“平面向量數(shù)量積的最值問題”微專題研究

韓瑋

摘? 要：從高考試題入手，探求“平面向量數(shù)量積”的不同解法，引導(dǎo)學(xué)生回顧、完善平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)，建構(gòu)解題方法，從感知、領(lǐng)會(huì)逐漸發(fā)展到應(yīng)用、分析，有意識(shí)地將原有知識(shí)遷移到新的情境中做出決策并解決問題.

關(guān)鍵詞：知識(shí)遷移;感悟;高階知能

一、引言

數(shù)學(xué)課堂中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行歸納、整理，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，更重要的是指導(dǎo)學(xué)生將已有知識(shí)與技能進(jìn)行遷移訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通、舉一反三、統(tǒng)籌運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 以“平面向量數(shù)量積的最值問題”微專題單元學(xué)習(xí)為例，筆者談?wù)剶?shù)學(xué)課堂中引導(dǎo)學(xué)生思維不斷走向深入的一些教學(xué)啟示.

二、示例研究

1. 試題入手，探求解法

題目1 （2020年北京卷·13）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足[AP=12AB+AC，] 則[PD]的值為? ? ? ? ;[PB ? PD]的值為? ? ? ?.

解析：第一空解答的關(guān)鍵是根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，畫出示意圖，易知點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，故[PD=5.]

第二空方法1：利用向量的數(shù)量積公式[PB ? PD=][PBPDcosPB， PD]直接計(jì)算即可. [∠BPD]的余弦值可以借助[Rt△PCD]求得，也可以連接BD，利用余弦定理求解.

第二空方法2：利用向量射影的概念，可知在公式[PB ? PD=PBPDcosPB， PD]中，[PDcosPB， PD]表示[PD]在[PB]方向上的射影，如圖1所示，顯然[PD]在[PB]方向上的射影是[-PC=-1，] 故[PB ? PD=-1.]

第二空方法3：如圖2，以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，易知點(diǎn)B的坐標(biāo)為[2，0，] 點(diǎn)P的坐標(biāo)為[2，1，] 點(diǎn)D的坐標(biāo)為[0，2，] 所以[PB=0，-1， PD=-2，1.] 由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，得[PB ? PD=-1.]

第二空方法4：利用平面向量基本定理：選取不共線向量[AB， AD]為一組基底，則[PB=-12AD， PD=][12AD-AB.] 所以[PB ? PD=-12AD12AD-AB=-14AD2+][0=-1.]

由上述高考試題探求了求解平面向量數(shù)量積的四種不同方法：數(shù)量積公式、平面向量射影定義、建系轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算、平面向量基本定理. 這四種方法涉及平面向量的基本內(nèi)容，也是平面向量的核心知識(shí). 教學(xué)中，要對(duì)應(yīng)不同方法引導(dǎo)學(xué)生回顧、完善平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)，建構(gòu)解題方法，從感知、領(lǐng)會(huì)逐漸發(fā)展到應(yīng)用、分析，有意識(shí)地將原有知識(shí)遷移到新的情境中，做出決策并解決問題.

2. 優(yōu)化解法，深化認(rèn)知

（1）平面向量的基礎(chǔ)知識(shí).

基本概念：向量;向量的三種運(yùn)算——加減、數(shù)乘、數(shù)量積;向量的兩種表示方法——幾何、代數(shù).

深度認(rèn)知：平面向量射影定義在解題中的靈活運(yùn)用.

變式1：已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，求[PB ? PD]的最大值.

解析：如圖3，利用平面向量射影概念，結(jié)合點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，易知[PB ? PD]的最大值為0.

變式2：已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)Q是正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)，求[AP ? AQ]的最大值.

解析：如圖4，利用平面向量射影概念，結(jié)合點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)，易知當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，[AQ]在[AP]方向上的射影最長(zhǎng)為[AM=655，] 故[AP ? AQ]的最大值為6.

真題演練：（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷·7）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則[AP ? AB]的取值范圍是（? ? ）.

