“函數(shù)”單元的整體思考和教學(xué)指導(dǎo)

苗靜

摘? 要：在分析滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》函數(shù)主題內(nèi)容架構(gòu)、呈現(xiàn)順序和編寫思路的基礎(chǔ)上，提出在教學(xué)中應(yīng)注重教學(xué)情境的有效創(chuàng)設(shè)、教學(xué)目標(biāo)的階段達(dá)成、研究過程的一般路徑、思想方法的聯(lián)系統(tǒng)一、數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用價值等關(guān)鍵問題.

關(guān)鍵詞：函數(shù)教學(xué);整體性;結(jié)構(gòu)化

滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》），在原有二期課改經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整，并對高中數(shù)學(xué)課程框架進(jìn)行了進(jìn)一步完善. 對數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)注逐漸從知識的發(fā)生、發(fā)展，轉(zhuǎn)向問題的解決和方法的習(xí)得. 同時，更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的整體性、數(shù)學(xué)邏輯的連貫性、數(shù)學(xué)思想的一致性、數(shù)學(xué)方法的普適性和數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性. 文章主要以教材“函數(shù)”單元的教學(xué)為例，進(jìn)行系統(tǒng)的分析.

一、函數(shù)主線的邏輯結(jié)構(gòu)

王建磐先生以《標(biāo)準(zhǔn)》為綱提出了高中數(shù)學(xué)四條主線各章節(jié)之間的邏輯關(guān)系圖，如下圖所示. 從中可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)主線分為兩個部分：一部分是必修課程中的函數(shù)板塊，主要涉及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，以及一般函數(shù)的概念和性質(zhì);另一部分則是在選擇性必修中的數(shù)列和導(dǎo)數(shù)板塊.

1. 結(jié)構(gòu)特征——整體、聯(lián)系、發(fā)展

（1）主線內(nèi)外的聯(lián)系性.

由上圖可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)主線內(nèi)部各章節(jié)之間的邏輯關(guān)系非常密切，教材注重整體化、結(jié)構(gòu)化的知識建構(gòu)，必修內(nèi)容主要落實(shí)概念的抽象，通過對函數(shù)及其性質(zhì)的抽象提煉，形成研究函數(shù)的一般思路和方法;選擇性必修主要落實(shí)概念的深化，通過數(shù)列研究“序”，通過導(dǎo)數(shù)研究“變化”. 同時，函數(shù)主線與其他主線之間也存在緊密的聯(lián)系. 例如，概念的關(guān)聯(lián)（集合與不等式）、運(yùn)算的關(guān)聯(lián)（冪、指數(shù)、對數(shù)和三角）、圖形的關(guān)聯(lián)（解析幾何與概率統(tǒng)計）和應(yīng)用的關(guān)聯(lián)（數(shù)學(xué)建模）. 可以說，函數(shù)主線貫穿了整個高中數(shù)學(xué)課程，是具有核心地位的一個主題.

（2）研究主題的發(fā)展性.

在滬教版《高級中學(xué)課本·數(shù)學(xué)》（上海二期課改期間使用，以下統(tǒng)稱“舊教材”）中沒有導(dǎo)數(shù)單元. 教材設(shè)置“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”這一內(nèi)容是為了幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)的變化，在必修課程中利用單調(diào)性定性描述函數(shù)變化的基礎(chǔ)上，用導(dǎo)數(shù)定量反映這種局部變化. 主要目的是將高中知識與大學(xué)知識進(jìn)行銜接，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)研究的發(fā)展性，讓學(xué)生對進(jìn)一步的學(xué)習(xí)充滿期待.

（3）函數(shù)應(yīng)用的表現(xiàn)性.

教材第5章新增了“5.3 函數(shù)的應(yīng)用”一節(jié). 函數(shù)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個方面：一方面，用函數(shù)的思想方法思考、解決其他數(shù)學(xué)問題. 例如，用函數(shù)的思想方法研究和求解代數(shù)方程的根、求解不等式、討論極值與最值、研究圖形等;另一方面，用函數(shù)的模型和思想方法分析、解決實(shí)際問題，這是提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的關(guān)鍵內(nèi)容，同時也體現(xiàn)了函數(shù)這一工具的應(yīng)用價值.

