運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律 抽象建立模型

趙海涌 高晨霞 薛紅霞

編者按：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中將“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究”列為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的四條主線之一，各版本新教材中都在落實(shí)這一精神，編寫了具體的教學(xué)內(nèi)容. 例如，人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)中，一方面，在適合的章節(jié)中適時(shí)貫徹這一精神，具體而言，有“冪函數(shù)”“指數(shù)函數(shù)的概念”“對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”“三角函數(shù)的概念”“函數(shù)[y=Asinωx+φ]”等;另一方面，有專門的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，即“數(shù)學(xué)建模：建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”. 函數(shù)建模應(yīng)該怎樣去實(shí)施？這成為困惑一線教師的難題. 對(duì)于前者，關(guān)鍵是理解教材的立意，研讀配套的教師用書(shū)可以幫助教師很好地把握教學(xué)方向. 對(duì)于專門的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，教師的操作空間則比較大，困難也比較多——如何選題？如何實(shí)施？如何寫教學(xué)設(shè)計(jì)？等等. 為此，我們進(jìn)行了探索. 通過(guò)遴選，本期刊登4篇專題文章，后續(xù)將繼續(xù)擇優(yōu)刊登，歡迎廣大讀者踴躍投稿！

摘? 要：“指數(shù)函數(shù)的概念”是一節(jié)典型的概念課，是實(shí)施數(shù)學(xué)建模的一個(gè)載體. 這節(jié)課概念的形成能更好地展示通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律、抽象模型，圖象的研究展示了豐富的視角. 基于此，在教學(xué)實(shí)踐、反思的基礎(chǔ)上，改進(jìn)完善，形成了新的教學(xué)設(shè)計(jì)，主要環(huán)節(jié)是：創(chuàng)設(shè)情境，分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象定義;利用模型，回歸情境，解決問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;指數(shù)函數(shù);概念課;發(fā)現(xiàn)規(guī)律;表達(dá)規(guī)律

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具. 不同類型函數(shù)刻畫的變量關(guān)系和規(guī)律不盡相同：一次函數(shù)刻畫的是增加量（減少量）不變的規(guī)律;指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)刻畫的是增長(zhǎng)率（衰減率）不變的規(guī)律. 人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）中指數(shù)函數(shù)概念的形成的內(nèi)容非常完美地體現(xiàn)了這一點(diǎn). 我們通過(guò)同課異構(gòu)的方式對(duì)本節(jié)課進(jìn)行了研討，并在實(shí)踐之后修改完善了教學(xué)設(shè)計(jì).

一、教材分析

“指數(shù)函數(shù)”是教材第四章第2節(jié)的內(nèi)容，是學(xué)習(xí)完函數(shù)的概念及性質(zhì)和冪函數(shù)之后，又一次完整地用研究函數(shù)的一般思路來(lái)研究基本初等函數(shù)的具體體驗(yàn)，“指數(shù)函數(shù)的概念”為本節(jié)的第1課時(shí)，主要通過(guò)實(shí)際問(wèn)題建立模型，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念. 結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求和教學(xué)實(shí)際，確定本節(jié)課有以下幾個(gè)特點(diǎn).

第一，概念的引入能更好地說(shuō)明指數(shù)函數(shù)源于實(shí)踐. 考慮到多數(shù)高中生的認(rèn)知特點(diǎn)，為了有助于他們對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，不妨從學(xué)生自己的生活經(jīng)歷和實(shí)際問(wèn)題入手. 因此，教材選擇從旅游人次變化、碳14衰減兩個(gè)材料中抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，讓學(xué)生熟悉它的知識(shí)背景，初步感受指數(shù)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的又一重要數(shù)學(xué)模型. 這樣處理，可以使指數(shù)函數(shù)顯得不抽象，學(xué)生容易接受，降低了教學(xué)的起點(diǎn).

