淺談數(shù)學(xué)解題的順推與逆推結(jié)合的思考方式

何星澤

【摘要】學(xué)生的數(shù)學(xué)能力如何，數(shù)學(xué)成績?nèi)绾危艽蟪潭壬象w現(xiàn)在解題能力上，而解題能力的提高最重要的是學(xué)會(huì)思考，要善于在已知和未知之間搭建起“鵲橋”。本文通過幾個(gè)例題對(duì)解題過程進(jìn)行分析總結(jié)，著重展示如何通過順推與逆推結(jié)合的思考方式搭建“鵲橋”，找到解題的突破口。

【關(guān)鍵詞】解題能力;順推分析;逆推分析

一、發(fā)現(xiàn)問題

筆者回顧多年的教育教學(xué)工作，發(fā)現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)和教師的教等兩個(gè)方面都存在一些現(xiàn)象：

一是有部分學(xué)生上課認(rèn)真聽講，認(rèn)真做筆記，課后也認(rèn)真復(fù)習(xí)，能按時(shí)完成作業(yè)，但卻考不好，教師講的一些題目能聽懂，但稍作變式就不會(huì)了，遇到稍有點(diǎn)難度的題，則顯得無從下手。

很多教師把這一類學(xué)生總結(jié)為“不會(huì)學(xué)”，但筆者認(rèn)為這部分學(xué)生并不是不會(huì)學(xué)，而是不會(huì)思考，并非智商不高，而是沒掌握正確的思考方法，一旦他們學(xué)會(huì)了正確的思考方法，學(xué)會(huì)了分析問題，他們的解題水平、數(shù)學(xué)能力必定能有很大提高.

二是有些教師在解題教學(xué)上存在一些現(xiàn)象，不可否認(rèn)，他們的基本功很扎實(shí)，善于題型的歸類、方法的總結(jié)。然而，有時(shí)只是方法的簡單堆積或解題技巧的神秘出現(xiàn)，很少從學(xué)生思維的起點(diǎn)分析問題，也很少分析“為什么這樣解”“是什么促使我這樣思考”，沒有講清楚思路的來源與發(fā)展的過程。尤其是要作輔助線的問題，當(dāng)學(xué)生問到怎么樣才能想到這樣作輔助線時(shí)，他們的回答常常是“這是一種直覺，題做多了就會(huì)了”?？梢?，有些學(xué)生不會(huì)思考，和此類教學(xué)方式有一定關(guān)系。

那么，如何解決上述兩種現(xiàn)象呢？

這要求教師和學(xué)生都要掌握正確、高效的思考方法（模式）。在解題時(shí)，一般的思考模式是：讀題→弄清題干給了哪些條件→分析這些條件與問題之間的聯(lián)系→擬定解題計(jì)劃，這種思考模式一般稱為順推分析，相當(dāng)于從起點(diǎn)瞭望終點(diǎn);另外，也有逆向思考模式，即從終點(diǎn)回望起點(diǎn)，先從問題入手，通過假定問題已經(jīng)被解決來分析到底需要哪些條件，這種思考模式一般稱為逆推分析。

筆者認(rèn)為，順推與逆推結(jié)合的思考方式會(huì)更為常見，簡言之就是：由已知看可知，從未知看需知。它能縮短已知和未知之間的距離，而且往往能做到一題多解。

二、順推與逆推結(jié)合的思考方式的步驟

大體上有三個(gè)步驟：

（1）順推分析：從已知條件往后推，看每一個(gè)已知能得到什么小結(jié)論，把不同的已知（有時(shí)需要與小結(jié)論）組合起來思考，看又能得到什么小結(jié)論。

（2）逆推分析：從所求（未知結(jié)論或問題）往前推，看要解決這個(gè)問題需要什么條件，有時(shí)是把所求進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。

（3）在（1）中的小結(jié)論和（2）中所需條件（或等價(jià)轉(zhuǎn)化后的問題）之間找到契合點(diǎn)，建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)解題的突破。

有時(shí)需要重復(fù)（1）（2）（3）才能有所進(jìn)展。在某些代數(shù)題中，（1）和（2）有時(shí)可以交換順序。這個(gè)過程可以有一個(gè)浪漫的比喻，有點(diǎn)像牛郎織女的鵲橋相會(huì)，已知條件好比是牛郎，所求（未知結(jié)論或問題）則是織女，尋找解題思路的過程就相當(dāng)于為牛郎織女搭建鵲橋的過程，鵲橋建好了，題就能解出來。而利用順推和逆推結(jié)合的思考方式在搭建已知和未知的“鵲橋”時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢與魅力。

三、順推和逆推結(jié)合的思考方式的例題研究

我們先看一道最近網(wǎng)課學(xué)習(xí)中遇到的習(xí)題：

例1：如圖1，平行四邊形ABCD中，CG⊥AB于點(diǎn)G，∠ABF=45°，F(xiàn)在CD上，BF交CD于點(diǎn)E，連接AE，AE⊥AD。求證：CE+BE=AB.

