2021年高考概率與統(tǒng)計試題的統(tǒng)計與分析

胡茗潔 石浩楠 胡典順

【摘要】概率與統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)課程的主線，也是高考數(shù)學(xué)的主要考查內(nèi)容.以2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、全國甲卷理科等八套試卷中“概率與統(tǒng)計”相關(guān)試題為研究對象，從情境類型、知識點、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、綜合難度五個維度對其進行特點分析.發(fā)現(xiàn)，2021年高考數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計”試題具有情境類型豐富、講究知識的應(yīng)用性與綜合性、融合多種核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的特點，在難度上不同試題在難度因素的側(cè)重上各有不同，大部分試題強調(diào)運算難度.對教師的概率與統(tǒng)計教學(xué)和高考試題的命制提出以下幾點建議：豐富問題情境，培養(yǎng)關(guān)鍵能力;注重知識整合，建構(gòu)完整體系;回歸知識本質(zhì)，落實核心素養(yǎng);合理設(shè)置難度，優(yōu)化試卷質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué);概率與統(tǒng)計;試題分析

1問題提出

隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，概率與統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識已經(jīng)成為一個未來公民所必須具備的常識.在高中數(shù)學(xué)課程中，概率統(tǒng)計是一個重要主題，貫穿必修、選擇性必修和選修課程.解決概率與統(tǒng)計相關(guān)問題需要經(jīng)歷問題情境的數(shù)學(xué)化、模型的建構(gòu)、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、還原為現(xiàn)實問題的解等步驟[1]，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、發(fā)展應(yīng)用意識的重要媒介.

近年來，高考對統(tǒng)計與概率的考查出現(xiàn)了新的趨勢：注重基本概念的理解與應(yīng)用，試題情境更加真實和復(fù)雜，模型更加精細和完善[2].這不僅為教師的教學(xué)指明了方向，也對學(xué)生的學(xué)習(xí)提出了更多新的要求.故本文對2021年高考數(shù)學(xué)中的概率與統(tǒng)計試題進行分析，以期更清楚地把握高考的考核方向，為教師的教學(xué)提供思路，也為高考試題的命制提供參考.

2分析框架

本文以新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、全國甲卷理科、全國乙卷理科、北京卷、上海卷、浙江卷、天津卷共八套試卷為研究對象，從情境類型、知識點、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、綜合難度五個維度出發(fā)對概率統(tǒng)計相關(guān)試題進行統(tǒng)計與剖析，并歸納得出2021年高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計試題的命制特點.在統(tǒng)計編碼過程中，統(tǒng)計結(jié)果經(jīng)過與相關(guān)專家與團隊成員多次討論后確定，以盡可能保證統(tǒng)計的準確性與全面性.

2.1情境類型

概率是研究隨機現(xiàn)象的強有力工具，統(tǒng)計通過收集、分析數(shù)據(jù)解決實際生活中的問題，概率與統(tǒng)計已經(jīng)滲透到現(xiàn)實生活的方方面面[3].基于概率與統(tǒng)計內(nèi)容領(lǐng)域的特色，高考對此部分的考查一直堅持與情境相聯(lián)系，本文參考《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）中對情境與問題的解釋，將情境劃分為現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境三個維度.

2.2知識點

明晰考查內(nèi)容領(lǐng)域的知識點，有利于教師和學(xué)生把握核心知識點，更好地應(yīng)對高考的挑戰(zhàn).本文參考課標中對知識點的劃分，選取其中“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容，結(jié)合試題實際情況，得到概率與統(tǒng)計的知識點編碼框架，具體內(nèi)容見表1.

如表1所示，一級考點用字母表示，二級考點用數(shù)字表示.如，A2表示散點圖，B2表示回歸分析.試題中涉及的其他領(lǐng)域的知識點，由于不是主要內(nèi)容，不做一一編碼，遇到時直接列出即可.

2.3數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

作為課標的一大亮點，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透在幾乎所有的數(shù)學(xué)知識、技能中，是學(xué)生在接受教育過程中逐步形成的具備數(shù)學(xué)本質(zhì)特征而且適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)[4].在概率統(tǒng)計的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要經(jīng)歷數(shù)據(jù)統(tǒng)計的全過程，多種素養(yǎng)均能得到發(fā)展，本文參照課標中提出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析[8]進行試題的統(tǒng)計與分析.

