美英早期代數(shù)教科書中的等比數(shù)列知識

韓粟 汪曉勤

摘? 要：對1800—1959年間出版的118種美英代數(shù)教科書進(jìn)行研究，研究發(fā)現(xiàn)：在等比數(shù)列這個主題上，早期代數(shù)教科書共采用了3種引入方式、4種定義和8種求和公式推導(dǎo)方法. 這些方式或方法為如今的等比數(shù)列教學(xué)提供了豐富的素材和有益的思想養(yǎng)料.

關(guān)鍵詞：等比數(shù)列;引入方式;定義;求和公式

一、引言

從兩河流域神秘的楔形文字到恒河流域深奧的吠陀梵文，從埃及大陸《萊茵德紙草書》記載的財產(chǎn)之和到齊魯大地上惠子與墨子的尺棰取半之爭，等比數(shù)列的悠久歷史從古代四大文明中可見一斑. 隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，等比數(shù)列的概念不斷完善，知識不斷豐富，成為刻畫現(xiàn)實世界的一類函數(shù)模型.

等比數(shù)列是如今高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，迄今已有不少教師嘗試從HPM的視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計并付諸實踐. 受歷史素材的局限，已有的課例在等比數(shù)列概念教學(xué)中采用了少數(shù)歷史上的問題，如古印度的貓鼠問題和斐波那契的棋盤問題，以揭示知識的必要性;在求和公式的教學(xué)中采用了歷史上的若干推導(dǎo)方法，包括源于古埃及的遞推法或方程法、歐幾里得的比例法，以及歐拉的錯位相減法，以呈現(xiàn)方法的多元性. 但是，教師并未考慮等比數(shù)列概念形成的自然性、定義的多元性，以及更多推導(dǎo)求和公式的方法.

歷史上的數(shù)學(xué)教科書是一座寶藏，其中蘊含了豐富的教學(xué)資源、有益的思想養(yǎng)料，以及獨特的知識呈現(xiàn)方式. 為此，我們聚焦等比數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容，對19世紀(jì)初期至20世紀(jì)中期出版的美國與英國代數(shù)教科書進(jìn)行研究，嘗試回答以下問題：早期教科書如何引入并定義等比數(shù)列？教科書中有哪些推導(dǎo)求和公式的方法？對如今的教學(xué)有何啟示？

二、教科書的選取

選取1800—1959年出版的118種美英早期代數(shù)教科書為研究對象，其中108種為美國出版，10種為英國出版，并將每20年劃分為一個時間段，出版時間分布如圖1所示. 對于同一作者且內(nèi)容無明顯差異的教科書，視為同一種，并選擇出版時間最早的版本.

早期教科書中等比數(shù)列的知識不勝枚舉，本文擬對引入、定義及求和公式三個知識點進(jìn)行深入研究. 由于本文面向中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，故不再嚴(yán)格區(qū)分?jǐn)?shù)列與級數(shù)，統(tǒng)稱數(shù)列.

在研究的118種教科書中，等比數(shù)列內(nèi)容主要分布于“比例”“數(shù)列”“幾何比例”“幾何數(shù)列”“數(shù)列與對數(shù)”“冪與指數(shù)函數(shù)”“數(shù)學(xué)歸納法”等章節(jié).

三、等比數(shù)列的引入

經(jīng)過統(tǒng)計和分析，118種教科書中等比數(shù)列內(nèi)容的引入方式可以分成直接引入、比例引入、數(shù)列引入、指數(shù)引入四類，其分布情況如圖2所示.

1. 比例引入

在被研究的118種教科書中，有19種教科書采用幾何比例引入等比數(shù)列的方式. Lawrence（1853）先定義幾何比是一個量除以另一個量的商，再定義幾何比例是兩個相等的幾何比，最后通過推廣相等幾何比的個數(shù)引入等比數(shù)列.