按照順推和逆推結(jié)合的思考方式有如下分析：

（1）順推分析：由ABCD是平行四邊形，CG⊥AB，∠ABF=45°可以得到△BEG和△FCE都是等腰直角三角形，所以BG=EG，CE=CF;由AE⊥AD得AE⊥BC.這些小結(jié)論如何進(jìn)一步使用就要結(jié)合下一步的分析;

（2）逆推分析：CE+BE=AB，有點(diǎn)類似于兩條線段的和（差）等于第三條線段的形式，常用的方法是截長補(bǔ)短，如何對(duì)BE進(jìn)行轉(zhuǎn)化則是本題的難點(diǎn)，對(duì)它的不同的轉(zhuǎn)化方式就會(huì)產(chǎn)生不同的解題方法。

BE可以有兩種轉(zhuǎn)化方式：

①根據(jù)等腰直角三角形的三邊關(guān)系，BE=BG+EG，于是所證結(jié)論可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為CE+BG+EG=AB，即CG+BG =AB，即只需證CG=AG.

②構(gòu)造BE為直角邊的等腰直角三角形，BE就是斜邊的長。

（3）找到（1）中的小結(jié)論與（2）中轉(zhuǎn)化后的問題之間的關(guān)系，完成解題，具體方法如下：

對(duì)于（2）①的分析，可延長AE交BC于H（如圖1-1），可得∠1=∠2，易證△BGC≌△EGA，于是CG=AG，已知與未知完美結(jié)合，進(jìn)一步即得CE+BE=AB.

對(duì)于（2）②的分析，過E作EH⊥BE交AB于H（如圖1-2），知△BEH是等腰直角三角形，則BE=BH，于是只需證CE=AH，即證△BEC≌△EHA即可.

這是采用截長法證明，還可以用補(bǔ)短法證明。

過B作BH⊥BE交CG的延長線于H（如圖1-3），則BE=EH，于是只需證CH=AB，即證△BCH≌△EAB即可。

以上三種方法都是順推與逆推結(jié)合的思考方式的很好例子，有順推才能發(fā)揮已知條件的作用，有逆推才能知道目標(biāo)在哪，問題的本質(zhì)是什么，已知條件怎么樣才能更好地使用。尤其在逆推時(shí)，不同的轉(zhuǎn)化方法起到了一題多解的效果，對(duì)開拓學(xué)生的思維大有裨益。

現(xiàn)在，我們用這種方法再分析一道中考題：

例2：如圖2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，A（-8，8），B點(diǎn)在第一象限，AB=10，AB與y軸交于點(diǎn)F，對(duì)角線AC交y軸于點(diǎn)E.

（1）直接寫出B、C點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿折線段C—D—A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示△EDP的面積。

（3）在（2）的條件下，是否存在一點(diǎn)P，使△APE沿其一邊翻折構(gòu)成的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出當(dāng)t為多少秒時(shí)存在符合條件的點(diǎn)P;若不存在，請(qǐng)說明理由。

第（3）問按照順推和逆推結(jié)合的思考方式有如下分析：

（1）順推分析可以得到OD=BF=2，AF=CO=8，可證△AEF≌△CEO得EF=EO=4，AE=EC=4.

（2）逆推分析：這是個(gè)菱形存在性問題，而菱形的一條對(duì)角線可把菱形分成兩個(gè)全等的等腰三角形，所以這個(gè)問題可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在性問題。

（3）找到前兩步的契合點(diǎn)，搭建“鵲橋”，完成解題。根據(jù)兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的方法——兩圓一線，確定點(diǎn)P的位置，再結(jié)合數(shù)據(jù)計(jì)算t的值，具體過程如下：

①AE=AP時(shí)（如圖2-1，以A為圓心AE為半徑作圓交AD于P），可知AP=4，則t=10-2。

②當(dāng)EA=EP時(shí)（如圖2-1，以E為圓心AE為半徑作圓），此時(shí)A、P、E不能構(gòu)成三角形，舍去。

③當(dāng)PA=PE時(shí)，作AE的垂直平分線交AB于G，交AD于P（如圖2-2），易證四邊形APEG是菱形，設(shè)AP=AG=GE=x，GF=8-x，在Rt△GFE中，由勾股定理得x2=42+（8-x）2，解得x=5，進(jìn)而求得t=7.5;

綜上，存在t=10-2或7.5秒時(shí)，△APE沿其一邊翻折構(gòu)成的四邊形是菱形。

這個(gè)問題的解答也體現(xiàn)了順推和逆推結(jié)合的思考方式的價(jià)值，尤其是逆推分析把菱形問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題，化新知識(shí)為舊知識(shí)，簡化了思考過程，能迅速找到解題的突破口，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想。