第二，指數(shù)函數(shù)圖象的生成過(guò)程更加合理，給人一種水到渠成的感覺(jué). 舊版教材通過(guò)描點(diǎn)、連線直接得到指數(shù)函數(shù)的圖象，這樣的處理方式雖然可以幫助學(xué)生接受這個(gè)事實(shí)，但是學(xué)生對(duì)圖象的認(rèn)知是膚淺的. 這樣處理，存在著忽視知識(shí)的生成和認(rèn)知過(guò)程而更關(guān)注應(yīng)用的“功利”思想. 而教材則是通過(guò)繪制B地景區(qū)人數(shù)的散點(diǎn)圖，讓學(xué)生直觀感知指數(shù)函數(shù)的圖象，然后在練習(xí)中配以對(duì)應(yīng)的練習(xí)題（課后練習(xí)1），再次讓學(xué)生感受指數(shù)函數(shù)圖象恒在x軸上方的事實(shí)，為下一課時(shí)的教學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 這樣設(shè)計(jì)注重引導(dǎo)學(xué)生用從特殊到一般的方法探究指數(shù)函數(shù)圖象的形成過(guò)程，可以加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的感性認(rèn)知. 同時(shí)，借助計(jì)算機(jī)教學(xué)的輔助作用，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受.

第三，例題的設(shè)計(jì)側(cè)重實(shí)際應(yīng)用. 舊版教材在得出指數(shù)函數(shù)概念后直接研究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，例題的選擇是類似比較大小等技巧性較大的問(wèn)題，而教材抽象出指數(shù)函數(shù)的概念后，設(shè)計(jì)的例題為“如果平均每位游客出游一次可以給當(dāng)?shù)貛?lái)1 000元門票之外的收入，A地景區(qū)門票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地收入變化情況”，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的思想，并且關(guān)注學(xué)科之間的聯(lián)系，這種用意我們應(yīng)予領(lǐng)會(huì). 當(dāng)然，這樣設(shè)計(jì)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在得出兩地收入函數(shù)解析式后利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述實(shí)際問(wèn)題上遇到一些麻煩，教師在教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo).

總之，指數(shù)函數(shù)是繼冪函數(shù)之后的又一個(gè)重要初等函數(shù)，我們要以《標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念為依據(jù)，針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)背景進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì). 在學(xué)習(xí)冪函數(shù)的基礎(chǔ)上再次讓學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)新函數(shù)模型的基本過(guò)程：背景—概念—圖象和性質(zhì)—應(yīng)用.

二、教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)1：了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，經(jīng)歷借助信息技術(shù)手段研究旅游人次變化和碳14衰減變化的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)指數(shù)函數(shù)概念的抽象過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

教學(xué)目標(biāo)2：掌握指數(shù)函數(shù)的概念，經(jīng)歷用指數(shù)函數(shù)概念解決簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

教學(xué)目標(biāo)3：了解增長(zhǎng)率、衰減率的概念，進(jìn)一步理解指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減的概念.

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

由不同情境通過(guò)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系抽象出指數(shù)函數(shù)概念，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征，是這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn). 以數(shù)學(xué)運(yùn)算為抓手，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生利用信息技術(shù)手段分析，進(jìn)而突破難點(diǎn). 在抽象出指數(shù)函數(shù)的概念后，利用它處理實(shí)際問(wèn)題是本節(jié)課的第二個(gè)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，應(yīng)該充分運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合的思想方法，并通過(guò)信息技術(shù)的直觀操作來(lái)化解.

四、教學(xué)過(guò)程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象定義

情境1：隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式. 由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了門票價(jià)格，而B(niǎo)地則取消了景區(qū)門票. 表1給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次.

問(wèn)題1：比較兩地景區(qū)游客人數(shù)的變化，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？

學(xué)生直觀感知：兩地游客人數(shù)逐年增加，但A地增加相對(duì)緩慢，B地增加要快.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生直觀感知數(shù)據(jù)的變化情況.