2.4關(guān)鍵能力

關(guān)鍵能力作為“一核四層四翼”中“四層”的一環(huán)，指學(xué)生在生活實踐中或探索問題情境時，應(yīng)用知識有效地認識問題、分析問題、解決問題的能力[3]，是高中數(shù)學(xué)課程的培養(yǎng)目標.高考數(shù)學(xué)通過情境承載考查內(nèi)容，以實現(xiàn)考查要求，這與概率與統(tǒng)計特有的情境性不謀而合，因此，在概率與統(tǒng)計這一內(nèi)容領(lǐng)域更容易培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.本文依據(jù)高考評價體系將關(guān)鍵能力劃分為邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力五個維度.

2.5綜合難度

試題難度是反映試題質(zhì)量和測驗公平性的一項重要指標.目前已有不少學(xué)者展開了對高考試題難度的研究，并形成了一些比較成熟的框架.本文綜合武小鵬所搭建的綜合難度模型框架[3]，以及薛歡等在此基礎(chǔ)上提出的針對于概率與統(tǒng)計試題的綜合難度模型[4]，對試題進行綜合難度的分析，模型的具體因素及其等級如表2所示.

在表2中，利用di=∑jnijdijn計算各因素的難度系數(shù)di，其中i表示不同的因素，dij表示第i個因素中的第j個等級的權(quán)重（依據(jù)不同等級分別取1，2，3，…），nij表示這組題目中屬于第i個因素中的第j個等級的題目個數(shù)，n代表題目的總個數(shù).因此整套試題的綜合難度系數(shù)就是各因素綜合難度系數(shù)的加權(quán)平均，設(shè)ki為各因素在整個試題中所占的權(quán)重系數(shù)，那么整套試題的綜合難度系數(shù)D=∑7i=1diki.關(guān)于權(quán)重系數(shù)的確定，參考武小鵬[6]研究中韓高考試題時提出的權(quán)重系數(shù)，即以“背景因素”權(quán)重為1.00作為參考標準，各因素所占權(quán)重依次為1.00，1.21，1.19，1.53，0.91，1.17，1.35.

3數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與分析

根據(jù)分析框架，將所得結(jié)果分為兩個部分分析：一部分呈現(xiàn)試題的命制特點，包括情境類型、知識點、核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的分析;另一部分呈現(xiàn)綜合難度系數(shù)的分析.

3.1試題命制特點分析

在進行統(tǒng)計分析時，根據(jù)題目的設(shè)問方式，將試題分為封閉型試題和開放型試題兩類，封閉型試題包括選擇題和填空題，開放型試題包括解答題.

（1）封閉型試題特點分析

根據(jù)第二部分搭建的分析框架對2021年高考數(shù)學(xué)封閉型的概率與統(tǒng)計試題進行統(tǒng)計，具體內(nèi)容如表3.

在情境類型方面，如圖1所示，考查情境類型多樣，以數(shù)學(xué)情境最多，現(xiàn)實情境次之，僅有新高考Ⅱ卷涉及科學(xué)情境的封閉型試題.從具體情境來看，高考充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思政的要求，于問題情境中關(guān)注社會時事與經(jīng)濟發(fā)展.如全國甲卷理科第2題[6]，“以我國在扶貧脫貧工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景，通過圖表給出某地農(nóng)戶家庭收入情況的抽樣調(diào)查結(jié)果”，培養(yǎng)學(xué)生社會責任感，增強民族自豪感與國家意識.

在知識點的考查上，封閉型試題考查的知識點一般為1～3個，僅全國甲卷理科涉及4個知識點的封閉型試題.具體考查以概率為主干知識點，向外延伸，考查范圍廣，但與其他領(lǐng)域結(jié)合較少，符合概率與統(tǒng)計“廣而不深”的特點，講究知識的應(yīng)用性與綜合性.

對于核心素養(yǎng)，在“重視理性思維，堅持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則”[7]下，核心素養(yǎng)以數(shù)學(xué)運算為主，在強調(diào)簡單運算的基礎(chǔ)上，落實數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)的考查，表明高考數(shù)學(xué)命題順應(yīng)時代特征，對概率與統(tǒng)計的實用性提出了要求，以便讓學(xué)生更好地應(yīng)對現(xiàn)實生活中的問題.