順推與逆推結(jié)合的思考方式不僅適用于幾何問題，在一些代數(shù)問題中也十分實(shí)用，請(qǐng)看下題：

例3：a，b，c，x都是實(shí)數(shù)，并且a

x-c的最小值。

此題可以采用零點(diǎn)分段法對(duì)x的取值分類討論，分別去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后比較各段的值，再取最小值;也可以分段之后畫出函數(shù)圖像，取最低點(diǎn)的函數(shù)值，但這些方法都必須經(jīng)歷復(fù)雜的去絕對(duì)值符號(hào)的過程，有沒有更簡單的方法呢？

由于此題已知條件比較簡單，順推分析有點(diǎn)漫無目的，我們可先作逆推分析，則會(huì)發(fā)現(xiàn) x-a 可以表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)a之間的距離，x-a+x-b+x-c就表示點(diǎn)x到點(diǎn)a，b，c的距離之和，逆推與順推結(jié)合，可以畫出圖3：

顯然，這三條線段沒有重疊部分時(shí)，和最小，此時(shí)x=b，這最小和為點(diǎn)a，c的距離，為 a-c =c-a.

這種方法還能推廣到有n個(gè)點(diǎn)的情況。可見，對(duì)所求問題作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是多么的重要，恰到好處的逆推分析大大地簡化的解題過程，而且獲得了非常巧妙的解法。學(xué)生在這個(gè)過程中也會(huì)體驗(yàn)到解題的樂趣，繼而加大學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

我們?cè)倏匆坏来鷶?shù)求值題：

例4：已知a=+，b=-，求的值。

這個(gè)題直接代數(shù)當(dāng)然可以求解，但是顯然不是好方法。已知條件比較簡單，順推需結(jié)合逆推才能進(jìn)行，于是，先逆推分析對(duì)所求變形，，此時(shí)如果帶入數(shù)據(jù)也可以，但仍然不是最好的方法，結(jié)合已知，需進(jìn)一步變形：，此時(shí)可以順推計(jì)算a+b=2，ab=1，再代入上式求值則非常簡單。

誠然，不是所有題都需要（或都適合）用順推與逆推結(jié)合的思考方式，有的題直接用順推或逆推就能解答，但掌握順推與逆推結(jié)合的思考方式無疑是有益的。

從上面四道題的演示，我們可以體會(huì)到，如果學(xué)生能夠養(yǎng)成順推與逆推結(jié)合來思考問題的習(xí)慣，那么在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候不僅知道已知條件有什么用，還能知道最終目標(biāo)在哪，縮短了從已知到達(dá)未知的過程，而且往往會(huì)有一題多解的收獲，既能開拓思維，還能培養(yǎng)興趣，非常有利于數(shù)學(xué)能力的提高。

四、順推與逆推結(jié)合的思考方式的培養(yǎng)

學(xué)生的思維習(xí)慣受多方面因素的影響，如，學(xué)生自身的特質(zhì)、從小的成長環(huán)境和父母的思維的方式、教師的教育等。具體可以從教與學(xué)兩個(gè)方面來培養(yǎng)：首先，教師要有順推與逆推結(jié)合的思考方式，平時(shí)解題時(shí)就要體會(huì)這種思維方式的魅力，感受由此帶來的解題成功的喜悅與樂趣。在解題教學(xué)時(shí)，教師更要善于引導(dǎo)學(xué)生這樣去思考，讓學(xué)生自己體會(huì)到這種喜悅與樂趣，他們才會(huì)樂于這樣去思考;其次，學(xué)生也要有養(yǎng)成這種思考方式的意識(shí)。對(duì)于平時(shí)的作業(yè)題如果發(fā)現(xiàn)單純的順推和逆推分析不行時(shí)，就應(yīng)想到順推和逆推結(jié)合來思考問題，模仿教師平時(shí)講題的思維方式來解題;再次，教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成回顧的習(xí)慣。波利亞在《怎樣解題》中總結(jié)的解題四步驟中的第四步就是回顧?；仡櫦仁菣z查是否有錯(cuò)誤，又是對(duì)解題過程的優(yōu)化。體會(huì)一下思路是如何產(chǎn)生的，是哪個(gè)已知條件起到了突破性的作用，以后遇到這種條件時(shí)是不是還可以這樣用;這種解題方法在以前哪道題曾經(jīng)見過，能不能推廣到這一類題。這樣，新的知識(shí)技能納入到舊知識(shí)體系中，從而拓展舊知。假以時(shí)日，學(xué)生的良好思維品質(zhì)必然能養(yǎng)成，數(shù)學(xué)能力一定可以提高。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯? 陳? 洋

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