2. 呈現(xiàn)順序——從特殊到一般再到特殊

教材函數(shù)主線的章節(jié)內(nèi)容與舊教材和人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）有較大的差異，為了敘述方便，將三版教材中函數(shù)主線內(nèi)容按章節(jié)進(jìn)行編號：① 冪、指數(shù)與對數(shù);② 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù);③ 函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用;④ 三角;⑤ 三角函數(shù);⑥ 數(shù)列;⑦ 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用. 具體比較如表1所示.

從表1中可以發(fā)現(xiàn)，舊教材和人教A版教材在邏輯順序上都是從概念起步，再研究具體對象. 這種安排順序的優(yōu)點(diǎn)是有一個一般概念的統(tǒng)領(lǐng)，對展開具體數(shù)學(xué)對象的研究有統(tǒng)一的指導(dǎo)意義，缺點(diǎn)是缺少一般概念的抽象過程，容易給學(xué)生的認(rèn)知造成障礙，使學(xué)生對概念的理解不易達(dá)到應(yīng)有的高度，進(jìn)而導(dǎo)致一般概念無法起到“統(tǒng)領(lǐng)”的作用.

而教材在函數(shù)章節(jié)從具體的冪、指數(shù)及對數(shù)起步，讓學(xué)生慢慢體會具體函數(shù)的概念和性質(zhì)，不斷經(jīng)歷類似的研究過程，形成研究函數(shù)的基本方法;再從已有的具體函數(shù)模型（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)）中抽象出一般函數(shù)的概念和性質(zhì)，最后回歸到具體函數(shù)（三角函數(shù)）. 這是一個從特殊到一般再回到特殊的過程. 這樣能夠與初中的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)在處理方法上有一個銜接，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又能形成數(shù)學(xué)對象的研究過程，使概念的聯(lián)系更為緊密，概念組織更具層次性.

3. 研究思路——路歸路，橋歸橋

舊教材將冪指數(shù)運(yùn)算、實(shí)數(shù)指數(shù)冪、對數(shù)運(yùn)算混在函數(shù)章節(jié)中進(jìn)行教學(xué)（有理數(shù)指數(shù)冪在冪函數(shù)中提出，實(shí)數(shù)指數(shù)冪在指數(shù)函數(shù)中提出，對數(shù)運(yùn)算在對數(shù)函數(shù)之前提出，造成前后內(nèi)容不連貫），結(jié)果導(dǎo)致代數(shù)運(yùn)算的核心與函數(shù)性質(zhì)的核心都被淡化. 而代數(shù)運(yùn)算是初等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，這些數(shù)學(xué)對象都有獨(dú)特的運(yùn)算方式和運(yùn)算規(guī)則，它們是定量研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)所必備的. 對此，教材做了重新的架構(gòu)，“路歸路，橋歸橋”，將運(yùn)算從函數(shù)中剝離，運(yùn)算先行，再引入函數(shù)的觀點(diǎn)，不讓運(yùn)算作為函數(shù)的依附，體現(xiàn)了從靜態(tài)到動態(tài)的研究過程. 同樣的編排思路也體現(xiàn)在“三角”與“三角函數(shù)”這兩章.

二、教學(xué)過程的特別關(guān)注

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，教師應(yīng)把函數(shù)主題的內(nèi)容視為一個整體，引導(dǎo)學(xué)生從變量之間的依賴關(guān)系、實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)圖象的幾何直觀等角度整體認(rèn)識函數(shù)概念;……重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng). 從中可以發(fā)現(xiàn)，《標(biāo)準(zhǔn)》非常強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的整體性，因此在教學(xué)中也需要秉承這一思想來研究函數(shù)主線知識.

1. 教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)性

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在學(xué)生與情境、問題的有效互動中得到提升的. 在教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，設(shè)計切合學(xué)生實(shí)際的情境和問題.

函數(shù)的概念屬于高中數(shù)學(xué)中的核心概念. 如果只是從形式上強(qiáng)調(diào)三要素和唯一性，無法讓學(xué)生真正理解. 因此，在概念形成中要特別強(qiáng)調(diào)情境的作用，要讓學(xué)生完成“從事實(shí)到概念”的認(rèn)知過程，使他們獲得數(shù)學(xué)研究對象，能在初中“變量說”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入和完善對函數(shù)的認(rèn)知.

（1）冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)概念的引入，從多個基本初等函數(shù)或者實(shí)際問題出發(fā)，以初中“函數(shù)的概念”為起點(diǎn)，完成了從具體情境到一類具體函數(shù)的第一次抽象.

