培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的實(shí)踐與思考

吳貽贊

【摘要】通常認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)構(gòu)建的模型來(lái)預(yù)測(cè)或解決相關(guān)問(wèn)題，數(shù)學(xué)建模作為現(xiàn)行教育目標(biāo)之一，充分體現(xiàn)出一個(gè)學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)能力和創(chuàng)造力。本文由一道三角函數(shù)應(yīng)用題為背景，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)讀題、聯(lián)想、計(jì)算到構(gòu)建數(shù)學(xué)模型這一具體的建模實(shí)踐過(guò)程，探究在課堂教學(xué)中如何多方面、多途徑培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)建模作為現(xiàn)行教育目標(biāo)之一能充分體現(xiàn)一個(gè)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，并且能體現(xiàn)一個(gè)人的創(chuàng)造和創(chuàng)新能力，因此，越來(lái)越受到國(guó)內(nèi)外教育專家的重視。通常認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型對(duì)未來(lái)相關(guān)量進(jìn)行預(yù)測(cè)和預(yù)報(bào)。然而，建模過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，思維跨度比較大，同時(shí)受多種因素制約，學(xué)生對(duì)建模信心不足、興趣不高。本文通過(guò)一道三角函數(shù)應(yīng)用題教學(xué)事例為切入點(diǎn)，探討在課堂教學(xué)中如何多方面、多途徑培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

一、課堂教學(xué)簡(jiǎn)錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，引向建模

通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道運(yùn)用三角函數(shù)模型可以刻畫勻速圓周運(yùn)動(dòng)、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和交流電流變化現(xiàn)象，體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。那如何將現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用模型來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題呢？結(jié)合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)單實(shí)際的生活事例情境，獲得學(xué)生最大關(guān)注，激起學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究欲望。

師：生活中存在很多周而復(fù)始的現(xiàn)象，通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道可以通過(guò)三角函數(shù)模型來(lái)刻畫這一變化規(guī)律?，F(xiàn)實(shí)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：海水受日月引力的作用，會(huì)發(fā)生潮起潮落。受潮起潮落的影響，碼頭水深與當(dāng)天時(shí)間有一定關(guān)系，同學(xué)們能否通過(guò)收集數(shù)據(jù)建立起水深與時(shí)間的關(guān)系？探討一下，如果你是船長(zhǎng)的話，知道船的安全吃水深度（船底與水面的距離）能否計(jì)算，船何時(shí)回港口是安全的？

學(xué)生陷入思考中。

2.閱讀領(lǐng)悟，提煉建模信息

接下來(lái)，以教材為根本，首先給足時(shí)間讓學(xué)生閱讀新教材必修第一冊(cè)第245-246頁(yè)例題2，再次通過(guò)有目的的提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考。

師：請(qǐng)大家閱讀第245-246頁(yè)例題2。例2：海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭;卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋。

選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述這一天該港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)水深的近似值（精確到0.001m）。

師：這是一道實(shí)際應(yīng)用題，需要我們把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，然后利用模型來(lái)預(yù)測(cè)整點(diǎn)時(shí)刻水深，這就是通常所說(shuō)的數(shù)學(xué)建模。通過(guò)閱讀，我們要研究的是什么問(wèn)題？

生1：預(yù)測(cè)整點(diǎn)時(shí)刻，某港口水深。

師：有上表收集的數(shù)據(jù)，結(jié)合變化規(guī)律，能否預(yù)測(cè)某整點(diǎn)的水深？

生2：可以。

生3：不行，不夠準(zhǔn)確，只是估計(jì)與猜測(cè)，偏差大。

師：上表收集的數(shù)據(jù)是具體時(shí)刻與對(duì)應(yīng)的水深，這里要研究的也是時(shí)刻與水深兩變量關(guān)系，表格也是表示變量關(guān)系的一種形式，但它不能很好地刻畫變量之間的變化趨勢(shì)與準(zhǔn)確關(guān)系，也就無(wú)法相對(duì)準(zhǔn)確地對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測(cè)，那怎樣才能達(dá)到比較準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)呢？

生4：求出函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行預(yù)測(cè)。

師：非常好，接下來(lái)，我們構(gòu)建時(shí)刻與水深的函數(shù)關(guān)系式。

3.思考與計(jì)算，構(gòu)建模型

師：如何構(gòu)建時(shí)刻與水深的函數(shù)關(guān)系式？

生5：收集數(shù)據(jù)。

生6：把收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，便于觀察它們的變化。

師：很好，這是我們進(jìn)行研究的兩變量，甚至多變量關(guān)系的前提，要從實(shí)際中收集數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)收集越多越精確就越貼近真實(shí)性，通過(guò)大量的數(shù)據(jù)整理分析，由具體量化尋找他們內(nèi)在的聯(lián)系，那又如何比較便捷直觀地觀察量的變化，確定量之間的關(guān)系呢？