問(wèn)題2：能用數(shù)學(xué)方法描述這種變化規(guī)律嗎？

師生通過(guò)信息技術(shù)手段完成兩地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖的制作. 在條件具備的情況下可以利用圖形計(jì)算器完成，也可以利用Excel軟件快速繪制. 如圖1，基于圖形學(xué)生可以非常直觀地發(fā)現(xiàn)A地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖趨近于一條直線，B地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖趨近于一條曲線.

【設(shè)計(jì)意圖】為了方便觀察，可以先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn). 這個(gè)問(wèn)題是要引導(dǎo)學(xué)生作圖，然后通過(guò)圖象感知變化規(guī)律. 這是由數(shù)到形的一個(gè)過(guò)程，旨在培養(yǎng)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思想方法.

問(wèn)題3：A地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖散落在一條直線周圍，你能用數(shù)量關(guān)系解釋這一直觀現(xiàn)象嗎？B地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖散落在一條曲線周圍，它又應(yīng)該用什么數(shù)量關(guān)系進(jìn)行合理的解釋？

A地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖散落在一條直線周圍，即說(shuō)明每經(jīng)過(guò)一年，A地增加的旅游人次大致相等，也就是說(shuō)旅游人次的年增加量大致相等. 而B(niǎo)地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖散落在一條曲線周圍，也就是說(shuō)B地景區(qū)旅游人次的年增加量與A地景區(qū)數(shù)據(jù)將會(huì)出現(xiàn)不同的變化規(guī)律.

師生活動(dòng)：（1）借助信息技術(shù)手段快速計(jì)算A，B兩地景區(qū)數(shù)據(jù)的年增加量（如表2），發(fā)現(xiàn)A地景區(qū)數(shù)據(jù)的年增加量大致相等（約為10萬(wàn)次）;（2）對(duì)于A地景區(qū)數(shù)據(jù)的年增加量大致相等，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)解析式表示，并寫出經(jīng)過(guò)x年后，A地景區(qū)旅游人次y的函數(shù)[y=10x+][600]. A地景區(qū)數(shù)據(jù)[→]差[→]增加量[→]一次函數(shù) （線性增長(zhǎng)）.

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題2使學(xué)生實(shí)現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)變，問(wèn)題3希望學(xué)生能用數(shù)量解釋幾何圖形的直觀現(xiàn)象，即由形到數(shù)，再次加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的基本思想.

問(wèn)題4：由問(wèn)題3的數(shù)據(jù)處理我們發(fā)現(xiàn)，B地景區(qū)數(shù)據(jù)的增加量不像A地景區(qū)數(shù)據(jù)的增加量那樣大致相等，而是越變?cè)酱螅@仍然是定性刻畫. 要定量刻畫變化規(guī)律，就需要找到與A地景區(qū)數(shù)據(jù)中類似的常數(shù)（增加量）. 你能找到B地景區(qū)數(shù)據(jù)中這個(gè)不變的量嗎？

師生活動(dòng)：做減法可以得到旅游人次的年增加量，做除法可以得出旅游人次的年增長(zhǎng)率. 增加量和增長(zhǎng)率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個(gè)非常重要的量.

如表3，對(duì)于B地景區(qū)數(shù)據(jù)，從2002年起將每年的旅游人次除以上一年的旅游人次，可以發(fā)現(xiàn)[每年人次上一年人次≈][1.11.] 結(jié)果表明B地景區(qū)旅游人次的年增長(zhǎng)率約為[0.11，] 為常數(shù). 像這樣，增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化形式，我們稱為指數(shù)增長(zhǎng).

預(yù)設(shè)：可能有學(xué)生通過(guò)計(jì)算[年增長(zhǎng)量上一年人次≈0.11，] 直接得出B地景區(qū)旅游人次的年增長(zhǎng)率約為0.11.

