基于“再創(chuàng)造”原理的數(shù)學(xué)法則教學(xué)思考與實踐

季學(xué)淵

【摘要】從初中數(shù)學(xué)法則課教學(xué)“效率”過高，引發(fā)思考和分析。結(jié)合弗賴登塔爾的再創(chuàng)造原理，以《同底數(shù)冪的乘法1》教學(xué)設(shè)計為案例，闡述在法則課教學(xué)中，教師怎樣實施引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造，真正提高數(shù)學(xué)法則教學(xué)的效率，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教育 ?教學(xué)方法 ?法則教學(xué) ?再創(chuàng)造

一、問題的緣起

在一次校級教研課《有理數(shù)的減法》的課后研討中，討論的焦點是《有理數(shù)的減法》這條法則如何得出的。這節(jié)課是本章的難點，特別是對法則的理解，若處理不當(dāng)，就突破不了難點，從而影響學(xué)生的認(rèn)知。討論中主要有以下觀點：

觀點一：法則課等同于習(xí)題課。有理數(shù)的減法法則是結(jié)果性的知識，不需要解釋太多，重點是讓學(xué)生掌握怎么計算，培養(yǎng)運(yùn)算能力。

觀點二：法則課等同于概念課。通過氣溫差引出有理數(shù)的減法，并借助溫度計這一實際模型計算出結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生觀察列出的式子和教師給出的式子間的不同與聯(lián)系，歸納法則。

觀點三：法則課有其自身的邏輯體系。法則即規(guī)律，各法則間有較強(qiáng)的聯(lián)系，法則的客觀性又決定了要讓學(xué)生真正理解并掌握有理數(shù)的減法法則，根本在于讓學(xué)生經(jīng)歷法則的形成過程。因此，法則教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知特點和最近發(fā)展區(qū)，自然、有序的促進(jìn)知識的生成和學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展。

審視教學(xué)實踐我們發(fā)現(xiàn)：上述三個觀點中“觀點二”所反映的教學(xué)方法居多。原因主要有三：

一是只求表層，缺乏立意。就法則而論法則，教學(xué)停留在對數(shù)學(xué)法則結(jié)構(gòu)的辨認(rèn)和法則應(yīng)用上，缺少對“法則從何而來”的探索，常常出現(xiàn)一節(jié)課用幾分鐘學(xué)法則，剩下的時間練法則的現(xiàn)象。生硬的法則教學(xué)較少引起學(xué)生的深度思考，導(dǎo)致學(xué)生對法則的理解浮于表面，最終停留在簡單的模仿解題上。

二是草率設(shè)計，目中無人。以教師為中心，不考慮學(xué)生的認(rèn)知特點，不重視學(xué)生的個性發(fā)展。只著眼于這一節(jié)課，忽視新的知識與學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗、后續(xù)知識間的關(guān)系，割裂了知識間的聯(lián)系，使得學(xué)生很難形成對知識體系的整體把握。

三是只重結(jié)果，輕視過程。很多一線數(shù)學(xué)教師扮演著“知識的搬運(yùn)工”的角色，采用“大容量、快節(jié)奏、高強(qiáng)度”的教學(xué)方式將知識灌輸給學(xué)生，不重視知識的自然生成，缺少對學(xué)生自主思考、探索能力的培養(yǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得不到全面的發(fā)展，不利于學(xué)生的成長。

如何才能有效處理好上述問題，把思考的時間、空間留給學(xué)生，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有趣與精彩，經(jīng)歷知識的“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)，這是每個教育者需要思考的問題。

本文基于再創(chuàng)造原理，結(jié)合教學(xué)實踐，以《同底數(shù)冪的乘法1》為例，闡述自己的觀點。

二、基于再創(chuàng)造原理的數(shù)學(xué)法則課教學(xué)建構(gòu)

（一）再創(chuàng)造原理的理性解讀

荷蘭數(shù)學(xué)教育學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為：教學(xué)方式是指導(dǎo)學(xué)習(xí)者“再創(chuàng)造”，即“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”。他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育者必須面向社會現(xiàn)實，必須聯(lián)系日常生活實際，注意培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生從客觀實際現(xiàn)象找出數(shù)學(xué)問題，以及把具體材料經(jīng)過組織而走向高一級水平的能力，必須用“再創(chuàng)造”的方法去進(jìn)行教學(xué)。

