MM教育方式的傳承、創(chuàng)新及發(fā)展

【摘要】MM教育方式是指運用數(shù)學方法論的觀點來指導數(shù)學教學，即應用數(shù)學的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學的思想方法和數(shù)學中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新的觀點設計數(shù)學教學. MM實驗開展至今已有30多年，數(shù)學課程幾經(jīng)改革，MM教育方式卻依然令人關注，但再成功的教學范式，都需要創(chuàng)新和發(fā)展，從培養(yǎng)學生能力和素養(yǎng)的視角重新審視MM教育方式，具有重要的現(xiàn)實意義和深遠的歷史意義.

【關鍵詞】數(shù)學方法論;MM教育方式;MM實驗傳承;創(chuàng)新發(fā)展

1989年，在著名數(shù)學家徐利治教授的積極倡導下，由無錫市教研中心徐瀝泉先生領題，開展了MM（Mathematical Methodology）實驗. MM教育方式作為國際數(shù)學科學方法論與我國數(shù)學教育實踐相結合的成功范式，30多年以來，長期受到業(yè)內(nèi)人士關注. 究其原因，一方面，MM教育方式具有前瞻性、科學性和先進性;另一方面，MM教育方式具有實踐性、貫通性和普適性.因此，無論是數(shù)學教育理論界，還是教學實踐層面，都具有極其重要的研究價值. 教育實踐表明，MM教育方式經(jīng)歷了長期洗禮，依然散發(fā)著濃郁的學術氣息，并在課堂教學中充滿了勃勃生機.

新一輪課程改革，為了落實“立德樹人”的根本任務，充分發(fā)揮課程育人功能，提出了發(fā)展學生核心素養(yǎng)的目標. 如何找到有效的教學抓手，MM教育方式是一條值得選擇的途徑. 重溫經(jīng)典是創(chuàng)新的基礎，對接現(xiàn)代是最好的傳承. 傳承經(jīng)典，首先要理解其內(nèi)涵，并發(fā)掘其潛在的價值，其次應力求與時俱進，開拓創(chuàng)新. 本文試圖以高中數(shù)學教育為例，對MM實驗的內(nèi)涵及構成，包括研究目標、兩個基本原理及八個操作變量作一些疏理、分析和完善，并通過若干典型教學案例的展示和剖析，增強廣大教師對MM教育方式的理解，讓其成為廣大教師開展課程改革的教學抓手.

1重釋MM實驗內(nèi)涵，完善相應操作變量

所謂MM教育方式，簡要講就是用數(shù)學方法論來指導數(shù)學教學，即運用數(shù)學的發(fā)展規(guī)律、思想方法及數(shù)學中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明及創(chuàng)新的觀點設計數(shù)學教學，其教學目標是提高學生的科學、人文及審美素養(yǎng)，形成和發(fā)展學生的數(shù)學品質(zhì)和數(shù)學精神. MM教育方式是在傳承G·波利亞的數(shù)學教育思想及科學方法論的基礎上，結合我國數(shù)學教育的特點，在實踐中不斷加以完善、改革和創(chuàng)新，以發(fā)揮數(shù)學課程的科學價值和育人價值＼[1＼]. 可見，雖歷經(jīng)時代變遷，但MM實驗的頂層設計與當今新課改理念仍完全耦合.

1.1建議增設第三基本原理

MM實驗設計中，提出了該教育方式必須遵循的兩個基本原理：一是將教學、研究和發(fā)現(xiàn)同步協(xié)調(diào)地推進;二是既教猜想又教證明＼[2＼]. 其中，原理一是當下研究性教學核心理念的詮釋，原理二是數(shù)學方法論在課堂教學中的具體運用，這兩個原理依然符合培養(yǎng)學生能力和素養(yǎng)的要求. 但由于受時代的局限，當時應用數(shù)學的發(fā)展水平與當今不可同日而語，相應地MM實驗沒有單獨設計應用數(shù)學的方法論原理，而新課改理念突出了數(shù)學的關聯(lián)性原則，即既要注重數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，又要關注數(shù)學與現(xiàn)實及其他學科的聯(lián)系. 在數(shù)學核心素養(yǎng)的六個要素中，數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算及直觀想象是以往大家熟悉的要素，數(shù)學建模和數(shù)據(jù)處理則是課改后提出的新要素，主要圍繞應用數(shù)學的發(fā)展，對高中學生提出的新要求，其目標是培養(yǎng)具有實踐能力和創(chuàng)新意識的復合型人才. 為了體現(xiàn)MM實驗的時代性，我們建議增設原理三：將數(shù)學知識之間、數(shù)學與現(xiàn)實及其他學科之間形成聯(lián)系. 這樣構建的三個基本原理，既展現(xiàn)了對經(jīng)典數(shù)學方法論的堅持，又體現(xiàn)了對應用數(shù)學方法論的吸納，既展現(xiàn)了對成功范式的傳承，又體現(xiàn)了順應時代發(fā)展的創(chuàng)新，從而形成更為全面和科學的體系.