生7：通過(guò)列表畫圖。

師：很好，畫圖，圖象直觀易觀察，準(zhǔn)確說(shuō)，是畫它們的散點(diǎn)圖，因?yàn)槲覀兪占氖请x散的數(shù)據(jù)。題中已收集了一些數(shù)據(jù)，大家可以利用已有數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖。

在教師的啟發(fā)下，學(xué)生畫出散點(diǎn)圖。（以橫軸表示時(shí)刻，縱軸表示水深）

師：我們作出兩變量的散點(diǎn)圖后，同學(xué)們思考下，這些點(diǎn)呈什么樣的分布？大致在什么函數(shù)圖象上波動(dòng)？也就是說(shuō)用數(shù)學(xué)函數(shù)模型刻畫出兩者關(guān)系？

學(xué)生有的在思考，有的在討論。

生8：點(diǎn)上下波動(dòng)，用正弦函數(shù)來(lái)刻畫。

生9：用余弦函數(shù)來(lái)刻畫。

生10：他們說(shuō)的都不對(duì)，這些點(diǎn)不是分布在正弦、余弦函數(shù)圖像上，可以看成是正弦函數(shù)圖像進(jìn)行伸縮平移變化得到的，可以擬定兩者函數(shù)關(guān)系為。

師：很好，可以看出在函數(shù)“”圖像上波動(dòng)，我們擬定時(shí)刻與水深的數(shù)學(xué)模型為。

師：接下來(lái)，我們通過(guò)收集數(shù)據(jù)計(jì)算出題中參數(shù)。

學(xué)生在教師引導(dǎo)下選取數(shù)據(jù)并結(jié)合相關(guān)知識(shí)計(jì)算出參數(shù)，得到具體的函數(shù)關(guān)系式。由于學(xué)生的差異性，算出的結(jié)果可能不同，這就要求學(xué)生返回檢查重新計(jì)算，同時(shí)也存在學(xué)生認(rèn)知的差異性。學(xué)生擬合的數(shù)學(xué)模型有所不同，甚至得出錯(cuò)誤的結(jié)論。所以，我們還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所構(gòu)建的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)與事情相悖的，倒回第一步，重新構(gòu)模型。

4.拓展運(yùn)用，體驗(yàn)建模意義

在師生共同的探究下，得出某港口某天水深與時(shí)刻可用近似來(lái)描述。

師：通過(guò)構(gòu)建的函數(shù)，大家預(yù)測(cè)下整點(diǎn)時(shí)刻8：00，14：00，16：00此處港口的水深。

學(xué)生通過(guò)計(jì)算器計(jì)算出相應(yīng)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的水深，親歷建模過(guò)程，體會(huì)到利用科學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)量相對(duì)準(zhǔn)確性，體驗(yàn)收獲成功的喜悅，激勵(lì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探索。

二、關(guān)于課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建模能力的認(rèn)識(shí)與思考

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生求知欲與建模興趣

培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)首先要激起學(xué)生對(duì)問(wèn)題的興趣與產(chǎn)生解決問(wèn)題的欲望。因此，在課堂教學(xué)中，教師要根據(jù)課堂內(nèi)容與學(xué)生心理特點(diǎn)，設(shè)置故事、問(wèn)題式、懸疑式等相關(guān)情境教學(xué)，獲取學(xué)生最佳注意力，引起學(xué)生對(duì)問(wèn)題的興趣，激發(fā)學(xué)生去解決問(wèn)題的欲望，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極參與。

通過(guò)設(shè)置情境，拋出問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的求知欲。讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)更加明確，并初步了解數(shù)學(xué)建模意義。但是如何建模，大部分學(xué)生的思路是模糊的，怎么將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們的數(shù)學(xué)模型？學(xué)生表現(xiàn)出濃厚興趣的同時(shí)又感到抽象而陌生。這就需要教師進(jìn)一步引導(dǎo)，通過(guò)問(wèn)題情境引入問(wèn)題，導(dǎo)向本節(jié)課目標(biāo)，為下一步數(shù)學(xué)建模進(jìn)行鋪墊。

2.改進(jìn)教學(xué)形式與評(píng)價(jià)體系，激勵(lì)學(xué)生大膽探索

數(shù)學(xué)建模在于對(duì)知識(shí)的構(gòu)建與運(yùn)用，重在學(xué)生的參與，將課堂單一教學(xué)形式變成開放式、活動(dòng)式、探索式、實(shí)踐式多種師生交融性教育，讓每個(gè)個(gè)體在教師的引導(dǎo)下參與討論問(wèn)題與解決問(wèn)題，亦可通過(guò)小組合作、師生互評(píng)、生生互評(píng)的形式發(fā)揮學(xué)生主體性，讓課堂變成生動(dòng)活潑、交流合作、自主構(gòu)建知識(shí)、創(chuàng)造性發(fā)展的課堂。

