在不斷探究的過(guò)程中促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

劉再平 許德剛 陳思睿

摘? 要：通過(guò)對(duì)2019年全國(guó)Ⅱ卷理科壓軸題的通法探究、簡(jiǎn)解探究、特殊化探源、一般化推廣、類(lèi)比拓展，突出了在不斷探究的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的心路歷程，并且提出了一些促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：壓軸題;探究;深度學(xué)習(xí);教學(xué)建議

深度學(xué)習(xí)是相對(duì)于記憶學(xué)習(xí)和非批判性機(jī)械學(xué)習(xí)提出的一個(gè)概念，其基本含義為學(xué)習(xí)是一個(gè)理解的過(guò)程，要實(shí)現(xiàn)對(duì)日常經(jīng)驗(yàn)與直觀感知的必要超越. 數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是根據(jù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解，以解決具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科高階思維為目標(biāo)的學(xué)習(xí). 深度學(xué)習(xí)主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系與基本技能的靈活應(yīng)變能力;發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決具有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的問(wèn)題解決能力;在交流與合作中，觸發(fā)思考，學(xué)會(huì)反思與優(yōu)化的能力;學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的能力. 深度學(xué)習(xí)的發(fā)生有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成.

數(shù)學(xué)教育的改革對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出了更高要求，即不僅要重視具體知識(shí)與基本技能，更要深入數(shù)學(xué)思維層面，激發(fā)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升，促進(jìn)學(xué)生真正深度學(xué)習(xí)，這既是培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提，也是數(shù)學(xué)教育的內(nèi)在要求. 那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何才能提升學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)呢？這個(gè)問(wèn)題是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的熱門(mén)問(wèn)題. 筆者認(rèn)為，應(yīng)積極開(kāi)展探究活動(dòng)，淡化急于提高成績(jī)而采取的機(jī)械式題海教學(xué)或教師講、學(xué)生聽(tīng)的“滿堂灌”式教學(xué)，樹(shù)立數(shù)學(xué)教育是一個(gè)慢慢等待花開(kāi)過(guò)程的意識(shí)，對(duì)于貼切學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)及合乎情理的推測(cè)與演練，不包辦，及時(shí)組織探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維，讓數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化成“火熱的思考”，在這種探究與思考中促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

下面以2019年全國(guó)Ⅱ卷理科第21題為例，通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，可以在通性、通法的基礎(chǔ)上獲得巧妙解法，也可以由探源、拓展與類(lèi)比探究，得到一些更具一般性、更深刻的結(jié)論.

一、試題呈現(xiàn)

題目? 已知點(diǎn)[A-2，0，B2，0，] 動(dòng)點(diǎn)[Mx，y]滿足直線AM與BM的斜率之積為[-12.] 記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線.

（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥Ox，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

① 證明：[△PQG]是直角三角形;

② 求[△PQG]面積的最大值.

此題表述簡(jiǎn)潔，問(wèn)題設(shè)置循序漸進(jìn)，有一定的梯度. 第（1）小題比較基礎(chǔ)，考查橢圓軌跡方程的求法，根據(jù)題意建立關(guān)于[x，y]的關(guān)系后，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)即可獲得點(diǎn)M的軌跡方程[C： x24+y22=1，] 只不過(guò)由兩點(diǎn)間的斜率公式，分母不能為0，即橢圓不含左、右頂點(diǎn)，則[x≠±2;] 第（2）小題需要先推導(dǎo)證明[△PQG]是直角三角形，然后表示出[△PQG]的面積，最后再求[△PQG]面積的最大值. 顯然，第（2）小題是此道壓軸題真正的壓軸點(diǎn)，特別是第①小問(wèn)直角三角形的推導(dǎo)，確定了直角邊后，第②小問(wèn)三角形的面積計(jì)算就有了方向.

二、通法探究，為深度學(xué)習(xí)做好鋪墊

關(guān)于通性、通法，著名數(shù)學(xué)家張景中教授提出了解題“中巧說(shuō)”，即大巧法無(wú)定法，要靠個(gè)人領(lǐng)悟，難以言傳，小巧一題一法. 對(duì)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，則希望用一種方法解決一類(lèi)題目，循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)有章可循的解題通法. 注重通性、通法，不僅可以達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的目的，而且可以為數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)做好鋪墊，因?yàn)樯疃葘W(xué)習(xí)也需要以堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)為前提.

