“最佳口感泡茶時(shí)長(zhǎng)”建模之探索

楊沛娟

摘? 要：利用TI圖形計(jì)算器，實(shí)現(xiàn)教材中的建模計(jì)算，利用計(jì)算工具的便利性，對(duì)教材解法進(jìn)行挖掘，并探索更好、更多的函數(shù)模型，意在引導(dǎo)如何有效利用建模工具，突破教材中建模問(wèn)題的計(jì)算，探討如何利用多種方法建立函數(shù)模型.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;數(shù)據(jù)擬合;TI教育技術(shù);圖形計(jì)算器

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中，對(duì)數(shù)學(xué)建模提出了明確的要求，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模過(guò)程包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題. 在新版教材的建模教學(xué)實(shí)踐中，如何建立模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷?，由于建模?jì)算工具的選用問(wèn)題，成為數(shù)學(xué)建模教學(xué)不能落地的一個(gè)瓶頸. 筆者結(jié)合人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）中的一個(gè)建模實(shí)例，利用TI圖形計(jì)算器，拋磚引玉，較為徹底地研究如何建立函數(shù)模型.

一、問(wèn)題提出

教材第四章“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”之后的數(shù)學(xué)建模部分，給出了如下一個(gè)建模實(shí)例.

實(shí)例? 中國(guó)茶文化博大精深. 茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān). 經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60 ℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感. 那么在25 ℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？

茶水溫度是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，但是沒(méi)有現(xiàn)成的函數(shù)模型. 為此，先進(jìn)行建模實(shí)驗(yàn)，利用秒表、溫度計(jì)或傳感器等工具，收集茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù).

某研究人員每隔1 min測(cè)量一次茶水溫度，得到下表的一組數(shù)據(jù).

根據(jù)建模實(shí)驗(yàn)測(cè)量的數(shù)據(jù)，如何確定適合的函數(shù)模型？

二、教材解法

要確定適合的函數(shù)模型，一般需要先畫出散點(diǎn)圖，利用圖象直觀分析這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而幫助我們選擇函數(shù)類型.

由散點(diǎn)圖，考慮到茶水降到室溫不能再降的事實(shí)，確定選用函數(shù)[fx=kax+25]刻畫. 由表中第一組數(shù)據(jù)求得[k]值為60，再由表中數(shù)據(jù)計(jì)算出溫度衰減比例a的平均值為0.922 7，從而求得一個(gè)函數(shù)模型[y=60×][0.922 7x+][25 x≥0，] 再由圖象檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，進(jìn)一步求解問(wèn)題.

以上教材中的解法，可以利用TI圖形計(jì)算器的電子表格、圖象繪制、記事本、CAS運(yùn)算等功能，輕松、精確地求解，如圖1 ～ 5所示.

精準(zhǔn)計(jì)算之后，發(fā)現(xiàn)教材中的a值存在誤差，原因是利用普通計(jì)算器計(jì)算歷次溫度衰減的比例時(shí)，只是精確到0.000 1.

三、深挖教材

在按教材的計(jì)算方法進(jìn)行研究時(shí)，我們會(huì)存在許多疑問(wèn). 例如，代入其他組數(shù)據(jù)求得k值，是否也可以呢？如何判斷相應(yīng)函數(shù)的擬合效果呢？

其實(shí)，利用散點(diǎn)圖與擬合曲線的對(duì)比，不能精準(zhǔn)比較相近模型的擬合效果. 我們?nèi)菀追治龅玫?，判斷函?shù)模型的擬合程度，主要是看已知數(shù)據(jù)與其偏離程度. 已知數(shù)據(jù)點(diǎn)[xi，yi]與擬合模型[fx]的偏離程度可以用誤差[fxi-yi]表示，為了計(jì)算方便，用誤差平方和[i=1nfxi-yi2]的大小對(duì)函數(shù)模型的擬合效果進(jìn)行比較. 如圖6，經(jīng)TI圖形計(jì)算器的CAS運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)代入第五組數(shù)據(jù)算得k值時(shí)的擬合效果更好.

代入各組數(shù)據(jù)得到不同的k值，取k值的平均值是否擬合效果更好呢？經(jīng)歷如圖7所示的CAS運(yùn)算，得到擬合效果更好的函數(shù)模型[y=59.261 2×0.922 636x+25 x≥0.]

在函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，待定系數(shù)法的思路非常普遍，我們按圖8所示過(guò)程進(jìn)行運(yùn)算，也輕松求得了擬合效果比較好的函數(shù)模型.

比較之下，發(fā)現(xiàn)選用函數(shù)模型[fx=kax+25，] 先計(jì)算溫度衰減比例a的平均值，再代入各組數(shù)據(jù)算得系數(shù)k的平均值，這樣得到的函數(shù)模型擬合效果最好. 此經(jīng)驗(yàn)告訴我們，除待定系數(shù)法外，計(jì)算系數(shù)平均值的方法，也可以作為探索函數(shù)模型的一條途徑.

四、更好擬合

設(shè)擬合函數(shù)[fx=aφx+b，] 更好擬合就是確定[a，b，] 使式子[S=i=1nfxi-yi2]的值最小. 具體步驟為：化簡(jiǎn)S，整理為關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，a取相應(yīng)二次函數(shù)對(duì)稱軸a0（含b）時(shí)，S最小. 代入a0到S，整理為關(guān)于b的二次三項(xiàng)式，b取相應(yīng)二次函數(shù)對(duì)稱軸，S最小.

按以上更好擬合的思路，用TI圖形計(jì)算器的CAS運(yùn)算功能，如圖9 ～ 11所示，得到了比兩次平均值的模型更精準(zhǔn)的函數(shù)模型，但擬合效果的差異不是太大.

五、冷卻模型

英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：[θ=θ0+θ1-θ0e-kt，] 其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，[θ1]表示物體的初始溫度，[θ0]表示環(huán)境溫度，k為正的常數(shù).

教材中的泡茶建模實(shí)例也適合冷卻模型，經(jīng)TI圖形計(jì)算器的CAS運(yùn)算，如圖12，得到比教材擬合效果略好的函數(shù)模型[y=60×0.921 103x+25 x≥0.]

如圖13，筆者再次嘗試將冷卻模型中的系數(shù)取平均值，發(fā)現(xiàn)平均值的擬合效果不如代入第5組數(shù)據(jù)的擬合效果，筆者猜測(cè)可能是由采集數(shù)據(jù)的誤差所致.

六、結(jié)束語(yǔ)

借助TI圖形計(jì)算器，可以更好地探索與研究教材中的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，探索高中階段如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué). 高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)困難重重，我們要積極行動(dòng)起來(lái)，從透徹研究教材中的每個(gè)實(shí)例開始.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐勇，高建彪. 一例教材中的函數(shù)模型擬合之路的探索[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2014（11）：56-58.

[2]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.