“再創(chuàng)造”的過程是學(xué)生對學(xué)習(xí)材料、數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行觀察和初步了解，從而對其分類整理，逐步上升到概念化水平，經(jīng)過同化，把事物的規(guī)律性，在更廣的范圍內(nèi)認(rèn)識、推廣和應(yīng)用。學(xué)習(xí)者的“再創(chuàng)造”，通過對舊知識的重組和新知識的獲得，從而在“再創(chuàng)造”的過程中不斷比較與反思，從而把實際問題通過“再創(chuàng)造”，經(jīng)過數(shù)學(xué)化的一個過程。

通過“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)過程，它由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造將要學(xué)的東西;教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，這與把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生兩者相比較，看似后者效率更高點，但真正理解和掌握的效果，無疑是前者更有效，更能培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（二）基于再創(chuàng)造原理的數(shù)學(xué)法則教學(xué)的基本架構(gòu)

“再創(chuàng)造原理”對數(shù)學(xué)教學(xué)具有極其重要的指導(dǎo)意義，具體到數(shù)學(xué)法則課，主要有以下三方面的體現(xiàn)：

1.引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)法則

初中階段的法則是以小學(xué)數(shù)的運(yùn)算法則為基礎(chǔ)，將學(xué)生已有的數(shù)的運(yùn)算法則經(jīng)驗作為探究新法則的起點，不斷地將新法則知識納入已有的法則網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，以加深學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和探索新知的能力。教師要在舊知與新知之間架起橋梁，將教材上的法則轉(zhuǎn)化成一個個適合于學(xué)生探索的有價值的小步驟。讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，具體到抽象的過程，生成法則，以及驗證法則的過程。讓學(xué)生有興趣參與課堂活動、有能力探究法則。放慢探究核心知識的過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷法則的生成與構(gòu)建，讓學(xué)生理解法則的本質(zhì)，使教學(xué)變得自然。最終由學(xué)生抽象、概括出法則內(nèi)容。讓學(xué)生對法則的感性認(rèn)識上升到理性思考，讓學(xué)生知其然，知其所以然，從而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力和邏輯推理能力，課堂上培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

教師根據(jù)再創(chuàng)造原理，學(xué)生經(jīng)歷新知的再創(chuàng)造過程，讓學(xué)生體會如何將未知轉(zhuǎn)化為已知的方法和思想。有助于學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)中，運(yùn)用這樣的能力解決更多新的問題。

2.幫助學(xué)生掌握法則

學(xué)生經(jīng)歷法則的推導(dǎo)，是掌握法則的重要因素，除此之外，例題和鞏固練習(xí)也是掌握法則的必經(jīng)之路，應(yīng)該設(shè)置分層、遞進(jìn)的變式來鞏固法則。

選題大致可以分成四類：即基礎(chǔ)練習(xí)，對法則的直接應(yīng)用;易錯點辨析，分析歸納錯誤的成因;橫向聯(lián)系應(yīng)用，加強(qiáng)知識點之間、法則與生活的聯(lián)系，加深對法則的體會;縱向提高，利用法則的推導(dǎo)方法，給學(xué)生機(jī)會自行推導(dǎo)類似的法則。

整個過程，通過追問、肯定、糾錯、歸納等方式，助推學(xué)生掌握法則。

3.為學(xué)生學(xué)習(xí)后期的法則積累經(jīng)驗

學(xué)習(xí)的最終目的是應(yīng)用，如果能夠利用已學(xué)的理論和基本方法，探索解決未知問題的本領(lǐng)，這是教育的最終目標(biāo)。對于法則課，將課堂難點放到如何引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)法則上，通過導(dǎo)入——嘗試——猜想——驗證環(huán)節(jié)，看似“耗費”時間，卻讓學(xué)生體會了研究法則的一般方法。學(xué)生只有自己經(jīng)歷了法則生成的過程，才能實現(xiàn)低起點，高落點，實現(xiàn)對新知的再創(chuàng)造。在知識拓展環(huán)節(jié)，可以呈現(xiàn)更進(jìn)一步的應(yīng)用。

根據(jù) “再創(chuàng)造”原理和我們的認(rèn)識，數(shù)學(xué)法則課教學(xué)框架構(gòu)建如下（見圖1）。

三、基于再創(chuàng)造原理的數(shù)學(xué)法則教學(xué)實施

《同底數(shù)冪的乘法法則1》是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法的意義、有理數(shù)的乘方運(yùn)算和整式的加減運(yùn)算的基礎(chǔ)之上來學(xué)習(xí)的，它是學(xué)習(xí)其他乘法法則的基礎(chǔ)，同時，也是整式運(yùn)算的基礎(chǔ)。以《同底數(shù)冪的乘法1》為研討素材，分別從法則引入、法則推導(dǎo)、法則遷移、法則升華四個環(huán)節(jié)來談?wù)劸唧w實施和教學(xué)思考。

（一）法則引入

1.課前回溯

（1） 2^5 表示__________________________;

（2）10×10×10×10可以寫成____________;

（3）a的底數(shù)是_________，指數(shù)是__________;

（4）（a+b）3的底數(shù)是___________;指數(shù)是___________;

（5）（-2）3的底數(shù)是__________，指數(shù)是___________;

（6）-24的底數(shù)是___________，指數(shù)是_____________.