然而，通性、通法不能未經(jīng)學(xué)生思考而直接拋給他們，可以先提出一些引導(dǎo)性問(wèn)題.

問(wèn)題1：試根據(jù)題意畫(huà)出符合要求的圖形（如圖1），你能觀察、猜測(cè)出[△PQG]的哪個(gè)內(nèi)角是直角嗎？

問(wèn)題2：解析幾何的核心是建立坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的結(jié)合和轉(zhuǎn)化. 那么，結(jié)合題意如何證明你的猜測(cè)？

問(wèn)題3：聯(lián)系之前積累的經(jīng)驗(yàn)，三角形面積有哪些表達(dá)方法？結(jié)合此題實(shí)際，應(yīng)該如何抉擇？求最值有哪些常用的方法？

問(wèn)題引領(lǐng)的目的是引導(dǎo)學(xué)生從解析幾何的視角出發(fā)，要證明兩直線垂直，即證兩直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)或兩直線所在的方向向量的數(shù)量積為0，并且求最值可以從函數(shù)、均值不等式和三角三個(gè)常見(jiàn)的視角出發(fā)，梳理如圖2、圖3所示的解題活動(dòng)思維導(dǎo)圖，從而獲得下列通法.

對(duì)于此題第（2）小題的第①問(wèn)，主要存在以下兩種證法.

證法1：設(shè)直線PQ的斜率為[k，] 則直線PQ的方程為[y=kx k>0.]

與橢圓方程聯(lián)立，得[y=kx，x24+y22=1.]

解得[x=±21+2k2，]

即[P21+2k2， 2k1+2k2，Q-21+2k2，-2k1+2k2，][E21+2k2，0.]

則直線[QG]的斜率為[k2，] 方程為[y=k2x-21+2k2.]

將其與橢圓方程聯(lián)立，得[y=k2x-21+2k2，x24+y22=1.]

消元，得[2+k2x2-4k21+2k2x+4k21+2k2-8=0.]

由根與系數(shù)關(guān)系，得

[xG+xQ=4k22+k21+2k2.]

則[xG=4k22+k21+2k2+21+2k2=6k2+42+k21+2k2.]

由此，得[yG=2k32+k21+2k2.]

則[G6k2+42+k21+2k2， 2k32+k21+2k2.]

所以[kPG=2k32+k21+2k2-2k1+2k26k2+42+k21+2k2-21+2k2=-1k.]

則[kPQkPG=-1.]

或以向量視角證明：[PQ=-41+2k2，-4k1+2k2，][PG=4k22+k21+2k2，-4k2+k21+2k2，]

則[PQ · PG=0.]

所以[PQ⊥PG.]

所以[△PQG]是直角三角形.

證法2：設(shè)[Px1，y1，Gx2，y2，]

則[Ex1，0，Q-x1，-y1.]

則[EG=x2-x1，y2， QE=2x1，y1.]

因?yàn)镼，E，G三點(diǎn)共線，

所以不妨設(shè)[EG=λQE.]

即[x2-x1=2λx1，y2=λy1.]

所以[x2=2λ+1x1，y2=λy1.]

所以[G2λ+1x1，λy1.]

將點(diǎn)P，G的坐標(biāo)代入橢圓方程，得

[x124+y122=1，2λ+12x124+λ2y122=1.]

兩式相減，得[λ=y122x12+y12.]

所以[x2=2x13+3x1y122x12+y12，y2=y132x12+y12，]

即[G2x13+3x1y122x12+y12， y132x12+y12.]

所以[kPQkPG=2y12x1 · y1-y132x12+y12x1-2x13+3x1y122x12+y12=y1x1-x1y1=-1.]

或以向量視角證明：[PQ=-2x1，-2y1， PG=][2x1y122x12+y12， -2x12y12x12+y12，]

則[PQ · PG=-4x12y122x12+y12+4x12y122x12+y12=0.]

所以[PQ⊥PG.]

所以[△PQG]是直角三角形.

對(duì)于此題第（2）小題的第②問(wèn)，主要有以下三種解法.

解法1：導(dǎo)數(shù)視角求最值.

由（1）知，[P21+2k2， 2k1+2k2，Q-21+2k2，-2k1+2k2，] [G6k2+42+k21+2k2， 2k32+k21+2k2，]

則[PQ=41+k21+2k2， PG=4k2+k2k2+11+2k2.]

所以[S△PGQ=12PQPG=81k+k1+21k+k2.]

