論;

③類比和轉(zhuǎn)化思想:一、類比經(jīng)典的將軍飲馬問題,我們很自然地想到分別作點(diǎn)A關(guān)于兩條直線的對稱點(diǎn),兩個對稱點(diǎn)的連線與兩直線的交點(diǎn)分別就是我們要找的牧馬點(diǎn)和飲馬點(diǎn);二、兩線一點(diǎn)的將軍飲馬問題,是三條線段和的最短路徑問題:先固定點(diǎn)P,將三條線段AP、PQ與QA之和的最小值轉(zhuǎn)化為兩條線段PQ與QA之和的最小值,于是問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)一線的將軍飲馬問題,最小值為A′′P;接下來考慮P點(diǎn)的選取,P為直線OM上滿足PA+A′′P最小的點(diǎn),這又是一個兩點(diǎn)一線的將軍飲馬問題.簡言之,我們可以將兩線一點(diǎn)的將軍飲馬問題轉(zhuǎn)化為兩個兩點(diǎn)一線的將軍飲馬問題.

將軍飲馬3.0:將軍從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,最后回到B點(diǎn)宿營.怎樣走才能使總的路程最短?

分析:將草地抽象為直線OM,河抽象為直線ON,于是問題轉(zhuǎn)化為:在直線OM和ON上分別取一點(diǎn)P和Q,使得線段AP、PQ與QB之和最小.

情形1:A、B兩點(diǎn)均在角∠MON外,如圖7所示.

圖7

作法:如圖8所示,連接AB交OM于P,交ON于Q,則點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是牧馬點(diǎn)和飲馬點(diǎn).

圖8

依據(jù):兩點(diǎn)之間線段最短.

情形2:A、B兩點(diǎn)一個在角∠MON外,一個在角∠MON內(nèi),如圖9所示.

圖9

作法:如圖10所示,作點(diǎn)B關(guān)于直線ON的對稱點(diǎn)B′,連接AB′交OM于P,交ON于Q,則點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是牧馬點(diǎn)和飲馬點(diǎn).

圖10

依據(jù):(1)垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;(2)兩點(diǎn)之間線段最短.

情形3:A、B兩點(diǎn)均在角∠MON內(nèi),如圖11所示.

圖11

作法:如圖12所示.

圖12

依據(jù):(1)垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;(2)兩點(diǎn)之間線段最短.

將軍飲馬3.1:如圖13所示,將軍從A點(diǎn)出發(fā),先到草地某處牧馬,再到河邊飲馬,若將軍沿草地走a米,沿河邊走b米,最后回到B點(diǎn).怎樣走才能使總的路程最短?

圖13

分析:設(shè)將軍從A點(diǎn)出發(fā),先到草地的點(diǎn)P處牧馬,并沿草地走a米到達(dá)點(diǎn)P′處,然后到河邊的點(diǎn)Q′處飲水,并沿河邊走b米到達(dá)點(diǎn)Q處,最后回到B點(diǎn).于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)P、P′、Q′、Q在何處時,AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB最小的問題.

因?yàn)镻P′=a,Q′Q=b,所以AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB的最小值問題可轉(zhuǎn)化為AP+P′Q′+QB的最小值問題.

對比將軍飲馬3.0 版本,觀察到AP,P′Q′,QB是彼此不連接的三條線段,我們只需通過平移使三條線段首尾相接,把問題轉(zhuǎn)化為3.0 版本.

作法:如圖14所示,

圖14

(1)過A點(diǎn)作草地的平行線,并在平行線上截取AA′=a;過B點(diǎn)作河邊的平行線,并在平行線上截取BB′=b;

(2)分別作點(diǎn)A′的關(guān)于草地的對稱點(diǎn)A′′;點(diǎn)B′的關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)B′′;

(3)連接A′′B′′,交草地于點(diǎn)P′,交河邊于點(diǎn)Q′;

(4)分別過點(diǎn)A作AP//A′P′交草地于P點(diǎn);過點(diǎn)B作BQ//B′Q′交河邊于Q點(diǎn),則AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB是最短路徑.

依據(jù):(1)平移的性質(zhì);(2)垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;(3)兩點(diǎn)之間線段最短.

證明:由上述作法可知,四邊形AA′P′P和四邊形BB′Q′Q均為平行四邊形,由平行四邊形的性質(zhì)可知:PP′=AA′=a,Q′Q=BB′=b,AP=A′P′,QB=Q′B′,所以

AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB

=AP+P′Q′+QB+a+b

=A′P′+P′Q′+Q′B′+a+b

=A′′P′+P′Q′+Q′B′′+a+b

=A′′B′′+a+b.

由前面的分析,可得AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB是最短路徑.

將軍飲馬4.0:如圖15所示,將軍從A點(diǎn)出發(fā),先到草地某處牧馬,再到河邊飲馬,接著到沙灘遛馬,最后回到B點(diǎn).怎樣走才能使總的路程最短?

圖15

分析:設(shè)將軍從A點(diǎn)出發(fā),先到草地的點(diǎn)P處牧馬,再到河邊的點(diǎn)Q處飲馬,接著到沙灘的點(diǎn)R處遛馬,最后回到B點(diǎn).于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)P、Q、R在何處時,AP+PQ+QR+RB最小的問題.

類比之前的討論,可用軸對稱的知識將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的問題來解決.

作法:如圖16所示,

圖16

(1)作點(diǎn)A的關(guān)于草地的對稱點(diǎn)A′;作點(diǎn)A′的關(guān)于河邊的對稱點(diǎn)A′′;作點(diǎn)B的關(guān)于沙灘的對稱點(diǎn)B′;

(2)連接A′′B′,交河邊于點(diǎn)Q,交沙灘于點(diǎn)R;

(3)連接A′Q,交草地于點(diǎn)P,則AP+PQ+QR+RB是最短路徑.

依據(jù):(1)垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;(2)兩點(diǎn)之間線段最短.

小結(jié):將軍飲馬最短路徑問題總結(jié)如下表1所示.

現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)語言將軍飲馬1.0兩點(diǎn)一線最小值問題兩條線段和的最小值將軍飲馬2.0兩線一點(diǎn)最小值問題三條線段和的最小值(三角形三邊)將軍飲馬3.0兩點(diǎn)兩線最小值問題三條線段和的最小值(首尾連接)將軍飲馬3.1兩點(diǎn)兩線最小值問題三條線段和的最小值(彼此不連接)將軍飲馬4.0兩點(diǎn)三線最小值問題四條線段和的最小值