2. 數(shù)列引入

在被研究的118種教科書中，有48種教科書以數(shù)列為屬概念，引入作為種概念的等比數(shù)列. 包含兩種情形. 一種是通過數(shù)列分類的方式引入，如Clarke（1881）指出，數(shù)列可以按有窮與無窮、遞增與遞減、收斂與發(fā)散分類，還可以按數(shù)列內(nèi)部特定規(guī)律來分類，以此引入等比數(shù)列. 另一種是通過具體數(shù)列來引入，如Milne（1881）先給出以下數(shù)列：（1）[2x，4x，8x，16x;]（2）從2a開始，依次乘以3a所得到的5項數(shù)列;（3）從a開始，依次乘以r所得到的6項數(shù)列.

3. 指數(shù)引入

在被研究的118種教科書中，有3種教科書采用了指數(shù)引入的方式. 其中，Mitchel（1845）利用了指數(shù)方程：到目前為止，我們都在討論那些不把未知量作為指數(shù)的方程. 而考試中有兩類主題都出現(xiàn)了一種方程[ax=b，] 其中[a]和[b]是已知量，[a]的指數(shù)[x]是未知量，這兩類主題就是等比數(shù)列和對數(shù). Smail（1931）則利用了指數(shù)型函數(shù)：首先取函數(shù)[y=32x，] 依次計算[x=0，1，2，3，…]時[y]的值，得到一組數(shù)字[3，6，12，][24，…，] 這組公比為2的數(shù)是等比數(shù)列的一個例子. 一般地，取指數(shù)型函數(shù)[y=kax，] 計算[x=0，1，2，3，…]時對應(yīng)的[y]值，得到一組數(shù)字[k，ka，ka2，ka3，…，] 這組公比為[a]的數(shù)是等比數(shù)列.

4. 引入方式的演變

圖3給出了118種教科書中等比數(shù)列內(nèi)容引入方式的時間分布情況. 由圖3可見，19世紀(jì)最早的教科書均采用比例引入方式，“比例”一章的主要內(nèi)容通常為比與比例性質(zhì)的討論，等比數(shù)列所占篇幅極少. 19世紀(jì)中期，教科書中數(shù)列知識開始單獨成章，自數(shù)列引入方式出現(xiàn)后，比例引入方式逐漸退出歷史舞臺. 與直接引入相比，數(shù)列引入方式通過演繹或歸納獲得等比規(guī)律，為等比數(shù)列概念的出現(xiàn)奠定了基礎(chǔ). 因此，進(jìn)入20世紀(jì)，直接引入方式的使用頻率明顯下降，數(shù)列引入成為主流.

指數(shù)概念與符號產(chǎn)生于17世紀(jì)，用指數(shù)引入等比數(shù)列與歷史序恰好相反，在我們所研究的早期教科書中，兩種采用指數(shù)引入方式的教科書均出版于20世紀(jì)20年代后，此時函數(shù)在數(shù)學(xué)課程中的地位逐漸提升，將數(shù)列視為特殊的函數(shù)，符合數(shù)列知識的邏輯序.

四、等比數(shù)列的定義

根據(jù)等比數(shù)列的不同構(gòu)造方式，早期教科書中的等比數(shù)列定義可以分為幾何比例定義、比值定義、乘法定義和除法定義四種，其分布情況如圖4所示.

[圖4] [81][乘法定義][比值定義][19][除法定義][13][幾何比例定義][5]

1. 幾何比例定義

在被研究的118種教科書中，有5種教科書采用了幾何比例定義. Simpson（1800）以“4個數(shù)構(gòu)成算術(shù)或幾何比”的定義為基礎(chǔ)，進(jìn)一步定義“當(dāng)每兩個相鄰項的差或比值相等時，則稱它們構(gòu)成連續(xù)比. 例如，[2，4，6，8，…]為連續(xù)算術(shù)比例，[2，4，8，16，…]構(gòu)成連續(xù)幾何比例，這類比例又稱為數(shù)列，它們始終滿足同一規(guī)律.

2. 比值定義

在被研究的118種教科書中，有19種教科書采用了比值定義. Hall（1840）用符號語言表述：如果有一個數(shù)列[a1，a2，a3，…]的任一項與前一項的比值在整個數(shù)列范圍內(nèi)都相同，即[a2a1=a3a2=a4a3=…， ]則稱數(shù)列[a1，a2，a3，…]為等比數(shù)列. 比值定義揭示了“等比數(shù)列”一詞的術(shù)語之本.