（A）[-2，6] （B）[-6，2]

（C）[-2，4] （D）[-4，6]

解析：如圖5，利用平面向量射影概念，根據(jù)題意：[AB]固定，結(jié)合點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，易知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，[AP]在[AB]方向上的射影最長(zhǎng)，為[AC=3;] 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，[AP]在[AB]方向上的射影最短，為[-AF=-1.] 故[AP ? AB]的取值范圍是[-2，6.]

從學(xué)情考慮，數(shù)量積公式的直接使用和建系轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)生易于接受和掌握，也是學(xué)生解答此類問題的首選方法，其中的難點(diǎn)是兩個(gè)向量夾角的計(jì)算，以及恰當(dāng)建系和在坐標(biāo)系中正確書寫點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)確進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算. 突破難點(diǎn)的方法則是提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng). 而平面向量的射影定義和平面向量基本定理這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在解題中的靈活運(yùn)用恰恰是學(xué)生所欠缺的，因此這兩個(gè)內(nèi)容值得花費(fèi)時(shí)間和精力引導(dǎo)學(xué)生的思維走向深入，力求在問題解決的過程中引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過程，通過變式訓(xùn)練和高考試題演練，幫助學(xué)生進(jìn)一步感悟、提煉、歸納和鞏固，從而促使學(xué)生有意識(shí)地從知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，多思少算，提升數(shù)學(xué)思維，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的.

（2）平面向量基本定理的運(yùn)用.

基本概念：[e1，e2]是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量[a，] 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)[λ1，λ2，] 使[a=λ1e1+λ2e2，] 其中[e1，e2]是一組基底.

深度認(rèn)知：平面向量基本定理在解題中的靈活運(yùn)用.

題目2? 在平行四邊形[ABCD]中，[∠DAB=π3，AB=2，] [AD=1，] 若[M，N]分別是邊[BC，CD]上的點(diǎn)，且滿足[BMBC=CNCD，] 則[AM ? AN]的最大值為（? ? ）.

（A）2? ? ?（B）4? ? ?（C）5? ? ?（D）6

解析：如圖6，利用平面向量基本定理選取不共線向量[AB]和[AD]為一組基底.

設(shè)[BMBC=CNCD=λ，0≤λ≤1，]

則[AM=AB+BM=AB+λ?BC=AB+λ?AD， AN=AD+]

[DN=AD+1-λDC=1-λAB+AD.]

所以[AM ? AN=AB+λAD1-λAB+AD=1-λ ?][AB2+1+λ-λ2AB ? AD+λAD2=1-λ×22+1+λ-λ2×][2×1×cosπ3+λ×12=-λ2-2λ+5=-λ+12+6.]

所以當(dāng)[λ=0]時(shí)，[AM ? AN]取得最大值5.

真題演練：（2018年天津卷·理8）如圖7，在平面四邊形[ABCD]中，[AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=][AD=1.] 若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則[AE ? BE]的最小值為（? ? ）.

（A）[2116] （B）[32]

（C）[2516] （D）3

解析：如圖8，根據(jù)題意，結(jié)合此題所涉及平面圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)O，易知[△CBO]為直角三角形，[∠BOC=30°，OA=2，OD=3.]

連接BD，由已知條件，在[△BAD]中利用余弦定理易求出[BD=3.]

由[AB=AD，∠BAD=120°，] 得

[∠ADB=∠ABD=30°.]

所以[∠BDC=60°.]

而由已知易知[∠DCB=60°，]

所以[△BDC]是正三角形.

所以[DC=BC=DB=3.]

所以[CO=23.]

由平面向量基本定理，選取不共線向量[OA]和[OC]為一組基底，

設(shè)[OE=λOC， 12≤λ≤1，]

則[AE=AO+OE=AO+λOC=-OA+λOC， BE=]

[BO+OE=-32OA+λOC.]

所以[AE ? BE=-OA+λOC-32OA+λOC=32OA2-][52λ?OA ? OC+λ2OC2=12λ2-52λOAOCcosOA， OC+]

[6=12λ2-15λ+6=12λ-582+2116.]

所以當(dāng)[λ=58]時(shí)，[AE ? BE]取得最小值[2116].