1.2建議整合八個操作變量

在MM實驗倡導的教學過程中指出，教師要有意識、有目的、恰當?shù)夭僮骱冒藗€變量，即數(shù)學的返璞歸真教育、審美教育、發(fā)現(xiàn)法教育、數(shù)學家優(yōu)秀品質(zhì)教育和數(shù)學史教育、數(shù)學中的演繹及合情推理和一般解題方法的教育＼[3＼]. 為了與當下約定的學術用語保持一致，筆者建議將“發(fā)現(xiàn)法教育”替換為“數(shù)學探究教育”. 將“數(shù)學家優(yōu)秀品質(zhì)教育和數(shù)學史教育”合并為“數(shù)學文化教育”，這樣既簡化了敘述，又豐富了內(nèi)涵. 由于2004年版高中教材專設了“推理與證明”的內(nèi)容，因此，可將“數(shù)學中演繹推理及合情推理”簡化為“數(shù)學推理教育”. 為了克服“一般解題方法教育”帶來教師理解上的泛化，建議改為“解題策略教育”，特指波利亞將數(shù)學解題分成的四個步驟：弄清問題、擬定計劃、實施解答、回顧反思. 為了體現(xiàn)基本原理三，擬增加“數(shù)學應用教育”及“數(shù)學項目教育”，其中前者指數(shù)學與社會、生產(chǎn)、生活等聯(lián)系，包括作為背景材料的實際問題引入、應用題及數(shù)學建模教學;后者指在復雜背景下，數(shù)學結合其他學科的知識、思想方法，開展高質(zhì)量的項目學習，它具有驅(qū)動性問題設計、對大概念的追求、持續(xù)探究的過程性、指向核心知識等重要特征. 由此得到新的八個操作變量，并重新編排為：返璞歸真教育、解題策略教育、數(shù)學推理教育、數(shù)學探究教育、數(shù)學審美教育、數(shù)學文化教育、數(shù)學應用教育、數(shù)學項目教育. 這樣組成的新的八個操作變量，其中六個是原來操作變量的沿用、簡化、兼并或重組，具有很好的傳承性，另外兩個是依據(jù)新課程理念新增的操作變量，體現(xiàn)了與時代同步的創(chuàng)新與發(fā)展. 八個新操作變量既互為獨立，又相互聯(lián)系，形成一個相對完整的體系，共同指向MM教育方式的思想、目標和要求，期待成為廣大教師落實核心素養(yǎng)理念的教學抓手.

2在教學實踐中探索，在研究反思中提高

MM教育方式內(nèi)涵及構成要素的完善，為具體的教學實踐提供了依據(jù)和方向，但如何保證在教學設計和實施中貫徹MM教育方式的理念，首先是要充分發(fā)揮名師的作用，推進區(qū)域性合作，發(fā)掘相應的課程資源，設計典型的教學案例，其次是在教學實踐中不斷加以調(diào)整、打磨和完善，力求做到精益求精，再次是加強課堂觀察、研討、總結和反思，將精品案例加以大力推廣，以共享研究成果，從而形成共建、共研、共享的學術生態(tài)鏈，這是MM實驗留給我們的精神財富和學術品格＼[4＼].

2.1利用MM實驗原理解決教學困惑

由于教材文本的簡潔性，一些數(shù)學核心概念產(chǎn)生的背景被略去，導致師生難以經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，體悟探索問題運用的數(shù)學思想方法，利用MM實驗原理，查閱相應的資料，設計簡約的數(shù)學問題，可以化解師生教學中存在的困惑.

例如，在三角函數(shù)一章的起始課“任意角的概念”一節(jié)課中，廣大師生一直存在這樣的困惑，為什么要把角放置在直角坐標系中？為此筆者依據(jù)數(shù)學史，設計了這樣的問題情境：在大海中，如何在地圖上表示出東偏南60°且離港口100海里的船只？船只位置與地圖上約定的“上北下南，左西右東”，在數(shù)學上如何加以體現(xiàn)和約定？于是通過數(shù)學史中17世紀航海的發(fā)展，催生平面直角坐標系的誕生，從而使數(shù)形有機結合，筆者引導學生將港口抽象為坐標原點，船只抽象為終邊上的點，結合地理知識，讓學生討論角的頂點、始邊分別怎樣約定更符合習慣，而終邊按逆時針方向旋轉與坐標系的象限順序保持一致，正好印證了角的正方向用逆時針方向約定是科學合理的，再結合判斷角的象限，引申到終邊相同角的概念，從而將數(shù)學抽象與坐標思想、數(shù)學建模與地理的空間定位、數(shù)學約定的科學性與融通性等，滲透到日常的教學中，對促進學生素養(yǎng)的提高起到潤物細無聲的作用.