3. 乘法定義

在被研究的118種教科書中，有81種教科書采用了乘法定義，是早期教科書中出現(xiàn)頻率最高的定義方式. 該定義的雛形可以上溯到古埃及人的倍乘法. 不同教科書的表述不盡相同，定義中對于乘數(shù)的描述集中在常量、常倍數(shù)和公因子三種，具體見下表.

Lilley（1892）認(rèn)為，正如等差數(shù)列由重復(fù)的加法或減法構(gòu)成，等比數(shù)列也由重復(fù)的乘法構(gòu)成. 這說明初等數(shù)學(xué)中也蘊涵著研究代數(shù)運算結(jié)構(gòu)的思想.

4. 除法定義

在被研究的118種教科書中，有13種教科書采用了除法定義，即一列數(shù)中，若任何一項（第一項之后）除以前一項的商在整個數(shù)列中都相同，則這個數(shù)列是等比數(shù)列. 歷史上曾短暫地出現(xiàn)過等商數(shù)列的命名，現(xiàn)行教科書以quotient（商）的首字母q作為公比的符號表示.

5. 定義的演變

圖5給出了等比數(shù)列定義的時間分布情況. 由圖5可知，5種幾何比例定義僅存在于19世紀(jì)60年代以前，而比值定義一直存在至20世紀(jì)中期. 幾何比例定義中“連續(xù)”一詞過于直觀，不符合數(shù)學(xué)的抽象性，而比值定義既保留了“比較”的知識源流，又突出了“比值”的定量描述，很好地滿足了數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)謹(jǐn)性.

乘法定義和除法定義都源于四則運算，但乘法定義中后一項為前一項與公比乘積的表述，或許更符合學(xué)生從前到后認(rèn)識一列數(shù)的過程，順勢可以獲得等比數(shù)列的通項，所以較除法定義而言，乘法定義廣泛分布于西方早期乃至現(xiàn)行教科書.

五、求和公式的推導(dǎo)

記等比數(shù)列的首項為[a1，] 項數(shù)為n，末項（或通項）為[an，] 公比為q，前n項和為[Sn.] 118種教科書中出現(xiàn)了兩種形式的求和公式：[Sn=a1qn-a1q-1;Sn=anq-a1q-1.]

早期教科書中呈現(xiàn)了豐富的求和公式推導(dǎo)方法，可以分為錯位相減法、錯位相加法、乘子消項法、遞推累加法、掐頭去尾法、恒等式法、解析幾何法、數(shù)學(xué)歸納法共8類，各類方法的數(shù)目如圖6所示. 其中，3種教科書采用了兩種推導(dǎo)方法，1種教科書直接給出了公式.

1. 錯位相減法

在被研究的118種教科書中，有100種教科書采用了錯位相減法，是教科書中運用最廣泛的推導(dǎo)方法.

Peacock（1842）編寫的《代數(shù)論》中，首先將等比數(shù)列的前n項和表示為[Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1，] 等式兩邊同時乘以公比[q，] 得[qSn=a1q+a1q2+ … +a1qn-1+a1qn.]

兩式相減，即得[Sn=a1qn-a1q-1.]

Peacock指出運用上述方法的原因：當(dāng)我們將兩個數(shù)列逐項相減，則僅保留原數(shù)列的首項[a1]與新數(shù)列的末項[a1qn，] 而消去兩數(shù)列中其他相同的項. 部分教科書通過把[Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1，qSn=a1q+a1q2+ … +][a1qn-1+a1qn]右端的相同項對齊來表示兩和式的錯位，更直觀地表示出消項的過程.

2. 錯位相加法

對錯位相減法稍加改變即得錯位相加法：在[Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1]兩邊同時乘以公比的相反數(shù)[-q，]得[-qSn=-a1q-a1q2- … -a1qn-1-a1qn.] 兩式相加，即得[Sn=a1qn-a1q-1.]

