提高解題運(yùn)算　先行結(jié)構(gòu)分析

宋予林　劉鑫鈞

[摘? 要] 眾所周知，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 因此，文章從高三一輪復(fù)習(xí)中一節(jié)常態(tài)課的例題入手，通過對數(shù)學(xué)對象的代數(shù)結(jié)構(gòu)、幾何結(jié)構(gòu)的觀察、分析，讓學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法，提升高三學(xué)生的數(shù)學(xué)解題運(yùn)算能力，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)解題運(yùn)算;結(jié)構(gòu)分析;數(shù)學(xué)運(yùn)算;轉(zhuǎn)化與化歸

龐卡萊曾說過：“所有的數(shù)學(xué)家時時體驗(yàn)著數(shù)學(xué)的美感.”蘇霍姆林斯基說過：“沒有審美教育，就沒有任何教育.”在修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能.數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.

那么，什么是數(shù)學(xué)知識？什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)？什么是數(shù)學(xué)能力？張奠宙先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括真善美三個維度.”具體地說，所謂“真”即理解數(shù)學(xué)文明的文化價值，體會數(shù)學(xué)真理的嚴(yán)謹(jǐn)性、精確性;所謂“善”指的是用數(shù)學(xué)的思想方法分析和解決實(shí)際問題的基本能力;所謂“美”則是說能夠欣賞數(shù)學(xué)智慧之美，喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué). 王尚志先生在他的文章中明確指出：“數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)包含六個方面，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.”這一觀點(diǎn)被貫徹在高中新課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂中.

理論是美好的，但事實(shí)上，筆者通過高三一輪的復(fù)習(xí)教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中無法真正體會數(shù)學(xué)的“真善美”，無法運(yùn)用數(shù)學(xué)的“真善美”分析、解決數(shù)學(xué)問題，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)！下面，筆者結(jié)合最近在高三一輪復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的一些問題與解決策略，淺談如何通過對數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察、分析，提升高三學(xué)生解題的運(yùn)算能力.

點(diǎn)評 通過對數(shù)式的觀察，結(jié)合直觀想象可見，把數(shù)式轉(zhuǎn)化到式①的結(jié)構(gòu)，顯然大大地減少了解題運(yùn)算的煩瑣. 因此，在高三一輪復(fù)習(xí)過程中，想要提高學(xué)生的解題運(yùn)算能力，首先就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

[?] 運(yùn)用數(shù)式的幾何結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力

華羅庚先生曾說道：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”因此，對于例題1的解法，筆者又在課堂中不斷地引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察數(shù)式的幾何結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力. 下面給出兩種不同的數(shù)形結(jié)合的解法.

解法4 （建構(gòu)“幾何圖形”詮釋數(shù)式的幾何意義）在△ABC中，不妨設(shè)AC=b，BC=a，由點(diǎn)C作邊AB的垂線，垂足為D，如圖1所示. 在△ACD和△CDB中，由勾股定理可知b2-a2=AD2-BD2=（AD+BD）·（AD-BD）. 又AD+DB=c，故AD-BD=a. 作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)D的對稱點(diǎn)E，則BD=ED，即∠CAE=∠ACE，AE=CE=a.易知∠CAE+∠ACE=∠BEC，即B=2A，故ED=BD=. 于是由圖形的幾何表征可見-=-====.又==，以下略.

