幾何圖形研究思路的探究

李玥

【摘 ?要】三角形是最簡單的幾何圖形，是研究其他幾何圖形的基礎(chǔ)，而《三角形的邊》作為起始課，是學生對三角形第一個性質(zhì)的學習，為后面角的性質(zhì)的學習等也提供了探究思路和方法。以人教版《三角形的邊》為例，談?wù)勅绾卧趲缀谓虒W中幫助學生建構(gòu)幾何圖形的研究思路，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】三角形的邊;數(shù)學核心素養(yǎng);幾何圖形

三角形是在研究了線段和直線基礎(chǔ)上的又一幾何圖形，是最簡單的幾何圖形，而多邊形可以按不同方式分割成若干個三角形，并應(yīng)用三角形的性質(zhì)來研究。古希臘幾何學以三角形為研究主角，就是因為三角形既簡單而又能充分反映空間的本質(zhì)[1]，所以三角形是研究其他幾何圖形的基礎(chǔ)，為接下來研究全等三角形、等腰三角形、相似三角形和平行四邊形等內(nèi)容奠定了知識基礎(chǔ)和研究思路，在整個幾何教學中至關(guān)重要，具有重要的研究價值。而《三角形的邊》作為三角形的起始課，是學生對三角形第一個性質(zhì)的學習，為后面角的性質(zhì)的學習等也提供了探究思路和方法。初中數(shù)學具有六大核心素養(yǎng)，這是重要的教學目標，尤其在幾何教學中，更多地涉及數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等能力。本文即以人教版《三角形的邊》為例，談?wù)勅绾卧趲缀谓虒W中幫助學生建構(gòu)幾何圖形的研究思路，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、分析教學內(nèi)容

教學實施前，分析教學內(nèi)容是必要的前提?！度切蔚倪叀愤@節(jié)內(nèi)容是人教版八年級上冊第十一章三角形中的第一節(jié)第一課時，涉及三角形的概念、分類、三邊關(guān)系等內(nèi)容。教學的主體是學生，故需了解學情，準確把握教學起點。學生在小學時已經(jīng)學過有關(guān)三角形的一些知識，也了解三角形的許多性質(zhì)，在七年級第四章《幾何圖形初步》和第五章《相交線與平行線》中又學習了線段、平行線、相交線等知識，這些知識是本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)，本節(jié)課正是在已有知識內(nèi)容的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究。另外，該年齡段的學生思維活躍，易對學習對象產(chǎn)生興趣，在學習時也能夠自覺地與實際生活和已學過的知識相聯(lián)系，并具有一定的自主學習能力。但同時，學生在邏輯推理和數(shù)學應(yīng)用能力上有一定欠缺，通過推理的方法證明有關(guān)結(jié)論有一定難度。明確了這些，也就明確了教師在本節(jié)內(nèi)容上的教學目標。

二、培育核心素養(yǎng)

（一）設(shè)計問題串，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力

學生在接觸三角形之前，已經(jīng)在七年級學習了更簡單、更基礎(chǔ)的點、線等幾何元素，學習了線段、射線和直線，兩條直線間有相交和平行兩種位置關(guān)系等知識，其中線段正是組成三角形的基礎(chǔ)。在本節(jié)課的教學引入部分時，可先不讓學生直接回憶小學學過的三角形內(nèi)容，而是引導學生回顧七年級學過的點、線等知識，為后面幫助學生串聯(lián)起幾何知識，總結(jié)幾何圖形研究思路打下基礎(chǔ)。教師可以在引入部分設(shè)計幾個問題，幫助學生回憶舊知：

問題1：首先回顧一下，我們在七年級學習了哪些幾何圖形？幾何圖形最基本的元素是點，點動就得到了什么？（學生：線）

追問：我們學過哪些線？（學生：線段、射線、直線）

追問：如果增加一條線，兩條線可以組成哪些幾何圖形？（學生：平行線、相交線和角）

追問：如果再增加一條線，三條線又可以組成哪些幾何圖形？

對于最后這個追問，學生可能會有遺漏或說不清楚分類的標準，這里就可以再次向?qū)W生滲透幾何圖形研究的其實就是兩種關(guān)系——數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。當考慮三條線組成什么圖形的時候，可以根據(jù)位置關(guān)系分類，而類比判斷兩條線的位置關(guān)系時關(guān)注的是兩條線是否有交點，于是研究三條線的位置關(guān)系可以關(guān)注三條線的交點個數(shù)，進而得到四種幾何圖形。其中，交點個數(shù)為0時，三條直線平行;交點個數(shù)為1時，三條直線交于一點;交點個數(shù)為2時，兩條平行線被第三條直線所截;交點個數(shù)為3時，就出現(xiàn)了這節(jié)課的主題——三角形。四種情況中前三種學生已經(jīng)研究過了，于是順其自然地揭示課題：第四種構(gòu)成的幾何圖形——三角形是我們本章要學習的內(nèi)容。