在和式兩邊同乘q或[-q]的構(gòu)造看似是從天而降，但其本質(zhì)與初中解二元一次方程組的加減消元法并無二致，變化的只是消去和保留的項數(shù)，樸素的化簡思想始終如一.

3. 乘子消項法

上述兩種方法都需要構(gòu)造一個新的和式，對兩式進(jìn)行運算、消項. 若在[Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1]兩邊同時乘以常數(shù)[q-1，] 則[q-1Sn=q-1a1+a1q+ … +a1qn-1.] 化簡，得[q-1Sn=][a1qn-a1，] 即得[Sn=a1qn-a1q-1.]

從乘法分配律的角度分析，等式兩端同時乘以[q-1，] 一邊構(gòu)造亟待消去的下一項，一邊消去方才構(gòu)造的上一項，循環(huán)往復(fù)，最后只剩下[a1]和[a1qn]兩項，動態(tài)的消項過程隱含在單個和式里，這種一步到位的方法對學(xué)生的代數(shù)思維提出了更高要求.

4. 遞推累加法

在被研究的118種教科書中，有7種教科書采用了先由定義遞推，后由累加化簡的方法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式.

由等比公式定義，得[a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，a5=][a4q，…，an=an-1q.] 所有等式相加，得[a2+a3+a4+a5+ … +]

[an=a1+a2+a3+a4+ … +an-1q.] 等式左邊的[n-1]項和等于[Sn-a1，] 等式右邊括號中的[n-1]項和等于[Sn-an，] 即[Sn-a1=Sn-anq.] 合并同類項，得[Sn=][anq-a1q-1.]

5. 掐頭去尾法

Harney（1840）以[n=5]為例，借助等比數(shù)列通項公式，記前5項和[S5=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4.] 將等式左端“掐”去頭部，得[S5-a1=a1q+a1q2+a1q3+a1q4;] “去”掉尾部，得[S5-a1q4=a1+a1q+a1q2+a1q3.] 比較兩式，得[S5-a1=S5-a1q4q.] 合并同類項，化簡得[S5=][a1q5-a1q-1.] 因為上式中[a1q5 ]是第5項[a1q4]與公比[q]的乘積，所以用[a1qn-1]代替[S5]中的第5項，即得等比數(shù)列前[n]項和[Sn=a1qn-a1q-1.]

6. 恒等式法

在被研究的118種教科書中，有8種教科書借用多項式除法中的一個恒等式推導(dǎo)得到求和公式. 最早，Ryan（1826）用錯位相減法推導(dǎo)公式時意識到當(dāng)[q=1]時，公式[Sn=a1qn-a1q-1]中[Sn=a-a1-1=00，] 他以恒等式[1-qn1-q=qn-1+qn-2+qn-3+ … +q+1]給出解釋，在這種特殊情況下，符號[00]的值應(yīng)該與[na1]相等，意圖說明公式[Sn=a1qn-a1q-1]的普適性.

Taylor（1843）在“多項式除法”一章中由[xn-ynx-y=][xn-1+xn-2y+xn-3y2+ … +xyn-2+yn-1]對[x]取特殊值[1]，用[q]替換[y]得到恒等式[1-qn1-q=qn-1+qn-2+qn-3+ … +q+1，]而等比數(shù)列和式可以寫成[Sn=a11+q+q2+ … +qn-1.]括號中的多項式與上述恒等式右邊相同，將上述恒等式代入，即得[Sn=a1qn-a1q-1.]

這一方法指出，等比數(shù)列求和的關(guān)鍵不在于首項，而在于公比. 求解任意等比數(shù)列的前n項和，化歸后都是求解首項為1、公比相同的等比數(shù)列前n項和.

7. 解析幾何法

Smail（1931）在平面直角坐標(biāo)系中巧妙構(gòu)造出等比數(shù)列的圖象，以[a1>0，0<q<1]為例，先畫出直線[OQ：][y=qx，] 并確定[x]軸上一點[A1a1，0，] 過點[A1]作[y]軸的平行線，交直線[OQ]于點[P1，] 則[A1P1=a1q.] 再過點[P1]作平行于[x]軸，長度等于[a1q]的線段[P1M2]……不斷重復(fù)上述步驟，可以得到點列[Pn， Mn]和[An，] 顯然點[An]的坐標(biāo)為[Sn，0.]