不妨設(shè)[1k+k=t≥2，] 當(dāng)且僅當(dāng)[k=1]時(shí)取等號(hào)，

即[S△PGQ=8t1+2t2，t≥2.]

構(gòu)造函數(shù)[ft=8t1+2t2，t≥2，]

求導(dǎo)，得[ft=81-2t21+2t22.]

當(dāng)[t≥2]時(shí)，[ft<0，]

即[ft]為[2，+∞]上的減函數(shù).

所以當(dāng)[t=2]時(shí)，[ftmax=f2=169.]

所以△PQG面積的最大值為[169.]

解法2：對(duì)勾函數(shù)視角求最值.

由上述解法1，知[S△PGQ=8t1+2t2=81t+2t，t≥2.]

構(gòu)造函數(shù)[ft=1t+2t，t≥2.] 要求△PQG面積的最大值，即求函數(shù)[ft]在[2，+∞]上的最小值.

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，知[ft]為[2，+∞]上的增函數(shù)，即[ftmin=f2=92.]

所以△PQG面積的最大值為[169].

解法3：三角視角求最值.

點(diǎn)P，G在橢圓[x24+y22=1]上，不妨設(shè)點(diǎn)P，G的坐標(biāo)分別為[P2cosα， 2sinα，G2cosβ， 2sinβ，0<β<α<π2，]

即[OP=2cosα， 2sinα， OG=2cosβ， 2sinβ.]

所以[S△PGQ=2S△POG=42tanα-β2+1tanα-β2.]

因?yàn)閇kPG=-22tanα+β2，kPQ=kOP=22tanα，]

所以[kPGkPQ=-22tanα+β2×22tanα=-1，]

即[tanα+β2=tanα2.]

因?yàn)閇tanα-β2=tanα-α+β2=1tanα+2tanα≤122=24，]

當(dāng)且僅當(dāng)[tanα=2tanα，] 即[tanα=2]時(shí)取等號(hào).

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，可知[tanα-β2+1tanα-β2]當(dāng)[tanα-β2]取得最大值，即[tanα-β2=24]時(shí)，取得最小值.

所以[S△PGQ=42tanα-β2+1tanα-β2≤4224+124=169.]

故△PQG面積的最大值為[169].

上述解答過(guò)程雖然計(jì)算有些煩瑣，但最貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生容易想到，所以不失為解決此題的通法. 通法雖有計(jì)算難度，但是教師要激勵(lì)學(xué)生不怕困難、無(wú)所畏懼，更不要逃避，萬(wàn)事開(kāi)頭難，這是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的開(kāi)始，也是培養(yǎng)頑強(qiáng)數(shù)學(xué)精神的好機(jī)會(huì)！當(dāng)然，有的學(xué)生嘗試從均值不等式的視角求最值，如[S△PGQ=8k1+k21+2k22+k2≤8k1+k21+2k2+2+k222=329 ·]

[k1+k2=329 · 1k+1k≤169，] 當(dāng)且僅當(dāng)[k=1]時(shí)取等號(hào)，然而此解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)榈谝淮畏趴s變形時(shí)不等號(hào)方向反了，答案正確只是巧合. 這樣的錯(cuò)解極具迷惑性，雖然不正確，但是能夠加深學(xué)生對(duì)均值不等式的理解，要鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)思考.

三、簡(jiǎn)解探究，為深度學(xué)習(xí)架起橋梁

法國(guó)教育理論家、美學(xué)家狄羅德說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)中所謂美的問(wèn)題是指一個(gè)難以解決的問(wèn)題，所謂美的解答則是指一個(gè)困難、復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單回答. 這反映了簡(jiǎn)單性是數(shù)學(xué)方法美的重要標(biāo)志. 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)善于引領(lǐng)學(xué)生探究簡(jiǎn)解，比較、優(yōu)化解題方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的簡(jiǎn)約性，為數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)架起橋梁.

解析幾何綜合試題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，主要難在該類(lèi)問(wèn)題的分析、解決過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算煩瑣，容易出錯(cuò). 然而，幾何視角下解析幾何所研究的對(duì)象畢竟是“幾何圖形”，要避免煩瑣的代數(shù)運(yùn)算就不能忽視對(duì)這些“幾何要素”的分析，它既能從直觀上打開(kāi)探究視野，優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程，突出解題思維的簡(jiǎn)約性，更能揭示問(wèn)題的幾何背景，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí). 因此，緊接著向?qū)W生提出以下問(wèn)題.