解法5 （建構(gòu)三角形相似）通過對數(shù)式的觀察，我們可以改變結(jié)構(gòu)，得到b2=a2+ac=a（a+c），由此啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，可以轉(zhuǎn)化為“等比中項(xiàng)”. 那么，再次通過對數(shù)式的觀察，可以繼續(xù)將其變形，得=②. 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題最重要的思想，因此延長AB至點(diǎn)D處，使得BD=a，AD=a+c，如圖2所示. 此時由式②可以得出△DCB與△DAC相似，故∠CAB=∠CDB，則CA=CD=b. 由此可轉(zhuǎn)化到等腰三角形ACD中繼續(xù)研究……

點(diǎn)評 通過對數(shù)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)、幾何結(jié)構(gòu)的觀察，指引學(xué)生從不同角度、運(yùn)用不同方法進(jìn)行思考、聯(lián)想，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的靈活性與敏捷性;有目的地訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成“大膽猜想，小心論證”的好習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)解題運(yùn)算能力. 由此可見，只有通過對數(shù)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)、幾何結(jié)構(gòu)的觀察，才能在數(shù)學(xué)解題中實(shí)現(xiàn)“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”的美好畫面.

[?] 基于轉(zhuǎn)化數(shù)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算創(chuàng)新能力

波利亞在《怎樣解題》中指出：“困難的問題需要有一種神奇的、不尋常的、嶄新的組合. 而解題者的才能就在于組合的獨(dú)創(chuàng)性.” 因此，再好的方法，都需要學(xué)生獨(dú)立完成，教師只是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，起著主導(dǎo)作用，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體. 因此，在高三一輪復(fù)習(xí)過程中，不要一味地追求每節(jié)課的大量題目，更重要的是要把每道題目講得細(xì)、講得透，體現(xiàn)思維的靈活性與創(chuàng)造性！下面以例題2的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，基于轉(zhuǎn)化數(shù)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算創(chuàng)新能力.

例題2 （2020年全國高考Ⅰ卷第21題）已知函數(shù)f（x）=ex+ax2-x.

（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.

分析 對于函數(shù)單調(diào)性問題的考查，在我校高三一輪復(fù)習(xí)過程中，很多學(xué)生只要看到函數(shù)解析式就開始求導(dǎo)，其次就是令f′（x）=0，然后就不知道怎么下筆了！為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？歸根到底仍是我校學(xué)生對于數(shù)式缺乏觀察能力，不能通過對數(shù)式結(jié)構(gòu)的觀察，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決數(shù)學(xué)問題. 因此，筆者在本題第（2）問的解答過程中對學(xué)生做了如下的啟發(fā)教學(xué)，通過對數(shù)式結(jié)構(gòu)的觀察，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算創(chuàng)新能力：

師：我們看到不等式f（x）≥x3+1，如何用數(shù)學(xué)思維理解呢？又能產(chǎn)生哪些方法的聯(lián)想呢？

生：通過題目中的符號表達(dá)，它是想告訴我們：對任意的x≥0，y=f（x）的數(shù)值都比y=x3+1的數(shù)值大.

師：很好！那么對于兩個數(shù)值大小比較問題，我們在哪個章節(jié)里遇到過呢？

生：在基本不等式的證明中，我們遇到過兩個數(shù)值的大小比較.

師：那么我們還記得課本介紹了哪些方法證明嗎？

生：有作差法（作差，和0比較大?。€有分析法（執(zhí)果索因）和綜合法（由因到果）.

師：太棒了！那么我們先來嘗試作差法？

于是，課堂中給了五分鐘時間，讓學(xué)生通過建構(gòu)h（x）=ex+ax2-x-x3-1，將問題轉(zhuǎn)化到y(tǒng)=h（x）的最小值與0的大小比較問題;經(jīng)過五分鐘時間的努力，學(xué)生都發(fā)現(xiàn)了要求y=h（x）的最小值，就要求函數(shù)y=h（x）的單調(diào)性，但是發(fā)現(xiàn)ex以及參數(shù)a讓求導(dǎo)無從下筆.

師：那么，經(jīng)過五分鐘時間的探究，請大家告訴老師，能不能解決y=h（x）的最小值呢？

生：不能，ex以及參數(shù)a使得求導(dǎo)過程煩瑣.

師：你們太棒了！發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要！你們這么快就發(fā)現(xiàn)了本題的主要矛盾了，那么，接下來我們?nèi)绾谓鉀Q呢？

生：我們可以嘗試分離參數(shù)a！

接下來，又一個五分鐘過去了，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分離參數(shù)后又可以得到一個新的函數(shù)g（x）=，而求這個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)更加復(fù)雜，也不好處理.

師：在這五分鐘里，請你們告訴老師，ex與參數(shù)a，誰讓你們更頭疼？顯然，ex在這個問題中才是處理本題的難點(diǎn)，你們有什么好方法解決這個大麻煩嗎？

經(jīng)過小組討論，學(xué)生覺得可以利用不等式ex≥x+1將ex去掉，于是經(jīng)過放縮化簡得到了a≥x要恒成立，但又發(fā)現(xiàn)右邊的函數(shù)

當(dāng)x≥0時沒有最大值. 顯然，想通過放縮使得問題簡化也走不通了！

通過不同的嘗試，學(xué)生都有想放棄的沖動了！但是學(xué)習(xí)需要毅力，需要堅(jiān)持，需要我們持之以恒的信心！因此，筆者又繼續(xù)啟發(fā)追問：當(dāng)ex在什么位置就不會影響導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)呢？

顯然，當(dāng)ex在分母或者與整個結(jié)構(gòu)相乘時就不會影響導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)了?。ㄒ徽Z驚醒夢中人）于是，就得到了結(jié)構(gòu)≤1，因此建構(gòu)h（x）=，問題就簡化了.

點(diǎn)評 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的目標(biāo)在于通過解決數(shù)學(xué)問題鞏固和加深學(xué)生原有知識概念以及數(shù)學(xué)思想方法和模型應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)完整的知識網(wǎng)絡(luò);在平時教學(xué)過程中需要有目的地引導(dǎo)學(xué)生通過觀察數(shù)式結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，從而提升學(xué)生的解題運(yùn)算能力.

[?] 通過數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升，培養(yǎng)學(xué)生的思維辨析能力

眾所周知，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，而思維的基本形式有概念、判斷、推理，思維的一般過程包括分析與綜合、比較與分類、抽象與概括、系統(tǒng)化與具體化，其中分析與綜合是思維的基本過程. 那么，要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題運(yùn)算能力，首先就應(yīng)該訓(xùn)練學(xué)生的思維辨析能力，即分析與綜合能力. 所以，筆者最后通過例題3的解決教學(xué)，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升，培養(yǎng)學(xué)生的思維辨析能力.

點(diǎn)評 例題4的解決過程中通過對數(shù)式結(jié)構(gòu)的觀察，從定義、幾何表征、代數(shù)以及極化恒等式（重要命題）等多個角度讓學(xué)生體驗(yàn)解題的愉悅感與成就感.體會從數(shù)式結(jié)構(gòu)的改變?nèi)ダ斫鈹?shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維辨析.

總而言之，從上面的例題解決策略與筆者多年的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及對江蘇新高考的理解，筆者認(rèn)為，任何一個數(shù)學(xué)問題的解決過程都可以看成是一個審美賞美的過程，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生去觀察數(shù)式結(jié)構(gòu)中的“美”，如解析幾何中的“設(shè)而不求”、不等式中常用的輪換對稱式、三角函數(shù)中的對偶式、圓錐曲線的統(tǒng)一定義、向量中的極化恒等式……讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中所體現(xiàn)的數(shù)式的簡潔美（抽象美、符號美、統(tǒng)一美）、和諧美（對稱美、形式美）、奇異美（有限美、神秘美）等，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界;加深學(xué)生對數(shù)式結(jié)構(gòu)的理解，感染他們熱愛數(shù)學(xué)、熱愛科學(xué)、熱愛生活、敬畏生命！讓學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中得到愉悅的體驗(yàn)，充實(shí)自己的認(rèn)知、完善自己的知識結(jié)構(gòu)、形成觀察數(shù)式結(jié)構(gòu)的習(xí)慣，提升學(xué)生的運(yùn)算能力，最終達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

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