這里滲透了分類討論的數(shù)學思想方法，同時對分類的標準進行強調(diào)，也為后續(xù)三角形的分類做了一個鋪墊。

問題1是從知識的本質(zhì)聯(lián)系角度引入課題的，為學生后續(xù)建構(gòu)幾何圖形研究思路起到了引領(lǐng)作用。但對于剛升入八年級的初中生來說，也要提供一些實際例子讓學生了解三角形在生活中的廣泛性和重要性。于是設(shè)計了問題2：觀察多媒體展示的圖片，通過觀察分析找出圖片中的三角形，并在PPT圖上把這些三角形描出來。通過生活中的真實例子，學生認識到三角形是一種基本的幾何圖形，從古埃及的金字塔到現(xiàn)代的建筑物，從巨大的鋼架橋到微小的分子結(jié)構(gòu)，直至我們熟悉的交通工具，到處都有三角形的形象，使得學生對三角形這個圖形有了更清晰的認知。

而本節(jié)課的最后，再對所學知識進行歸納小結(jié)，提出問題：這節(jié)課我們從哪些方面來研究三角形？經(jīng)過本節(jié)課的學習，學生會自己總結(jié)：學習了定義、分類、性質(zhì)等方面，而從定義、分類、性質(zhì)三方面研究三角形，也是我們研究幾何圖形的一般思路。于是本節(jié)課小結(jié)部分就與前面的引入部分前后呼應(yīng)，既幫助學生認識了今后研究幾何圖形的一般思路，也為本章三角形后面的學習起到了引導作用。

當學生能從圖形中找出三角形后，可以請學生回顧小學時是怎么對三角形下定義的。于是設(shè)計了問題3：在小學我們是怎么定義三角形的？

學生對三角形概念的認識可能就只是三條線連起來，但這并不嚴謹。這里教師可以運用教具直觀演示并設(shè)計了一些反例（如圖1）幫助學生完善對三角形的更全面的認識：三角形是由三條線段構(gòu)成的，但這三條線段連起來的時候不能“出頭”，也就是需要

“首尾順次相接”。而且，還需要滿足“不在同一條直線上”，像圖1-（6）這樣是構(gòu)成不了三角形的。通過這些，學生就抽象出了三角形的概念。

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

接下來用符號語言表示三角形及其頂點、邊和內(nèi)角，并出示課堂練習1：圖2中有幾個三角形？用符號表示這些三角形并進行變式：（1）以E為頂點的三角形有哪些？（2）以∠A為內(nèi)角的三角形有哪些？通過這個課堂練習，給學生滲透找三角形的順序，做到不重不漏，進一步落實了邊、角、頂點等知識。

同樣先請學生回顧小學時是怎么對三角形進行分類的。提出問題4：在小學階段，我們對三角形是怎么分類的？

雖然在前面的學習中已經(jīng)滲透了分類要注重標準，并且不重不漏。但是學生剛開始回答這個問題時會把銳角三角形、等腰三角形等放在一起，這里可向?qū)W生再次強調(diào)，首先要明確分類的標準——角還是邊。學生比較清楚的是按照內(nèi)角的大小來分類，而按照邊的相等關(guān)系分類時會出現(xiàn)困惑，有些學生會把等腰三角形和等邊三角形看成并列的兩類。這時，教師可借助PPT幫助學生回顧和理解等腰三角形（頂角、底角、腰、底邊）和等邊三角形的概念，在概念明確后，學生自然就明確了三角形的兩種分類。

（二）從實驗操作到推理論證，培養(yǎng)學生的直觀想象和邏輯推理能力

推理，包括合情推理和演繹推理。通過培養(yǎng)學生的空間觀念，乃至針對圖形的幾何直觀，可以提升學生幾何方面的合情推理能力[2]。在直觀想象后還需要嚴謹?shù)淖C明，做到有理有據(jù)，培養(yǎng)學生的演繹推理能力。