改變教師對(duì)學(xué)生單向單一的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，教學(xué)上要讓學(xué)生敢于質(zhì)疑、參與討論，激勵(lì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行大膽的猜想，如何抽象函數(shù)模型，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)所學(xué)的儲(chǔ)備知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)想，大膽設(shè)想出模型，并參與討論和論證。同時(shí)，讓學(xué)生用構(gòu)建的模型來(lái)預(yù)測(cè)相關(guān)問(wèn)題或解決實(shí)際問(wèn)題，體驗(yàn)勞動(dòng)成果，獲得成功的滿足感，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模上取得更大的信心。

3.重視知識(shí)積累歸納與運(yùn)用

由于數(shù)學(xué)建模將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)能力與抽象能力，思維跨度性大，這就要求學(xué)生對(duì)知識(shí)的牢固掌握與靈活運(yùn)用。學(xué)生儲(chǔ)備知識(shí)的豐富性及對(duì)知識(shí)的運(yùn)用對(duì)建模起到重要作用，是數(shù)學(xué)建模的根基，因此，對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能的掌握不可忘本逐末。在培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)時(shí)，要注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的歸納與總結(jié)、對(duì)方法的提煉，適當(dāng)引起學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的基本函數(shù)類型有哪些？求解函數(shù)解式方法有哪些，等等。只有在腦海中有了相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題與模型才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化抽象出數(shù)學(xué)模型來(lái)。因此，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)要從打下牢固基礎(chǔ)知識(shí)開始。

4.提高學(xué)生讀想算基本能力

數(shù)學(xué)建模過(guò)程大致要經(jīng)過(guò)以下過(guò)程：讀題—抽象（猜想）數(shù)學(xué)模型—確定（計(jì)算并檢驗(yàn)）數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)模型應(yīng)用，如下圖所示：

在課堂教學(xué)中，多樣式、多方法豐富學(xué)生閱讀，加強(qiáng)學(xué)生抽象思維能力與計(jì)算能力的訓(xùn)練，來(lái)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

首先要通過(guò)閱讀、審題提取題中的重要信息，讀懂題是解決問(wèn)題的前提，數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，往往給出現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，內(nèi)容可能包括理、工、農(nóng)等學(xué)科相關(guān)知識(shí)，涉及范圍廣、綜合性強(qiáng)，變量隱于其中，變量之間關(guān)系不明確，對(duì)學(xué)生閱讀理解的能力要求高。教學(xué)上，要有目的地培養(yǎng)學(xué)生自主閱讀理解能力，克服畏懼心理，鼓勵(lì)學(xué)生在閱讀后大膽發(fā)表自己的觀點(diǎn)與想法，通過(guò)提問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生抓住題中重要信息;也可以通過(guò)小組討論合作的方式互幫互助、取長(zhǎng)補(bǔ)短，提高閱讀能力;也可以通過(guò)設(shè)置有趣的情境活動(dòng)，先粗讀再細(xì)讀，喚醒學(xué)生閱讀興趣，提出有用信息。初步明確要研究的量，為后續(xù)建模打下基礎(chǔ)。

其次，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合知識(shí)儲(chǔ)備大膽聯(lián)想出數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)關(guān)系式或思想方法去概述現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題。對(duì)初學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，缺乏方向性和操作性，思維跨度大，將具體問(wèn)題一步抽象出數(shù)學(xué)模型也是不符合實(shí)際的。教師要明白建模的具體步驟，過(guò)程細(xì)化到可操作性。例如，通過(guò)散點(diǎn)圖形式將抽象問(wèn)題具體化，讓學(xué)生有依可想，想得明白，想得出來(lái)。從而逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

最后，明晰運(yùn)算對(duì)象，依據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算出擬合模型中的相關(guān)參數(shù)，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行辯證思考，是否合理性、有無(wú)缺失問(wèn)題、存在的偏差等，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考論證，對(duì)于不切實(shí)際的、錯(cuò)誤的問(wèn)題，要返回重新進(jìn)行擬合關(guān)系，重復(fù)上述過(guò)程直到問(wèn)題解決。在這一過(guò)程中，學(xué)生需要正確面對(duì)理論與實(shí)際生活中存在的偏差問(wèn)題。

數(shù)學(xué)建模是將實(shí)際問(wèn)題通過(guò)提煉概括抽象構(gòu)建并計(jì)算出數(shù)學(xué)模型，再利用模型解決相關(guān)問(wèn)題這樣一系列的實(shí)踐過(guò)程，過(guò)程復(fù)雜而抽象，是學(xué)生對(duì)知識(shí)綜合運(yùn)用和創(chuàng)造力的重要體現(xiàn)。提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，不能一蹴而就，應(yīng)從提高學(xué)生興趣與意識(shí)著手，著重提高基本知識(shí)與基本技能，遵從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。這是一個(gè)由易到難、逐步提高的過(guò)程。

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責(zé)任編輯? 梁國(guó)勝

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