如圖7，因為直線OQ的斜率為q，所以[PnAnOAn=q.] 因為[PnAn]=[Sn+1-a1，] 所以[Sn+1-a1Sn=q.] 將[Sn+1=Sn+a1qn]代入，移項化簡，得[Sn=a1qn-a1q-1]. 其他情形同理可得.

[y][x][圖7]

8. 數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法并非編寫者在推導(dǎo)求和公式時的首選，他們往往將“數(shù)學(xué)歸納法”一章置于“數(shù)列”一章之后，將證明求和公式留作數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用. 假設(shè)等比數(shù)列前[n]項和公式[a1+a1q+a1q2+ … +a1qn-1=a1-a1qn1-q]成立，在等式兩邊同時加[a1qn，] 得[a1+a1q+a1q2+ … +][a1qn=a1-a1qn1-q+a1qn=a1-a1qn+a1qn-a1qn+11-q=a1-a1qn+11-q.]因為上式對[n=1]同樣成立，所以對所有正整數(shù)n都成立. 雖然在今天看來這并不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)歸納法，但是其符合早期教科書中先歸納假設(shè)、再驗證特例的順序.

9. 推導(dǎo)方法的演變

除去數(shù)學(xué)歸納法，其他方法都是設(shè)法消去求和式的[n-2]個項，建立只含3個基本量的求和公式. 如圖8，早期教科書中等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法從多元逐漸走向單一，錯位相減法在各時期內(nèi)被使用頻率最高，其余方法在教科書中交替出現(xiàn)，到20世紀(jì)中期，錯位相減法成為教科書中唯一呈現(xiàn)的方法.

[1800—1819][時間分布][1820—1839][1840—1859][1860—1879][1880—1899][1900—1919][1920—1939][1940—1959][求和公式推導(dǎo)方法占比][0][90%] [100%][80%][70%][60%][50%][40%][30%][20%][10%] [錯位相減法] [錯位相加法] [乘子消項法] [遞推累加法] [掐頭去尾法] [恒等式法] [數(shù)學(xué)歸納法] [解析幾何法] [圖8]

19世紀(jì)早期遞推累加法的頻繁運用得益于此時期教科書對數(shù)列遞推關(guān)系的重視，隨后這種方法不再出現(xiàn). 掐頭去尾法、錯位相加法、乘子消項法都與錯位相減法一脈同源，其中掐頭去尾法用移項代替相減，錯位相加法以公比的相反數(shù)為乘子從而變相減為相加，乘子消項法以公比與1的差作為乘子，內(nèi)蘊了錯位相減的過程. 解析幾何法的誕生可謂“無心插柳”. 同樣，恒等式法一開始也錯誤地用于統(tǒng)一[q≠1]和[q=1]兩種情形下的求和公式，20世紀(jì)早期才作為少數(shù)教科書中的第二種方法出現(xiàn).

關(guān)于[q=1]的迷思，直到Wilczynski（1916）的《大學(xué)代數(shù)及應(yīng)用》一書出版才得以破解，他指出和式兩邊同時除以[1-q]時除數(shù)不能為0. 這么簡單的一個問題卻難倒了一眾數(shù)學(xué)家，由此看出分類討論的數(shù)學(xué)思想不可或缺！

六、結(jié)論與啟示

以上我們看到，在等比數(shù)列這一主題上，美英早期教科書采用了豐富的引入和定義方式，以及前n項和公式的推導(dǎo)方法，這些方式或方法為如今的教學(xué)帶來了諸多啟示.

其一，在引入并定義等比數(shù)列時，可以讓學(xué)生先描述給定數(shù)列逐項之間的規(guī)律，根據(jù)歷史相似性，乘法定義或除法定義都可能成為學(xué)生在概念形成過程中的語言表征. 通過展示“比—比例—等比數(shù)列”的知識脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生體會教科書采用比值定義的合理性，構(gòu)建知識之諧.