對于關(guān)鍵能力的考核，以運算求解能力居多，但在兼顧概率與統(tǒng)計領(lǐng)域特點的同時，盡可能多地考查了其他能力，合理科學(xué)地踐行了高考評價體系，充分發(fā)揮了高考的選拔功能.

（2）開放型試題特點分析

根據(jù)第二部分搭建的分析框架對2021年高考數(shù)學(xué)開放型的概率與統(tǒng)計試題進行統(tǒng)計，具體內(nèi)容如表4.

在情境類型方面，開放型試題的問題情境以現(xiàn)實情境為主，含有少量的科學(xué)情境.具體情境的選擇非常豐富，概括為如下三大特點：緊扣時事熱點，培養(yǎng)學(xué)生的家國情懷，如新冠肺炎檢測;貼近學(xué)生的日常生活，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，如“一帶一路”知識競賽;與科技、生產(chǎn)相融合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，如微生物繁殖、機床生產(chǎn)以及研制新設(shè)備.

在知識點的考查上，開放型試題所考查的知識點通常有3～5個，普遍多于封閉型試題，體現(xiàn)出開放型試題的綜合性.大部分知識點歸屬于一級考點B和C之下，涉及其它領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識的試題較少，僅有一題，幾套試卷相比較而言，新高考Ⅱ卷所考查的知識點是最多的，而且存在跨章節(jié)學(xué)科知識的交叉.

就核心素養(yǎng)而言，每道試題都考查了3～5種核心素養(yǎng).根據(jù)每種核心素養(yǎng)所涉及的開放題數(shù)量，繪制雷達圖，如圖2所示.不難發(fā)現(xiàn)，概率與統(tǒng)計開放題側(cè)重邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的考查.以新高考Ⅱ卷第21題為例，學(xué)生需要從微生物的繁殖情境中抽象出概率之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上建立模型進行期望的求解，最后通過邏輯推理加深對問題實際含義的理解.

對于關(guān)鍵能力，邏輯思維能力、運算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力是大部分試題所涉及的，這與核心素養(yǎng)的考查相呼應(yīng).除此之外，少部分試題滲透了對于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，如全國乙卷第21題，重在考查學(xué)生思維的靈活性.

3.2試題綜合難度分析

根據(jù)綜合難度模型下的公式，計算各套試卷概率與統(tǒng)計相關(guān)試題的綜合難度系數(shù)，如表5所示.

根據(jù)表5中的難度系數(shù)繪制折線圖，如圖3所示.

從宏觀整體來看，新高考Ⅱ卷的概率與統(tǒng)計試題綜合難度系數(shù)最高，天津卷的概率與統(tǒng)計試題綜合難度系數(shù)最低，其他幾套試卷概率與統(tǒng)計試題的綜合難度不相上下.從微觀細節(jié)來看，新高考Ⅰ卷認知水平因素貢獻難度最多，其他分配較均勻，全國甲卷理科知識含量與認知水平并重，新高考Ⅱ卷和全國乙卷理科則是運算水平與認知水平并重，北京卷、上海卷、浙江卷、天津卷對運算水平要求較高，或在參數(shù)因素或在思維方向因素占比較低，各有特色.

仔細剖析綜合難度系數(shù)的各難度因素，可以發(fā)現(xiàn)：在情境的選擇上，新高考Ⅱ卷最為綜合，具備一定的創(chuàng)新性;在運算水平上，浙江卷的要求最高，不少試題已經(jīng)涉及到了符號運算，同時，浙江卷對推理能力的考查也是最復(fù)雜的;在知識點含量上，兩套全國卷的知識點含量是最豐富的;在思維方向上，新高考Ⅰ卷和浙江卷兩套試卷給予逆向思維更多的關(guān)注;對于試題所考查的認知水平，全國乙卷理科和新高考Ⅰ卷這兩套使用地區(qū)較多的試卷要求學(xué)生不僅掌握知識并應(yīng)用，還要能夠進行一定的分析推理.

4啟示與建議

4.1豐富問題情境，培養(yǎng)關(guān)鍵能力

創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，既能有效提高試題質(zhì)量，也更有利于落實“一核四層四翼”的高考評價體系.概率與統(tǒng)計的廣泛應(yīng)用性為高考試題中問題情境的創(chuàng)設(shè)提供了天然的優(yōu)勢，2021年高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計相關(guān)試題的情境設(shè)置以現(xiàn)實情境居多，尤其是開放題，都非常貼近日常生活，聚焦時事熱點，突顯出理論聯(lián)系實際的導(dǎo)向.