（2）教材在“函數(shù)的概念”一節(jié)中列舉了多個函數(shù)實(shí)例. 首先，讓學(xué)生感受“[x]的取值范圍”“對應(yīng)”等特點(diǎn);其次，概括它們的共同特征，完成從多類具體函數(shù)到一般函數(shù)概念的第二次抽象.

在數(shù)學(xué)概念的形成過程中，數(shù)學(xué)抽象發(fā)揮了重要的作用. 而數(shù)學(xué)抽象需要依托“情境”，因此在教學(xué)中應(yīng)注重情境的創(chuàng)設(shè).

2. 教學(xué)目標(biāo)的階段性

教材特別注重對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在函數(shù)主線中，對每個核心素養(yǎng)都有滲透. 以“數(shù)學(xué)抽象”為例，整個函數(shù)主題有諸多發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)容，如“函數(shù)的概念”是“獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的抽象”;“函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性”是“提出數(shù)學(xué)命題和模型的抽象”;“用函數(shù)觀點(diǎn)求方程、不等式”是“形成數(shù)學(xué)方法與思想的抽象”.

《標(biāo)準(zhǔn)》中對每個核心素養(yǎng)都有三個水平的劃分，這是教學(xué)目標(biāo)設(shè)定的依據(jù)，如之前提到的與數(shù)學(xué)抽象相關(guān)的知識點(diǎn)，具體的水平等級劃分如表2所示.

從表2中可以發(fā)現(xiàn)，同一素養(yǎng)在不同教學(xué)內(nèi)容中的目標(biāo)是不一樣的. 因此，在確定教學(xué)目標(biāo)時，教師要分析數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在主線中的總體要求、階段要求和具體課時內(nèi)容的要求，在課程目標(biāo)體系下整體把握數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3. 研究過程的連貫性

每一章內(nèi)容都有特定的研究對象. 在教材的不同章節(jié)中，研究對象、研究內(nèi)容和具體方法都會發(fā)生變化，但整體框架和研究路徑基本相同，并以此作為教材每章“謀篇布局”的指導(dǎo)思想. 研究路徑的統(tǒng)一不僅可以使教材體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，而且能使學(xué)生通過一個個具體對象的學(xué)習(xí)，逐步明確研究一個數(shù)學(xué)對象的基本框架和路徑，這對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有至關(guān)重要的作用.

函數(shù)單元中的每個知識內(nèi)容基本都可以按照“事實(shí)—概念—圖象—特征—性質(zhì)—應(yīng)用”的路徑進(jìn)行研究. 例如，教材第4章“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”中三類函數(shù)的研究過程具有很強(qiáng)的一致性.

（1）三類函數(shù)概念的抽象過程中都提到由冪指數(shù)運(yùn)算為起點(diǎn)的研究方向，這是“事實(shí)—概念”的過程.

（2）三類函數(shù)的研究順序都是先圖象后性質(zhì)，在函數(shù)圖象的研究中，例題的設(shè)置呈現(xiàn)一致性，每一節(jié)的例2都是作兩個圖象，目的是將所研究的兩個函數(shù)圖象置于同一坐標(biāo)系，便于比較，進(jìn)而形成對圖象進(jìn)行分類的思想. 這是“圖象—特征”的過程.

（3）從觀察圖象發(fā)現(xiàn)圖象特征，到代數(shù)方法加以論證說理. 這是“特征—性質(zhì)”的過程.

（4）每一節(jié)的例4都是關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，用函數(shù)觀點(diǎn)來比較兩個數(shù)的大小. 這是“性質(zhì)—應(yīng)用”的過程.

舊教材對這些內(nèi)容的呈現(xiàn)方式是不同的. 例如，冪函數(shù)是先研究性質(zhì)再刻畫圖象，指數(shù)函數(shù)是先研究圖象再歸納性質(zhì)，最后利用反函數(shù)研究對數(shù)函數(shù). 由于研究路徑的差異較大，學(xué)生無法明確何時從圖象入手，何時從性質(zhì)入手. 而教材在這些問題的處理上統(tǒng)一了研究的路徑，并且讓學(xué)生可以不斷經(jīng)歷這一過程，繼而形成研究函數(shù)的基本套路（從圖象到性質(zhì)），為后一章一般函數(shù)概念的進(jìn)一步抽象和函數(shù)性質(zhì)的研究奠定了基礎(chǔ).