其二，在推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式時，傳統(tǒng)的錯位相減法可能讓學(xué)生產(chǎn)生“為什么在和式兩邊同乘公比”的疑問，教師可以引導(dǎo)學(xué)生變換和式兩邊的乘數(shù)，探究得到錯位相加法和乘子消項法，深刻認(rèn)識到同乘的目的是消去中間項，而乘數(shù)的選擇也不限于公比. 此外，用移項代替相減可以導(dǎo)出掐頭去尾法. 根據(jù)前后項的遞推關(guān)系不僅可以導(dǎo)出代數(shù)上的遞推累加法，還可以在坐標(biāo)系中構(gòu)造圖象，由斜率為公比導(dǎo)出幾何法，彰顯方法之美.

其三，數(shù)學(xué)歸納法和恒等式法可以用來證明猜想、歸納得到的求和公式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性. 雖然學(xué)生尚未學(xué)習(xí)多項式除法，但乘除互為逆運算的關(guān)系啟示著可以通過多項式乘法來獲得所需恒等式，并用綜合法證明求和公式，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)，實現(xiàn)能力之助.

其四，數(shù)學(xué)史的融入可以揭示等比數(shù)列的知識源流. 例如，借助微視頻技術(shù)，展現(xiàn)西方早期教科書中等比數(shù)列定義及求和方法的演變，通過古今對照和中西對比，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的多元性，展示文化之魅. 數(shù)學(xué)家對科學(xué)真理的熱愛、追求和探索，有助于學(xué)生形成動態(tài)的數(shù)學(xué)觀，體會數(shù)學(xué)背后的理性精神，最終達(dá)成德育之效.

參考文獻(xiàn)：

[1]汪曉勤. HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M]. 北京：科學(xué)出版社，2017.

[2]LAWRENCE C D. Elements of Algebra[M]. Auburn：Alden，Beardsley and Company，1853.

[3]CLARKE J B. Algebra for the Use of High Schools，Academies and Colleges[M]. San Francisco：A. L. Bancroft and Company，1881.

[4]MILNE W J. The Inductive Algebra[M]. New York：American Book Company，1881.

[5]MITCHEL O M. An Elementary Treatise on Algebra[M]. Cincinnati：E. Morgan and Company，1845.

[6]SMAIL L L. College Algebra[M]. New York：McGraw-Hill book company，1931.

[7]SIMPSON T. A Treatise of Algebra[M]. London：L. Hanford for F. Wingrave，1800.

[8]HALL T G. The Elements of Algebra[M]. London：John W. Parker，1840.

[9]CURTIS L J. Concept of the Exponential Law Prior to 1900[J]. American Journal of Physics，1978，46（9）：896-906.

[10]BRADBURY W F. Eaton’s Elementary Algebra[M]. Boston：Thompson Bigelow and Brown，1868.

[11]CHASE S. A Treatise on Algebra[M]. New York：Appleton，1849.

[12]COLENSO J W. The Elements of Algebra[M]. London：Longman and Company，1849.

[13]LILLEY G. The Elements of Algebra[M]. Boston：Silver Burdett and Company，1892.

[14]PEACOCK G. A Treatise on Algebra[M]. Cambridge：J. and J. J. Deighton，1842.

[15]HARNEY J. H. An Algebra upon the Inductive Method of Instruction[M]. Louisville：Morton and Griswold，1840.

[16]RYAN J，ADRAIN R. An Elementary Treatise on Algebra[M]. New York：Collins and Hannay，1826.

[17]TAYLOR J M. A College Algebra[M]. Boston：Allyn and Bacon，1889.

[18]方倩，汪曉勤. 20世紀(jì)中葉以前西方代數(shù)教科書中的數(shù)學(xué)歸納法[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（11）：1-4，31.

[19]WILCZYNSKI E J，SLAUGHT H E. College Algebra[M]. Boston：Allyn and Bacon，1916.

1882501705269