設(shè)置前測的目的是找到該節(jié)課的知識起點，讓教師能夠更有針對性的進(jìn)行指導(dǎo)。為“再創(chuàng)造”創(chuàng)設(shè)基礎(chǔ)。教學(xué)需備教材、備學(xué)生。學(xué)生已有的經(jīng)驗是具體的數(shù)的乘方運(yùn)算。通過回溯，有目的的幫助學(xué)生回顧數(shù)的乘方運(yùn)算，喚醒學(xué)生的記憶;回顧具體數(shù)的冪的形式和意義。回顧易錯點負(fù)數(shù)的指數(shù)次冪的結(jié)果的符號。

2.實例導(dǎo)入

書本節(jié)前導(dǎo)入： 光年是長度單位，1光年是指光經(jīng)過一年所行的距離.光的速度大約是3×105 km/s，一顆行星與地球之間的距離為100光年，若取一年大約為3×107 秒，則這顆行星與地球之間的距離大約為多少千米？

解：1光年=3×〖10〗^5×100×3×〖10〗^7

學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是達(dá)成課堂標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)鍵因素，內(nèi)在需求是學(xué)習(xí)的動力。導(dǎo)入的目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，意識到學(xué)習(xí)本堂課的必要性。此處，學(xué)生對運(yùn)算〖10〗^5×〖10〗^7需要如此操作：〖10〗^5×〖10〗^7=100000×10000000=〖10〗^12。是否有更簡潔的計算方法？通過認(rèn)知沖突，引出課題，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

（二）法則推導(dǎo)

3.獨立嘗試

（1）根據(jù)自己的理解，解答下列各題.

推導(dǎo)法則的過程是再創(chuàng)造的核心，讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)過程，教師需要將抽象的法則轉(zhuǎn)化為有梯度的具體知識。將法則的難點分解為一個個小問題，讓學(xué)生有能力通過自己計算、觀察、比較，得出猜想。經(jīng)歷推導(dǎo)，不僅加深學(xué)生對法則的印象，更是讓學(xué)生體會研究問題的一般方法。

課本上“同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加?！奔碼^m?a^n=a^（m+n），從底數(shù)、指數(shù)均為具體的數(shù)，將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再由乘法運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算。觀察底數(shù)、指數(shù)的變化，為法則的推導(dǎo)奠定基礎(chǔ);再到底數(shù)、指數(shù)部分為具體數(shù)字。學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，這其中的每一步雖然只是一個小小的遞進(jìn)，卻是一個從量變到質(zhì)變的飛躍。符合學(xué)生的認(rèn)知過程。這也是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法。

4.猜想并驗證法則

猜想 a^m?a^n= ？ （m，n均為正整數(shù)）分組討論，并嘗試證明你的猜想是否正確。

根據(jù)教師前面設(shè)置的階梯，本節(jié)課的難點：驗證底數(shù)、指數(shù)均為字母的法則，學(xué)生得到猜想：a^m?a^n=a^（m+n）已是水到渠成。教師只需追問學(xué)生兩個問題：

（1）a^m的具體意義是什么？

（2）你能否將此乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算？

通過具體數(shù)的乘方運(yùn)算經(jīng)驗，根據(jù)教師的追問，學(xué)生將抽象的數(shù)的運(yùn)算與具體的數(shù)的乘方運(yùn)算進(jìn)行類比，化解難點。學(xué)生代表上臺展示證明的過程。教師隨機(jī)追問其他同學(xué)每一步運(yùn)算的理由。通過推導(dǎo)法則的層層深入，實現(xiàn)了學(xué)生在課堂上的主體地位。

5.總結(jié)歸納

學(xué)生通過“導(dǎo)入、嘗試、猜想、驗證”等環(huán)節(jié)，對法則有了一定的理解和體會。但缺乏高度，需要教師幫忙指導(dǎo)構(gòu)建。教師不急于替學(xué)生總結(jié)，可以通過追問的方式，再次引發(fā)學(xué)生思考，幫助學(xué)生自己總結(jié)出所學(xué)的內(nèi)容。