問(wèn)題4：第（2）小題第①問(wèn)的證法2將P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程后，還能聯(lián)系到其他已經(jīng)學(xué)過(guò)的較簡(jiǎn)潔的代數(shù)方法嗎？

問(wèn)題5：在學(xué)習(xí)坐標(biāo)系中的伸縮變換時(shí)，我們知道橢圓與圓可以通過(guò)仿射變換相互轉(zhuǎn)化，所以在橢圓轉(zhuǎn)化為圓后，可以通過(guò)圓的平面幾何性質(zhì)來(lái)探究橢圓的性質(zhì)，你能順著這樣的幾何視角解決此題嗎？

教師的提問(wèn)使學(xué)生有了基本的探究方向，經(jīng)過(guò)一番合作探究，在教師的適時(shí)引導(dǎo)下，可獲得第（1）小題的如下兩種證法.

證法3：設(shè)[Px1，y1，Gx2，y2，]

則[Ex1，0，Q-x1，-y1.]

將P，G兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得[x124+y122=1，x224+y222=1.]

兩式相減，得[y2-y1x2-x1=-x2+x12y2+y1.]

要證[kPQkPG=y1x1 · y2-y1x2-x1=-1，]

即證[y1x1=2y2+y1x2+x1.]

由題意可知，Q，E，G三點(diǎn)共線，

即[kQE=kQG.]

所以[y1x1=2y2+y1x2+x1.]

則[PQ⊥PG.]

所以[△PQG]是直角三角形.

證法4：將橢圓[x24+y22=1]經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)變換[x=x2，y=][y2]后，變?yōu)槠矫鎯?nèi)的單位圓[C：x2+y2=1.]

如圖4，延長(zhǎng)PG與[x]軸交于點(diǎn)F，

則在Rt△POE與Rt△PEF中，[kPQkPG=PEOE-PEEF=][-PE2OE · EF.]

直線QG截△POF，由梅氏定理，得

[OEEF · FGGP · PQQO=2OE · FGEF · GP=1，]

即[OE · FGEF · GP=12.]

在Rt△PEF中，由射影定理，得

[PE2EF2=PG · PFFG · PF=PGFG.]

所以[OE · FGEF · GP=OEEF · EF2PE2=12，]

即[OE · EFPE2=12.]

則[kPQkPG=-PE2OE · EF=-2.]

再仿射變換回去，即得[kPQkPG=-1.]

則[PQ⊥PG.]

所以[△PQG]是直角三角形.

對(duì)于第（2）小題第②問(wèn)，也產(chǎn)生了如下新的解法.

解法4：如圖5，連接OG，過(guò)點(diǎn)O作[OH⊥PF，] 垂足為點(diǎn)H.

不妨設(shè)[∠POF=α，∠GOF=β，0<β<α<π2，]

則[∠POH=α-β2.]

由解法3，知[tanα-β2=][1tanα+2tanα.]

所以[tan∠QPG=tanπ2-∠POH=1tan∠POH=tanα+]

[2tanα≥22.] 當(dāng)且僅當(dāng)[tanα=2tanα，] 即[tanα=2]時(shí)取等號(hào).

所以當(dāng)[tan∠QPG=22]時(shí)，[S△PGQ]取得最大值[429.]

再仿射變換回去，即得橢圓中△PQG面積的最大值為[169].

上述解法無(wú)疑減少了運(yùn)算量，縮短了解題時(shí)間與書(shū)寫(xiě)長(zhǎng)度，但是思維含量增加了，對(duì)學(xué)生的知識(shí)廣度和對(duì)題目本質(zhì)的理解提出了更高要求. 簡(jiǎn)解不是每位學(xué)生都能給出來(lái)的，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解法優(yōu)化教學(xué)時(shí)，一定要根據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)先做好知識(shí)與技能的拓展鋪設(shè)，不要急于讓每位學(xué)生都能立即形成深刻的理解，要給予學(xué)生同化的時(shí)間. 簡(jiǎn)解探究教學(xué)不一定適合每位學(xué)生，存在著一定的前提條件，但它可以開(kāi)拓學(xué)生的眼界、激發(fā)學(xué)生的探究熱情、培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，為后續(xù)深度學(xué)習(xí)架起橋梁.