B地景區(qū)的旅游人次近似于指數(shù)增長(zhǎng)，你能模仿A地景區(qū)數(shù)據(jù)，寫出B地景區(qū)旅游人次y與經(jīng)過(guò)的x年之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？

[y=278×1.11x x≥0.] 這是一個(gè)函數(shù)，其中指數(shù)[x]是自變量.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生處理原始數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，最終找到B地景區(qū)數(shù)據(jù)中的不變量. 這一過(guò)程以數(shù)學(xué)運(yùn)算為抓手，充分利用信息技術(shù)構(gòu)建出函數(shù)模型.

問(wèn)題5：變量[y]的增長(zhǎng)率為p，經(jīng)過(guò)時(shí)間為[x，] 若[y]的原始值為1，你能建立[y]與x之間的函數(shù)模型嗎？

[y=1+px p>0.]

【設(shè)計(jì)意圖】構(gòu)建增長(zhǎng)率為常數(shù)的函數(shù)模型.

[B]地景區(qū)數(shù)據(jù)[→]商[→]增長(zhǎng)率（常數(shù)）[→]新的函數(shù)[y=][1+px p>0]（指數(shù)函數(shù)）.

情境2：下川遺址位于沁水縣城西70公里的下川鄉(xiāng)，是一處舊石器時(shí)代晚期文化遺址，1970年發(fā)現(xiàn)，分布于中條山主峰歷山及其附近的陽(yáng)城、沁水、垣曲三縣毗鄰的山岳地帶，縱橫二三十公里，以沁水縣下川地區(qū)保存較好，遺存最為豐富，故稱為“下川遺址”. 經(jīng)碳14測(cè)定距今2.3萬(wàn)年 ～ 1.6萬(wàn)年.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)兩個(gè)不同的情境促進(jìn)學(xué)生了解中國(guó)文化、關(guān)心社會(huì)問(wèn)題，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題滲透愛(ài)國(guó)主義教育，發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能，使立德樹(shù)人的教育理念落在實(shí)處.

問(wèn)題6：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），若衰減率為p，把剛死亡生物體內(nèi)碳14含量理解為1，你能表示出死亡生物體內(nèi)碳14含量y與死亡年數(shù)x之間的關(guān)系嗎？

[y=1-px 0

【設(shè)計(jì)意圖】構(gòu)建衰減率為常數(shù)的函數(shù)模型.

衰減率（常數(shù)）[→]新的函數(shù)[y=1-px 0

問(wèn)題7：科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大約經(jīng)過(guò)5 730年，生物體內(nèi)的碳14含量為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為半衰期. 你能求出p嗎？

學(xué)生活動(dòng)：根據(jù)已知條件[1-p5 730=12，] 得[1-p=][1215 730.] 所以問(wèn)題6中的函數(shù)可以改寫成[y=1215 730x.]

【設(shè)計(jì)意圖】給學(xué)生提供一個(gè)支架，降低學(xué)生建立函數(shù)模型的難度，提高學(xué)生的運(yùn)算能力.

問(wèn)題8：增長(zhǎng)率為常數(shù)p時(shí)，我們建立的函數(shù)模型是[y=1+px p>0;] 衰減率為常數(shù)p時(shí)，我們建立的函數(shù)模型是[y=1-px 0

學(xué)生活動(dòng)：當(dāng)增長(zhǎng)率為常數(shù)p時(shí)，[1+p>1，] 即[a>1;] 當(dāng)衰減率為常數(shù)p時(shí)，[0<1-p<1，] 即[00]且[a≠1].

指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)[y=ax]（[a>0]且[a≠1]）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x為自變量，定義域?yàn)镽.