在教學(xué)中，教師應(yīng)注意情境創(chuàng)設(shè)的藝術(shù)，在教學(xué)中適當增加一些學(xué)生比較陌生的問題情境，為學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)提供探索的“黑箱”[8].在情境的設(shè)問方式上，要注意開放性，給予學(xué)生充分的思考空間，擺脫定勢思維的束縛，使學(xué)生得到關(guān)鍵能力的綜合發(fā)展.

4.2注重知識整合，建構(gòu)完整體系

高考數(shù)學(xué)在考查過程中要體現(xiàn)綜合性，這樣有利于促進學(xué)生從整體上建構(gòu)知識框架，形成合理的認知結(jié)構(gòu)[9].概率與統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)知識點中的關(guān)鍵部分，與其他知識點有著明顯的滲透交匯，也是高考的重難點.2021年高考數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計試題不僅涵蓋知識點豐富，而且已經(jīng)有部分試題表現(xiàn)出函數(shù)、方程等跨章節(jié)甚至生物、科學(xué)等跨學(xué)科知識的交互，旨在培養(yǎng)學(xué)生融會貫通的意識.

在教學(xué)中，教師可以適當利用概念圖、思維導(dǎo)圖等知識表征工具幫學(xué)生梳理核心知識點，建構(gòu)概率統(tǒng)計的知識體系.還應(yīng)當及時地進行回顧復(fù)習(xí)，厘清概率統(tǒng)計與方程、函數(shù)、不等式等其它知識單元的聯(lián)系，深化對數(shù)學(xué)概念的理解.除此之外，教師還可以利用探究性學(xué)習(xí)的模式介紹一些學(xué)科交叉的內(nèi)容，積極探索多學(xué)科交叉融合的有效途徑，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

4.3回歸知識本質(zhì)，落實核心素養(yǎng)

對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要條件，高考試題不僅要考查學(xué)生對知識點的熟練程度，更應(yīng)當突出知識的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)科的視角理解世界和分析問題，概率統(tǒng)計的本質(zhì)是隨機性數(shù)學(xué)思維.今年高考數(shù)學(xué)中所涉及的古典概型、正態(tài)分布、幾何概型等隨機模型，皆是對現(xiàn)實隨機問題的抽象凝煉，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，又彰顯了數(shù)學(xué)的實用性.

在教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變固有的思維方式，激發(fā)自覺培養(yǎng)隨機性數(shù)學(xué)思維的意識.在對典型題目進行剖析時，盡可能完整地展現(xiàn)推理過程，使學(xué)生積累一些常用模型，并且能靈活運用.通過對數(shù)學(xué)知識進行整體性的分析，梳理概率統(tǒng)計自身的邏輯關(guān)系，使得每一堂課都立足于概率統(tǒng)計的本質(zhì)，聚焦其內(nèi)核.

4.4合理設(shè)置難度，優(yōu)化試卷質(zhì)量

編制一套高質(zhì)量的高考數(shù)學(xué)試題，最大的價值追求就是既要保證難度設(shè)計的科學(xué)合理又能檢測出學(xué)生的真實水平，同時還要充分發(fā)揮高考數(shù)學(xué)試題的選拔功能和積極導(dǎo)向作用.今年不同試卷概率與統(tǒng)計的試題在各難度因素的分配上各不相同. 但總體來說，試卷在難度的設(shè)計上均應(yīng)當依據(jù)課標對概率統(tǒng)計部分的要求，秉持發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念，從每個難度因素自身的特點出發(fā)，合理設(shè)置各難度因素，提高試卷的區(qū)分度.

在教學(xué)中，教師應(yīng)當把握概率與統(tǒng)計的教學(xué)重點，除了要求學(xué)生掌握知識點之外，更要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力，通過給予學(xué)生更多的具有現(xiàn)實背景意義的案例，讓學(xué)生體會數(shù)據(jù)分析的全過程，不斷提高運算水平，從概念理解逐步走向靈活運用、獨立分析.

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作者簡介胡茗潔（1998—），女，湖北宜昌人，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院研究生;研究方向數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué).

石浩楠（1999—），女，湖北十堰人，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院研究生;研究方向數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué).

胡典順（1965—），男，湖北孝感人，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師;研究方向數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué).