手持“數(shù)學思想方法”利劍，遠離“迷思概念”

黃紅　田羿

【摘要】數(shù)學概念是宏偉的數(shù)學大廈之基礎，也是數(shù)學教學工作的重難點。雖然教師在教學中各出奇招，但效果往往差強人意。學生在學習概念的過程中容易出現(xiàn)偏差，頻頻產(chǎn)生迷思，遠離數(shù)學知識內(nèi)容的本質。而數(shù)學思想方法是指向數(shù)學的本質，教師運用數(shù)學思想方法指導概念教學，可以轉化“迷思概念”。

【關鍵詞】迷思概念;數(shù)學思想;數(shù)學思想方法

筆者參加了2020年中山市中考數(shù)學閱卷工作，負責批改第21題：已知關于x，y的方程組與的解相同。（1）求a，b的值;（2）若一個三角形的一條邊的長為，另外兩條邊的長是關于x的方程x2+ax+b=0的解，試判斷該三角形的形狀，并說明理由。這道題目是一道8分題，全市的平均分是4.48分，大約有三分之一的學生對此題束手無策。分析學生的答題情況，學生不是對二元一次方程的解法和勾股定理的逆定理不熟悉，而是對二元一次方程的解、二元一次方程組的解、特殊三角形這些概念的理解不透徹。學生沒有抓住概念的本質，最終在應用知識解決具體問題的時候出現(xiàn)障礙。因此，筆者認為若想讓學生遠離“迷思概念”，抓住數(shù)學知識的本質，教師應該在課堂上“亮”出數(shù)學知識的本質——數(shù)學思想方法。

一、概念界定

（一）迷思概念

查閱百度百科，“迷思概念”和現(xiàn)在的學科概念不同。在教學中把頭腦中存在的與科學概念不一致的認識叫做“迷思概念”。

（二）數(shù)學思想

數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程總目標中提到：通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。史寧中教授認為，數(shù)學思想可以歸類為以下三種基本思想：抽象、推理和模型。

（三）數(shù)學思想方法

數(shù)學方法是用數(shù)學語言表述事物的狀態(tài)、關系和過程，并加以推導、演算和分析，以形成對問題的解釋、判斷和預言的方法。數(shù)學方法是應用數(shù)學思想解決問題的顯現(xiàn)步驟。由于初中生的知識儲備量和理解能力均有限，在數(shù)學思想和數(shù)學方法上不作嚴格的區(qū)分，統(tǒng)稱為“數(shù)學思想方法”。在初中教學中，常見的數(shù)學思想方法有：字母表示數(shù)、分類討論、數(shù)形結合、特殊與一般、類比、化歸、整體、方程、函數(shù)、建模等。

二、“迷思概念”出現(xiàn)的原因

（一）學生缺乏自主思考的習慣

概念是抽象的事物，若只是望文生義，沒有對概念的內(nèi)涵和外延進行深層次的思考，大腦很難對它們留下深刻且正確的認識，更談不上靈活應用。受快餐文化的影響，學生在“內(nèi)卷”的漩渦中通過補課的方式進行預習。因為要在短時間內(nèi)把整本書提前學一遍，補習教師無法讓學生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，他們往往單刀直入，直接把概念拋出來，擠出大量的時間進行解題訓練。這樣的概念教學往往逼迫學生死記硬背，無法進行自主思考。返校后，這些學生以為提前學過了，容易輕視正規(guī)課堂，不認真聽課。隨著時光的流逝，學生不是把“囫圇吞棗”式學到的數(shù)學概念徹底遺忘，就是把各種概念混淆了，從而出現(xiàn)迷思。而且，因為缺乏自主探索的經(jīng)歷，學生的畏難情緒會越來越強烈，害怕做深層次的思維體操，自然離數(shù)學學習的真諦和快樂越來越遠。

（二）教師不懂得如何進行概念教學

幸運的是越來越多的教師開始關注并重視概念教學。但是，在初中三年數(shù)學的教學中涉及到代數(shù)、幾何、概率與統(tǒng)計三大類概念，一共272個概念。這些概念按照不同的方式進行定義，概念之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。許多教師愿意在概念教學中花時間與力氣，但他們往往只關注概念的個體，缺乏數(shù)學思想方法的指導，找不到概念教學的規(guī)律與通法，無法將一塊塊的概念紅磚建成數(shù)學概念的大廈。

三、利用數(shù)學思想方法遠離“迷思概念”策略的實踐

（一）分類討論的數(shù)學思想方法在概念教學中的應用

分類討論的數(shù)學思想方法在初中數(shù)學教學中應用廣泛，也是學生比較容易理解和掌握的一種數(shù)學思想方法。在初中生剛入學階段，學生的認知水平有限。在課堂中，特別是概念教學課堂上，教師加大分類討論這種數(shù)學思想方法的滲透，學生既可以習得這一寶貴的思想方法，又可以對新學習的概念建立正確的認識，獲得成就感。筆者本著用數(shù)學思想方法指導概念課堂教學的原則，開設了一節(jié)概念課，并做了部分教學簡錄?！队欣頂?shù)》部分教學簡錄：

問題1：回顧一下，我們在小學階段認識了哪些數(shù)？

學生1：1，2，3…

學生2：0，，，0.2，2%…

學生3：5.331，π…

教師對以上數(shù)進行分類后，繼續(xù)提問。

教師：學了負數(shù)之后，我們又認識了哪些數(shù)？

學生4：我們可以直接在剛才所列舉出來的數(shù)前面加上“-”號，也就是有-1，-2，-3，0，-，-，-0.2，-2%，-5.331，-π…

教師：你的方法很好，對負數(shù)的理解也很到位。

問題2：你會根據(jù)一定的依據(jù)，給這些數(shù)進行分類嗎？請同學們先獨立思考，然后與小組成員進行討論，并由小組代表發(fā)言。

學生5：我們小組是這樣分的：1，2，3，，，0.2，2%，5.331，π都屬于正數(shù);

-1，-2，-3，-，-，-0.2，-2%，-5.331，-π都屬于負數(shù);0單獨分一組。

教師：我認為這種分法可行，分類的依據(jù)是以0為基準，按照正負數(shù)進行分類，還有不同的分法嗎？

學生6：我們將這些數(shù)分成整數(shù)和小數(shù)。整數(shù)：0，1，2，3，-1，-2，-3…小數(shù)：，，0.2，2%，5.331，π，-，-，

-0.2，-2%，-5.331，-π…

教師：你可以告訴我們，所謂的整數(shù)是什么？

學生6：像1，2，3…這樣的數(shù)是正整數(shù);像-1，-2，-3…這樣的數(shù)是負整數(shù);正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。（教師板書）

教師：小學的時候把像0，1，2，3這樣的數(shù)稱為整數(shù)，引入了負數(shù)之后，我們對數(shù)的認識擴充了，你能立足于小學的知識，跟我們分享你對整數(shù)的全新理解，做到了活學活用。

教師：小數(shù)怎么理解呢？

學生6：小學時學習的小數(shù)屬于正小數(shù)，在正小數(shù)前添加了“-”號后就變成負小數(shù)，正小數(shù)和負小數(shù)統(tǒng)稱為小數(shù)。

教師：你這個分法很有價值，還有不一樣的分法嗎？

（其他小組發(fā)言后，師生一起點評。）

教師：我們一起觀察，，0.2，2%，5.331，-，-，-0.2，-2%，-5.331這些數(shù)，它們除了是小數(shù)，還有什么特點？

學生7：我發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)都可以化成分數(shù)的形式。

教師：確實，這些數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)比的形式——（p，q都是整數(shù)，q≠0）。我們稱之為分數(shù)。其中，像，，

0.2，2%，5.331…這樣的數(shù)稱為正分數(shù)，像-，-，-0.2，-2%，-5.331…這樣的數(shù)稱為負分數(shù)，正分數(shù)與負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)，而整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。（教師板書）

學生8：老師，請問π屬于什么數(shù)？

教師：你這個問題問得很好，π屬于整數(shù)嗎？

學生8：π不屬于，是小數(shù)。

教師：這個小數(shù)有什么特點？

學生8：π是無限不循環(huán)小數(shù)。

教師：對的，因為無限不循環(huán)小數(shù)不能寫成（p，q都是整數(shù)，q≠0）的形式，所以也就π不屬于分數(shù)，自然就不屬于無理數(shù)了。而無限循環(huán)小數(shù)是可以化成（p，q都是整數(shù)，q≠0）的形式，屬于分數(shù)。將來，我們會學到π是屬于有理數(shù)外的另一類數(shù)——無理數(shù)。

“有理數(shù)”這一詞從西方傳過來，英文名叫rational number。雖然rational通常的意義是“理性的”，但這個詞來源于古希臘，就是“可比”的意思，所以rational number應理解成整數(shù)的“比”。其實，我們可以將整數(shù)化成整數(shù)比的形式，如，2化成的形式。

教學思考：整個概念產(chǎn)生的過程，學生的參與面廣，熱情度高，能積極參與到數(shù)學活動中。在經(jīng)歷了若干次對數(shù)進行分類的探索后，學生體會到了分類討論數(shù)學思想方法的奇妙之處，能將看似雜亂無章的數(shù)進行有序歸類，化零為整。最后，當教師介紹有理數(shù)的概念時，學生不會產(chǎn)生困惑和抗拒感，體會到這只是源于一種數(shù)的特殊分類。

（二）類比的數(shù)學思想方法在概念教學中的應用

人類擁有強大的學習能力，能類比過去的研究方式，創(chuàng)造新的紀元。正如美籍匈牙利數(shù)學家波利亞所說：“類比是一個偉大的引路人?！痹跀?shù)學概念的教與學中，類比的數(shù)學思想方法能起到引領的作用。例如，以二次函數(shù)的概念教學為例，學生容易在此產(chǎn)生迷思。教師需要關注學生已有的知識，以學生的最近發(fā)展區(qū)為目標進行組織教學。學生在八年級已經(jīng)學習了一次函數(shù)，積累了一定的學習經(jīng)驗。因此，教師可以先帶領學生回顧一次函數(shù)概念的研究方法，接著鼓勵學生運用類比的思想方法開展二次函數(shù)概念的研究。從具體的問題情景引入，得到若干個函數(shù)，接著觀察這些函數(shù)的共同點，最終歸納總結得到二次函數(shù)的概念（形式定義）。

當然，二次函數(shù)概念的研究過程中也體現(xiàn)了字母表示數(shù)的數(shù)學思想方法。若要繼續(xù)對二次函數(shù)概念進行一個更加立體的研究，師生在分類研究二次函數(shù)的圖像和性質時，要充分發(fā)揮數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，鞏固對二次函數(shù)概念的正面認識。由此可見，一個數(shù)學概念的教學，往往需要“調(diào)動”多個數(shù)學思想方法進行指導與引領。

總之，數(shù)學概念的學習與數(shù)學思想方法的習得互相促進。數(shù)學思想方法是轉化“迷思概念”的一把利劍，但利劍何時出鞘也有所講究。教師不應刻意地將數(shù)學思想方法時常掛在嘴邊，而是以“隨風潛入夜，潤物細無聲”的形式，讓學生在經(jīng)歷一次又一次的數(shù)學活動過程中學會掌握數(shù)學思想方法這一工具，建立正確的數(shù)學概念的認知，從此遠離概念學習迷思的苦海。

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責任編輯? 陳小鳳

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