四、拓展探究，將深度學(xué)習(xí)推向更深處

羅增儒教授說(shuō)過(guò)，問(wèn)題一旦獲解，就立刻產(chǎn)生感情上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯(cuò)過(guò)了提高的機(jī)會(huì)，無(wú)異于“入寶山而空返”. 受此啟發(fā)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要習(xí)慣性地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題展開(kāi)拓展探究，以提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性，發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能，將數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)推向更深處.

然而，拓展探究對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)并非易事，章建躍先生提出的如圖6所示的思維探究“基本套路”值得借鑒.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于抓住機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生按上述邏輯開(kāi)展探究活動(dòng)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的熏陶、積累，學(xué)生會(huì)在潛移默化中養(yǎng)成深入思考、樂(lè)于探究的好習(xí)慣，如此不僅能培養(yǎng)學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維，更對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的發(fā)展大有裨益. 為此，趁熱打鐵繼續(xù)向?qū)W生提出以下問(wèn)題.

問(wèn)題6：以前見(jiàn)過(guò)同類(lèi)型的問(wèn)題嗎？它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？

問(wèn)題7：直線AM與BM的斜率之積變化時(shí)，點(diǎn)M的軌跡還是橢圓嗎？

問(wèn)題8：點(diǎn)P在橢圓上，已探究得[kPQkPG=-1]，然而點(diǎn)G也在橢圓上，直線PG與直線QG的斜率有關(guān)系嗎？若有，試探究、猜想，并證明你的結(jié)論.

問(wèn)題9：已知當(dāng)[a=2，b=2]時(shí)有結(jié)論[kPQkPG=-1，] 那么[a，b]取符合題意[a>b>0]的任意實(shí)數(shù)時(shí)，此結(jié)論還成立嗎？若不成立，你能通過(guò)探究獲得更一般、更優(yōu)美、更深刻的結(jié)論嗎？

問(wèn)題10：通過(guò)類(lèi)比，在其他圓錐曲線中還存在類(lèi)似的結(jié)論嗎？

在教師的啟發(fā)與鼓勵(lì)下，學(xué)生的探究熱情高漲，經(jīng)過(guò)自主合作探究，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的本質(zhì)，獲得了一系列拓展命題，在挫折中收獲了另一份美麗.

1. 特殊化探源

題源1（1）如圖7，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為[-5，0，][5，0，] 直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為[-49，] 求點(diǎn)M的軌跡方程.

（2）如圖8，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為[-5，0，][5，0，] 直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為[49，] 求點(diǎn)M的軌跡方程，判斷軌跡的形狀，與（1）比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）已知△ABC中，A，B的坐標(biāo)分別為[-5，0，][5，0，] 直線AC，BC的斜率之積等于[m m≠0，] 試探求頂點(diǎn)C的軌跡.

題源1中的三道題目分別為人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)選修2—1》第41頁(yè)例3、第55頁(yè)探究問(wèn)題，以及第80頁(yè)A組第10題.

題源2 （2011年江蘇卷·理18）如圖9，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓[x24+y22=1]的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作[x]軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.

（1）略;（2）略;

（3）對(duì)任意k > 0，求證：PA⊥PB.

顯然，題源1是命制題目第（1）小題的基礎(chǔ)，題源2是命制題目第（2）小題的基礎(chǔ).

2. 一般化推廣

命題1：與平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)[A-a，0，Ba，0]的連線的斜率之積為定值[λ λ≠0]的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為[x2a2-y2λa2=1 x≠±a.]

（1）若[λ=-1，] 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為除A，B兩點(diǎn)的圓;

（2）若[λ<0]且[λ≠-1，] 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為除A，B兩點(diǎn)的橢圓;

（3）若[λ>0，] 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為除A，B兩點(diǎn)的雙曲線.

命題2：過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓[x2a2+y2b2=1 a>b>0]交于P，Q兩點(diǎn)，M是橢圓上異于P，Q的任意一點(diǎn)，若直線MP與MQ的斜率存在，且不為0，則[kMPkMQ=-b2a2.]

命題3：過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓[x2a2+y2b2=1 a>b>0]交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥Ox，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)G，若直線PQ與PG的斜率存在，且不為0，則[kPQkPG=-2b2a2.]

顯然，命題1是題目第（1）小題的一般結(jié)論，命題2和命題3是題目第（2）小題的拓展結(jié)論. 若將命題1的條件變?yōu)閇PAPB=λ λ>0，λ≠1，] 則點(diǎn)P的軌跡為阿波羅尼斯圓. 另外，命題2和命題3的逆命題也是成立的.