教師點(diǎn)撥：（1）一次函數(shù)可以刻畫增加量（減少量）不變的變化規(guī)律，指數(shù)函數(shù)用來(lái)刻畫增長(zhǎng)率（衰減率）不變的變化規(guī)律;（2）指數(shù)函數(shù)圖象一定在x軸上方;（3）增長(zhǎng)率不變對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)遞增，衰減率不變對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)遞減.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)抽象過(guò)程幫助學(xué)生直觀感知指數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，為下一課時(shí)的教學(xué)進(jìn)行有效鋪墊.

2. 利用模型，回歸情境，解決問(wèn)題

例1? 已知指數(shù)函數(shù)[fx=ax]（[a>0]且[a≠1]），且[f3=π，] 求[f0，f1，f-3]的值.

學(xué)生活動(dòng)：師生合作完成，學(xué)生口述解題過(guò)程，教師板演.

【設(shè)計(jì)意圖】主要幫助學(xué)生處理三個(gè)問(wèn)題：一是讓學(xué)生熟悉指數(shù)函數(shù)的解析式和對(duì)應(yīng)關(guān)系. 二是讓學(xué)生學(xué)習(xí)利用函數(shù)解析式列方程求底數(shù)a的值. 這里可以引導(dǎo)學(xué)生與初中用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式做類比，也可以和前面情境2中衰減率p的確定做類比. 三是希望通過(guò)“學(xué)生口述、教師板演”的方法檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況，同時(shí)提高學(xué)生答題的規(guī)范性.

例2? 在情境1中，如果平均每位游客出游一次可以給當(dāng)?shù)貛?lái)1 000元門票之外的收入，A地景區(qū)門票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地景區(qū)的收入變化情況.

學(xué)生活動(dòng)：（1）建立經(jīng)過(guò)[x]年，游客分別給A，B兩地景區(qū)帶來(lái)的收入函數(shù)[fx，gx.]

由總收入 = 人均收入 × 人數(shù) = 門票收入 + 其他收入，得[fx=1 15010x+600;gx=1 000×278×1.11x.]

（2）學(xué)生借助信息技術(shù)手段作出如圖2所示的兩個(gè)函數(shù)的圖象.

（3）通過(guò)圖象之間的聯(lián)系，描述15年間A，B兩地景區(qū)的收入變化情況.

【設(shè)計(jì)意圖】引入形如[y=kax k∈R，a>0且a≠1]的刻畫指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型. 當(dāng)初始量不為1時(shí)，一般就用這種函數(shù)刻畫具有指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題. 通過(guò)函數(shù)圖象之間的聯(lián)系描述兩地景區(qū)的收入變化情況，可以加強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，進(jìn)而提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際問(wèn)題的素養(yǎng)（數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)），并提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

3. 限時(shí)訓(xùn)練，鞏固方法，歸納小結(jié)

（1）限時(shí)訓(xùn)練（6分鐘，根據(jù)時(shí)間把握訓(xùn)練量）.

練習(xí)1：下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（? ? ）.

練習(xí)2：已知函數(shù)[fx=2a-1x]是指數(shù)函數(shù)，求[a]的取值范圍.

練習(xí)3：若[fx]是指數(shù)函數(shù)，[f2=2，] 則[fx=]? ? ? ? .

練習(xí)4：已知函數(shù)[fx=ax]（[a>0]且[a≠1]），且[f-32=39，] 則[f-2]的值為? ? ? ?.

根據(jù)時(shí)間安排，練習(xí)4可以作為課后作業(yè). 限時(shí)訓(xùn)練的前三道題目其實(shí)是三個(gè)維度的練習(xí)，其中練習(xí)1是圖象，練習(xí)2是概念，練習(xí)3是應(yīng)用.

（2）課堂小結(jié).

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答如下問(wèn)題.

① 指數(shù)函數(shù)的概念是什么？

② 指數(shù)函數(shù)的概念是如何抽象出來(lái)的？簡(jiǎn)單描述抽象過(guò)程.

③ 本節(jié)課多次用到數(shù)形結(jié)合思想，你能否舉例說(shuō)明？

④ 本節(jié)課在處理情境1時(shí)，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的處理，從中你學(xué)到了什么？

（3）布置作業(yè).