這節(jié)課重點研究三角形的邊的性質(zhì)——三角形的三邊關(guān)系，于是設(shè)計問題5：任意畫一個△ABC，從點B出發(fā)，沿三角形的邊到點C，有幾條線路可以選擇？各條線路的長一樣嗎？

首先請學生觀察、思考，得出BA+AC>BC，這兩條線路的長不一樣，同時還要說清楚推理依據(jù)：兩點之間，線段最短。由實驗操作得出的結(jié)論會讓學生忽略數(shù)學的嚴謹性，所以還需要進行推理證明，向?qū)W生滲透從實驗操作到推理論證的數(shù)學思維。因為問題中的三角形是任意的，于是就得到了一般的結(jié)論：三角形兩邊的和大于第三邊，并用符號語言表示，可以列出三個不等式。接下來將上述三個不等式變形，會得到：三角形兩邊的差小于第三邊。于是，對第三邊來說，它小于兩邊之和，大于兩邊之差。

三角形的三邊關(guān)系這個性質(zhì)有什么作用呢？這里可設(shè)計幾道練習題，并讓學生總結(jié)歸納解題策略。

問題6：下列長度的三條線段能否組成三角形？

為什么？

（1）3，4，8（ ?）;（2）5，6，10（ ?）;（3）6，11，5（ ?）。

因為一個三角形的三邊滿足任意兩邊之和都大于第三邊，所以判斷三條線段能否構(gòu)成三角形就需要判斷這三條線段是否滿足任意兩條線段之和都大于第三條線段。部分學生可能會忽略“任意”這個點，在解答時思維定勢，誤認為每題都是選第1條和第2條線段的和與第3條線段比較大小來判斷能否組成三角形。另外，學生也會產(chǎn)生疑問，因為“任意”選取兩條線段時會有三種可能，那這三種可能需要一一比較嗎？實際上，學生經(jīng)過探究思考會發(fā)現(xiàn)，只要計算較小的兩條線段和與最長線段比較就可以了。于是學生就歸納出解決此類題目的策略：只要滿足較小的兩條線段之和大于最長線段，便可構(gòu)成三角形;若不滿足，則不能構(gòu)成三角形。

問題7：用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形。（1）如果腰長是底邊長的4倍，那么各邊的長是多少？（2）能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

這道練習題交給學生板書完成并分析解題思路，一方面由學生歸納出解決此類題目的策略，滲透分類討論的數(shù)學思想方法。另一方面教師也要強調(diào)解決幾何問題通常通過畫圖簡潔明了，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法。

總之，通過幾道練習題引導學生歸納出三角形三邊關(guān)系有兩個主要的作用：一是可以判斷三條線段是否能構(gòu)成三角形;二是提供了一個不等關(guān)系，可以依此性質(zhì)列不等式，進而求線段的范圍。

三、反思教學過程

三角形是最簡單的幾何圖形，是研究其他幾何圖形的基礎(chǔ)，從定義、分類、性質(zhì)三方面研究三角形，也是我們研究幾何圖形的一般思路。而《三角形的邊》作為三角形的起始課，起到了引領(lǐng)的作用，為后續(xù)的學習也提供了探究思路和方法等。比起三角形的相關(guān)概念、分類、性質(zhì)等最終結(jié)論，研究三角形的過程和思路更為重要。學生在探究中獨立思考、交流合作，經(jīng)歷了知識的生成與建構(gòu)過程，既整體把握了知識間的邏輯結(jié)構(gòu)，又獲得了研究幾何圖形的研究思路等經(jīng)驗，從而在今后其他平面圖形的學習過程中遷移經(jīng)驗，進一步提高各方面能力，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。數(shù)學知識并不是零散地分布，它需要置于整體知識體系中，這就對教師提出了更高標準的要求。為更好地進行幾何教學，幫助學生對幾何圖形進行研究，需要教師詳細地了解知識的邏輯結(jié)構(gòu)、背景及相關(guān)素材，需要教師具備廣博的知識，建構(gòu)豐富的知識體系，這對教師的專業(yè)發(fā)展也起到了極大的促進作用。

【參考文獻】

[1]項武義.基礎(chǔ)幾何學[M].人民教育出版社，2004.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京人民教育出版社，2012.

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