3. 類(lèi)比拓展

命題4：過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線[x2a2-y2b2=1 a>0，b>0]交于P，Q兩點(diǎn)，M是雙曲線上異于P，Q的任意一點(diǎn)，若直線MP與MQ的斜率存在，且不為0，則[kMPkMQ=b2a2.]

命題5：過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線[x2a2-y2b2=1 a>0，b>0]交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥Ox，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)G，若直線PQ與PG的斜率存在，且不為0，則[kPQkPG=2b2a2.]

顯然命題4和命題5是命題2和命題3將橢圓類(lèi)比到雙曲線中的拓展結(jié)論. 實(shí)際上，命題2和命題4是橢圓和雙曲線的第三定義，教材中雖然沒(méi)有具體闡述，但在很多問(wèn)題中有所涉及. 上述命題的證明請(qǐng)參考此文的解法探究部分，這里不再贅述.

五、教學(xué)啟示

1. 追問(wèn)是開(kāi)啟深度學(xué)習(xí)的鑰匙

從心理學(xué)角度來(lái)看，中學(xué)生正處于身心發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，其認(rèn)知結(jié)構(gòu)有待完善，認(rèn)知水平也有待提高，學(xué)生不能獨(dú)立自主完成數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí). 因此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的主體作用是有條件的，由此也就不可忽視教師的主導(dǎo)作用. 啟發(fā)式教學(xué)是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效方式，而好的追問(wèn)是啟發(fā)式教學(xué)的關(guān)鍵，所以追問(wèn)是開(kāi)啟深度學(xué)習(xí)的鑰匙. 在不斷追問(wèn)的過(guò)程中引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，形成認(rèn)知沖突，激發(fā)求知欲，使學(xué)生的心理傾向保持在適度狀態(tài). 那么，什么樣的追問(wèn)才能稱之為好的追問(wèn)呢？筆者認(rèn)為，在學(xué)生的心理和認(rèn)知能夠承受范圍內(nèi)，緊扣當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)的有意義問(wèn)題才可視為好的追問(wèn). 因此，本文在探究2019年全國(guó)Ⅱ卷理科第21題的整個(gè)過(guò)程中，并不是粗暴地給學(xué)生提供冰冷的答案，因?yàn)檫@樣會(huì)使得學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，缺失必要的思考過(guò)程，同時(shí)會(huì)使得探究過(guò)程流于形式，深度學(xué)習(xí)則無(wú)從談起，而是在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)緊扣該道圓錐曲線試題提出一系列追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生深入思考、探究與交流，引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

2. 探究讓深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生

要超越具體知識(shí)與基本技能，深入到數(shù)學(xué)思維層面，促進(jìn)學(xué)生真實(shí)地深度學(xué)習(xí)，就必須要在課堂上培養(yǎng)學(xué)生的高階思維. 那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維呢？筆者認(rèn)為，有效的探究是培養(yǎng)學(xué)生高階數(shù)學(xué)思維的動(dòng)力. 當(dāng)合理的追問(wèn)開(kāi)啟了探究之門(mén)后，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維會(huì)伴隨著探究活動(dòng)的展開(kāi)與深入逐漸動(dòng)態(tài)生成與發(fā)展，此時(shí)探究就扮演著“發(fā)動(dòng)機(jī)”的角色，為培養(yǎng)學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維提供持續(xù)的動(dòng)力，不斷促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生. 而本文在對(duì)2019年全國(guó)Ⅱ卷理科第21題展開(kāi)多層次的探究后，既得到了樸實(shí)的通解，又獲得了計(jì)算量稍小的簡(jiǎn)解，還挖掘了題源，并收獲了結(jié)構(gòu)優(yōu)美、意境深遠(yuǎn)的拓展結(jié)論. 學(xué)生在經(jīng)歷這種探究心路歷程后，不僅體驗(yàn)了探究的樂(lè)趣和數(shù)學(xué)的和諧美、統(tǒng)一美與簡(jiǎn)潔美，也鍛煉了數(shù)學(xué)意志品質(zhì)和理性思維，增強(qiáng)了自信心與成就感. 在這一過(guò)程中，也突出了數(shù)學(xué)在育人心智方面的重要功能，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)得以真實(shí)發(fā)生.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信.“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的理論與實(shí)踐[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（5）：24-32.

[2]羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

[3]章建躍. 注重“基本套路”才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2012（3）：封底.

[4]劉再平，羅新兵. 例談數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“三法”觀[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（上半月），2017（8）：14-16.

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