這三個函數(shù)是并列的，自然有比較一致的研究路徑，對于函數(shù)板塊中的其他內(nèi)容其實(shí)也有一樣的研究路徑. 例如，從函數(shù)的單調(diào)性角度來分析：教材先給出了很多實(shí)例，用自然語言描述了單調(diào)現(xiàn)象，接著回顧了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中嚴(yán)格增函數(shù)或嚴(yán)格減函數(shù)的概念，然后從這兩個函數(shù)單調(diào)性的證明過程中發(fā)現(xiàn)了形式上的共同特征，最后抽象出了一般單調(diào)性的定義. 其中也體現(xiàn)了“事實(shí)—圖象—（形式）特征—性質(zhì)—應(yīng)用”的過程.

4. 思想方法的一致性

函數(shù)主線中蘊(yùn)涵的思想包括幾何思想、運(yùn)算思想、極限思想.

（1）幾何思想.

利用圖象研究函數(shù)是義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)函數(shù)的路徑，函數(shù)的圖象具有直觀性，可以反映該函數(shù)所有的基本性質(zhì)，有助于學(xué)生理解函數(shù)的抽象概念和反映的規(guī)律特征. 圖象是整合方程、不等式的重要工具. 除了函數(shù)圖象，還有一些幾何載體，如單位圓對理解三角函數(shù)的變化規(guī)律有非常重要的作用. 因此，把幾何思想融入函數(shù)主線的學(xué)習(xí)中，是直觀想象素養(yǎng)的體現(xiàn).

（2）運(yùn)算思想.

運(yùn)算是研究代數(shù)的基本手段，也是研究函數(shù)的重要方法. 函數(shù)本身就是一種動態(tài)化的運(yùn)算，如果說幾何具有直觀性，那么運(yùn)算就具有嚴(yán)謹(jǐn)性. 高中數(shù)學(xué)更強(qiáng)調(diào)運(yùn)算和推理，需要對直觀的圖形進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)表述. 例如，對于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的研究就基于冪、指數(shù)、對數(shù)、三角的運(yùn)算;數(shù)列的學(xué)習(xí)也離不開運(yùn)算，通項(xiàng)公式、遞推公式、前[n]項(xiàng)和都是靠運(yùn)算來維系的，可以說函數(shù)主線的學(xué)習(xí)是對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考驗(yàn).

（3）極限思想.

在高中數(shù)學(xué)課程中加入微積分的內(nèi)容，是一大突破，“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”幫助學(xué)生進(jìn)一步精確認(rèn)識“變化”，從單調(diào)性到導(dǎo)數(shù)，是從定性到定量描述變化的過程，這個過程體現(xiàn)了極限思想，是直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).

5. 數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用性

《標(biāo)準(zhǔn)》對函數(shù)主線各章都給出了具體目標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)每章都有數(shù)學(xué)建模的要求，具體如表3所示.

從表3中可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)主線與數(shù)學(xué)建模有著密切的聯(lián)系，它是提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的基本載體. 函數(shù)是在運(yùn)動變化狀態(tài)下研究兩個變量間變化規(guī)律的最佳模型，因此在教學(xué)中要特別關(guān)注這方面內(nèi)容.

三、結(jié)束語

本文綜合分析了“函數(shù)”主線，旨在從整體上把握這條主線的結(jié)構(gòu)、主線下各主題之間的關(guān)系，以及與其他主線的關(guān)聯(lián). 這種聯(lián)系性體現(xiàn)了教材知識的結(jié)構(gòu)化，在函數(shù)主線內(nèi)部的關(guān)聯(lián)中又體現(xiàn)了研究方法的結(jié)構(gòu)化. 仔細(xì)研讀教材，挖掘函數(shù)中每個單元的核心概念、理清知識脈絡(luò)，才能為學(xué)生構(gòu)建起良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 由于函數(shù)主線中的每個內(nèi)容都是滲透核心素養(yǎng)的載體，而教材又很注重“研究過程的體驗(yàn)”和“研究方法的感悟”，為了落實(shí)“四基”“四能”，同樣需要關(guān)注教學(xué)結(jié)構(gòu)化. 把具有相似性的研究內(nèi)容整合在一起，發(fā)現(xiàn)研究的規(guī)律特點(diǎn)，形成研究的基本路徑. 繼而從不同類的研究對象中提煉相同的思想方法，比較共性與差異.

著眼單元教學(xué)，摒棄知識碎片，培養(yǎng)具有聯(lián)系性、一致性的整體化思想. 希望能在結(jié)構(gòu)化的視角下，不斷體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想、感悟數(shù)學(xué)方法，將“立德樹人”擺在首位，切實(shí)貫徹、落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的理念.

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