非線性SEIR流行病模型的平穩(wěn)分布

宋宇恒，仲崇陽，韓七星

(長春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130032)

(1)

其中：S(t)表示在t時刻易感者的密度；E(t)表示在t時刻潛伏者的密度；I(t)表示在t時刻感染者的密度；R(t)表示在t時刻恢復(fù)者的密度；Bi(t)表示獨立的布朗運動；σi為噪聲強(qiáng)度；A表示單位時間成為易感者的新生兒的數(shù)量；q(0≤q≤1)為已接種的新生兒比例；β為易感者與感染者之間的轉(zhuǎn)移系數(shù)；d1為易感者的自然死亡率；d2為疾病潛伏后所誘發(fā)的總死亡率；d3為感染者的死亡率與因病死亡率之和；d4為恢復(fù)者的死亡率；1/α為潛伏狀態(tài)的平均時間；γ為感染者的恢復(fù)率.

1 系統(tǒng)(1)的平穩(wěn)分布

引理1[15]假設(shè)存在有界區(qū)域U?El，有以下條件成立：(ⅰ)存在鄰域U及其某鄰域，使得擴(kuò)散陣A(x)的最小特征值是非零的；(ⅱ)當(dāng)x∈ElU，由x出發(fā)的軌道到達(dá)集合U的平均時間τ是有限的.則Markov過程x(t)存在不變分布μ(·)，且對所有的x∈El，使得對任意的Borel集B?El，

對所有的x(t)∈El均成立，其中f(x)為關(guān)于測度μ的可積函數(shù).

建立一個C2-函數(shù)Q(S，E，I，R)，

Q(S，E，I，R)=P(-logS-c1logE-c2logI)+(S+E+I+R)ρ+1-logS-logE-logR∶=
PV1+V2+V3+V4+V5.

P>0是充分大的正數(shù)，ρ是充分小的正數(shù)且P，ρ滿足

(2)

(3)

(4)

(5)

由于f是由(3)式定義的，可得

(6)

(7)

(8)

由(4)—(8)式可得

考慮有界區(qū)域

其中ε1，ε2>0是充分小的正數(shù)，并滿足下列條件：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

考慮下面8種情況：

情況1 (S，E，I，R)∈D1.

滿足條件(9)，從而LV≤-1.

情況2 (S，E，I，R)∈D2.則由條件(10)可得

情況3 (S，E，I，R)∈D3.則

令

(16)

則由(11)與(16)式，有

情況4 (S，E，I，R)∈D4.由條件(12)和(16)可以得到

情況5 (S，E，I，R)∈D5.由(13)式得

情況6 (S，E，I，R)∈D6.由(14)式得

情況7 (S，E，I，R)∈D7.由(15)式得

情況8 (S，E，I，R)∈D8.由(15)式得