追問1：什么情況下可以用同底數(shù)冪乘法法則來運(yùn)算？——同底、乘法。

追問2：同底數(shù)冪的乘法法則的結(jié)果是什么？——底數(shù)不變、指數(shù)相加。

追問3：同底數(shù)冪的乘法法則對指數(shù)有什么要求？——m，n均為正整數(shù)。

追問4：在法則的研究過程中，我們是怎樣一步步操作，最后輕松得出結(jié)論的？——從特殊到一般，具體到抽象的研究方法。

（三）法則運(yùn)用

6.例題演練

計算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示。

（1）5^8×5^3 ? ?（2）（-3）^7×（-3）^6 ? ? （3）6^4×6

（4）x^3?x^5 ? ? （5）2^3×（-2）^2 ? ? ? ?（6）（a-b）^2×（a-b）^4

從具體數(shù)的法則推導(dǎo)上升到一般數(shù)的推導(dǎo)并證明，最后得到結(jié)論?！霸賱?chuàng)造”過程不僅僅只是在法則的推導(dǎo)環(huán)節(jié)。在例題分析時，又變成具體的數(shù)的運(yùn)算，為了防止學(xué)生在計算時，仍然停留在推導(dǎo)上，教師板演非常的重要。精心挑選例題，包含對法則的正遷移和易錯點，通過正遷移，鞏固法則;通過易錯點，讓學(xué)生在課堂上暴露問題，對知識的缺漏進(jìn)行補(bǔ)充。

光年是長度單位，1光年是指光經(jīng)過一年所行的距離.光的速度大約是3×105 km/s，一顆行星與地球之間的距離為100光年，若取一年大約為3×107 秒，則這顆行星與地球之間的距離大約為多少千米？

解：1光年=3×〖10〗^5×100×3×〖10〗^7

學(xué)習(xí)法則、應(yīng)用法則，再次呈現(xiàn)節(jié)前引入，學(xué)生能自己解決課前問題，感受法則帶來的便利，并感受學(xué)習(xí)法則的優(yōu)越性。

7.鞏固訓(xùn)練

通過形式多樣的題組訓(xùn)練：搶答、辨析、計算、拓展等環(huán)節(jié)，難度由易到難，逐步提升，讓不同能力水平的學(xué)生都能融入到課堂當(dāng)中去，都能享受一節(jié)課的學(xué)習(xí)成果。

（四）課堂小結(jié)

通過追問，讓學(xué)生回顧本堂課的教學(xué)過程，并作出總結(jié)。

追問1：本堂課推導(dǎo)了一個什么知識？——同底數(shù)冪的乘法法則

追問2：法則的內(nèi)容是什么？——a^m?a^n=a^（m+n）（m，n均為正整數(shù)）

追問3：我們是怎么將法則推導(dǎo)而來的？——從具體到抽象

追問4：具體運(yùn)用法則時，遇到的難點是什么？——底數(shù)互為相反數(shù)，需要先轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪。

以問題串的形式帶領(lǐng)學(xué)生快速回顧本節(jié)課所學(xué)數(shù)學(xué)法則、法則推導(dǎo)過程、數(shù)學(xué)思想方法，加深學(xué)生對研究法則一般方法的印象，深化學(xué)生主動探索知識形成過程的意識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（五）法則升華

（1）當(dāng)三個或以上同底數(shù)冪相乘時，是否也具有這一性質(zhì)呢？怎樣用公式表示？

〖 a〗^n?a^m?a^t=a^（n+m+t）（m，n，t>0）

（2）猜想（a^m ）^n=___________（m，n均為正整數(shù)）的值，推導(dǎo)并證明.

法則升華階段，是對學(xué)有余力的學(xué)生設(shè)計的有較高思維量的練習(xí)，是學(xué)生利用課堂研究法則的方法的再探究，具有一定的挑戰(zhàn)性。鼓勵學(xué)生獨立完成并證明，交流展示結(jié)果，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會快樂和成就感。

再創(chuàng)造教學(xué)必須關(guān)注學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實、個性化需求，提供適合學(xué)生的“低起點”，讓不同層次的學(xué)生都能參與到課堂中去，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。再創(chuàng)造教學(xué)是“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”，要求教師對知識有深入的理解，對可能產(chǎn)生的結(jié)論有充分的準(zhǔn)備，并能夠在學(xué)生需要的時候，為學(xué)生提供通往新知的“緩坡”，引導(dǎo)學(xué)生思維的發(fā)展，學(xué)生得以在猜想、推導(dǎo)、證明、歸納的過程中，成為自主的學(xué)習(xí)者，不斷發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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