這兩道題目通過恰當(dāng)建系將向量問題代數(shù)化，均可獲解. 上述利用平面向量基本定理解答的方法則是在學(xué)生深刻理解題意，明確平面圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，選取一組基底，同時(shí)用基底表示待求問題中的兩個(gè)向量，再利用平面向量的數(shù)量積計(jì)算公式將求向量數(shù)量積的最值問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，這顯然進(jìn)入了求解最值問題的常見思路，這正是深度學(xué)習(xí)所要達(dá)到的目的——學(xué)會(huì)遷移，即在遇到新問題時(shí)能夠運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和技能加以解決. 遷移不僅是學(xué)習(xí)結(jié)果在變化了的條件下的運(yùn)用，更是完成新的學(xué)習(xí)任務(wù)的基本條件. 學(xué)生掌握的知識(shí)與技能、已獲得的經(jīng)驗(yàn)，通過廣泛的遷移，不斷被歸納、強(qiáng)化和運(yùn)用，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解決問題的能力，因此在教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)，識(shí)別不同表象下知識(shí)、技能、方法間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和問題本質(zhì)，才能發(fā)展學(xué)生觸類旁通、舉一反三、運(yùn)籌帷幄地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

3. 拓展提升

題目3? 如圖9，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦（球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，[PM ? PN]的取值范圍是? ? ? ?.

解法1：根據(jù)題意，MN是正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)切球的最長(zhǎng)弦，故MN應(yīng)該是內(nèi)切球的直徑，則MN = 2.

設(shè)M，N分別是內(nèi)切球在正方體左、右側(cè)面的切點(diǎn). 如圖10，當(dāng)點(diǎn)P在正方體的表面運(yùn)動(dòng)，且與正方體的某個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，[PM ? PN]達(dá)到最大值.

以點(diǎn)P與點(diǎn)[C1]重合為例，此時(shí)[PM ? PN=C1M ?][C1N=C1MC1NcosC1M， C1N. C1McosC1M， C1N]是[C1M]在[C1N]方向上的射影.

如圖10，顯然[C1M]在[C1N]方向上的射影的最大值是[C1N=222=2.] 此時(shí)[PM ? PN=C1N2=2.]

而當(dāng)點(diǎn)P與正方體的某個(gè)面的中心重合時(shí)，[C1M]在[C1N]方向上的射影的最小值是0，所以[PM ? PN]的取值范圍是[0，2.]

解法2：已知正方體的棱長(zhǎng)為2，由題意知正方體內(nèi)切球的半徑為1，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為[23.] 當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)時(shí)，MN應(yīng)為內(nèi)切球的直徑.

如圖11，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，不妨選取不共線向量[OP， ON]為一組基底，

可得[PM=PO+OM=-OP-ON， PN=PO+ON=][-OP+ON.]

所以[PM ? PN=-OP-ON-OP+ON=OP2-ON2=][OP2-1.]

因?yàn)辄c(diǎn)P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，

故[OP∈1， 3，]

所以[PM ? PN]的取值范圍是[0，2.]

題目3將向量問題拓展到了空間，看似復(fù)雜，實(shí)則說明在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生深入理解題意，并能從立體圖形中提取與待求量相關(guān)的最基本的平面圖形，最終追根溯源對(duì)基本圖形進(jìn)行深入分析，逐步建構(gòu)待求量與已知知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，將所學(xué)知識(shí)遷移到待解決問題的思維結(jié)構(gòu)中，并在獨(dú)立思考和試誤中產(chǎn)生頓悟，最終利用平面向量的射影定義或找到一組恰當(dāng)?shù)幕?，借助平面向量基本定理獲解.

學(xué)之道在于“悟”. 對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解需要有長(zhǎng)時(shí)間悟的過程，而這一過程恰恰是學(xué)生自我思考、自我試誤、自我反思、自我總結(jié)的過程. 不同的思維切入點(diǎn)，往往能夠獲得不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和感悟，正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”. 這就要求學(xué)生在“悟”中不斷提升高階知能的生成，通過有啟發(fā)性的學(xué)習(xí)和活動(dòng)促使學(xué)生深度參與思考，恰切采用高層次學(xué)習(xí)方略，達(dá)到遷移應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)高階知能在全新情境中的應(yīng)用的有意義學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1]何玲，黎加厚. 促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J]. 現(xiàn)代教學(xué)，2005（5）：29-30.

2196501705379