作業(yè)1：閱讀思考教材第115頁(yè)的“放射性物質(zhì)的衰減”.

作業(yè)2：教材第118頁(yè)習(xí)題4.2復(fù)習(xí)鞏固第1題和第2題，綜合運(yùn)用第5題、第7題和第8題第（1）小題.

五、課后反思

1. 運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象建立模型

本節(jié)課緊扣指數(shù)函數(shù)概念的生成進(jìn)行設(shè)計(jì)，展開(kāi)教學(xué)，主線清晰、重點(diǎn)突出，對(duì)教材的立意理解到位、把握得當(dāng). 主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

一是在規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，利用了教材中設(shè)置的情境精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，從直觀感知到圖象表示再到用計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律和用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)規(guī)律.

二是變式問(wèn)題，即衰減率不變問(wèn)題的選擇恰當(dāng). 其既緊密結(jié)合本地資源，又緊扣本節(jié)課的主題. 建立模型的過(guò)程自然充實(shí)，基于增長(zhǎng)率和衰減率得到的關(guān)系，抽象出不同研究對(duì)象之間的相同規(guī)律，進(jìn)而得到指數(shù)函數(shù).

三是對(duì)于定義的精致，充分利用了實(shí)際問(wèn)題的意義，讓學(xué)生在具體的情境中理解了指數(shù)函數(shù)底數(shù)的取值范圍，發(fā)揮了具體實(shí)例的作用，使得理論與實(shí)例融為一體、相得益彰.

2. 創(chuàng)設(shè)合理情境，彰顯人文價(jià)值

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透;不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值. 本節(jié)課教師創(chuàng)設(shè)兩地利用不同的旅游政策刺激經(jīng)濟(jì)發(fā)展和下川遺址（該例子可以換為當(dāng)?shù)氐奈幕z產(chǎn)）兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，這樣不僅有利于學(xué)生更好地感受指數(shù)函數(shù)模型，而且促進(jìn)了學(xué)生了解中國(guó)文化、了解國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、關(guān)心社會(huì)問(wèn)題，使得數(shù)學(xué)的育人功能落在實(shí)處，彰顯了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值.

3. 采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，凸顯核心素養(yǎng)

本節(jié)課教師采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的形式，將教學(xué)目標(biāo)分解成8個(gè)小問(wèn)題，通過(guò)設(shè)問(wèn)的形式，為學(xué)生提供了思考的支架，降低了教學(xué)的難度、突破了教學(xué)的難點(diǎn). 整節(jié)課學(xué)生經(jīng)歷了“直觀感知—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—數(shù)學(xué)表征—實(shí)際應(yīng)用”的認(rèn)知過(guò)程，不僅注重了新知識(shí)的生成過(guò)程，更為以后知識(shí)的發(fā)展做了非常好的鋪墊，這樣不僅展示了新概念的生成過(guò)程，更注重了知識(shí)的發(fā)展過(guò)程. 在此過(guò)程中，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

4. 重視信息技術(shù)，提高教學(xué)實(shí)效

信息技術(shù)的高速發(fā)展，不僅深刻影響著人類的生活方式和工作方式，而且深刻改變著人類的教育方式、學(xué)習(xí)方式，乃至思維方式.《標(biāo)準(zhǔn)》指出，要注重信息技術(shù)的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實(shí)效性. 本節(jié)課在A，B兩地景區(qū)采用不同政策后旅游人次的變化上，學(xué)生只能直觀感知人次在逐漸增多，具體到散點(diǎn)圖的繪制，增加量和增長(zhǎng)率的計(jì)算，旅游人次的變化引起收入的變化等問(wèn)題都是利用信息技術(shù)處理的，這樣不僅提高了課堂教學(xué)效率，更激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

參考文獻(xiàn)：

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