2.2利用MM實驗原理提升教學品質(zhì)

數(shù)學教學品質(zhì)是指數(shù)學教學對人影響的廣泛程度、深刻程度、持久程度、有用程度. 數(shù)學教學品質(zhì)由低到高分為四個層次：一是數(shù)學知識技能教學層次，重在解決是什么、怎樣做的問題;二是數(shù)學思想方法層次，重在解決用怎樣的思想與方法做的問題;三是數(shù)學思維教學層次，重在解決怎樣想到這樣做、為什么要這樣做的問題;四是數(shù)學素養(yǎng)、精神和文化教學層次，重在促進學生心智、個性、觀念、精神等和諧協(xié)調(diào)地發(fā)展. MM實驗原理順應了能力素養(yǎng)導向教學的要求，并成為有效的教學抓手，將數(shù)學教學品質(zhì)的各個層次有機融合.

例如，在一次“解三角形”習題中，筆者根據(jù)教材（人教版必修第二冊）54頁20題關于已知三邊長證明三角形的面積公式，選編了這樣兩道題目：（1）已知△ABC中，BC=3，CA=5，AB=7，求它的面積;（2）已知凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，AD=CD=2，問能否求它的面積？

第（1）問用余弦定理求得cosB=1114，故sinB=5314，代入面積公式S= 12acsinB=34，將問題一般化，學生經(jīng)過因式分解，得出了南宋數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)的求三角形面積的“三斜公式”和古希臘數(shù)學家海倫得到的三角形面積公式. 與三角形作類比，多數(shù)學生認為第（2）問能求解，但又找不到方法，也有學生估測該四邊形不固定，面積求不出. 在評議中，教者用幾何畫板作演示，發(fā)現(xiàn)四邊形面積的確不確定，那么面積是否有最大值呢？學生的思維開始活躍起來. 先把四邊形ABCD劃分成兩個三角形后，得出S=sinA+3sinC ，再由余弦定理和公共邊BD作等量關系，得出5-4cosA=13-12cosC，即cosA-3cosC=-2，由配對思想，兩式平方相加，得S2+4=10-6cos（A+C），S=6-6cos（A+C），于是當A+C=π時，四邊形ABCD的面積最大，最大值為23，即四邊形ABCD內(nèi)接于圓時，其面積最大. 能否推廣到一般的情形呢？即四邊長為定值的四邊形中，是否以圓的內(nèi)接四邊形面積最大呢？于是將數(shù)據(jù)字母化，證明了猜想的正確性，并且面積的最大值與秦九韶、海倫公式從運算結構上有驚人的相似之處，即可看作是三角形面積在四邊形中的推廣.

通過這樣引導學生從特殊到一般，不斷拓展解題思路，最后得出了與大數(shù)學家相似的結論，學生仿佛經(jīng)歷了一次探索、創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的過程，在這一過程中，學生的數(shù)學知識與技能得以鞏固，數(shù)學思想方法得以有效的滲透，思維能力和數(shù)學素養(yǎng)得到發(fā)展，而教學設計的理念為MM實驗原理.

3依托學校三級課程，弘揚MM教育方式

在MM教育方式的新八個操作變量中，數(shù)學探究、數(shù)學審美、數(shù)學文化、數(shù)學應用、數(shù)學項目教育，在培養(yǎng)學生關鍵能力和核心素養(yǎng)時最令人關注，但由于受應試觀念的影響，許多教師在常態(tài)課堂中涉及較少，而地方課程、學校課程為這些領域提供了新的教學平臺. 我校數(shù)學組高一自主研發(fā)了校本課程：數(shù)學探究、數(shù)學建模、數(shù)學審美及數(shù)學文化，高二則開設了STEM、數(shù)學研究性學習及數(shù)學項目學習課程，目前雖然尚處于嘗試、探索階段，但深受學生的歡迎和同行的關注.因為高中學生數(shù)學知識儲備有限，大量以大學數(shù)學為背景的探究、建模、審美和史志等，學生難以領悟其要義，因此，教師必須探尋以高中數(shù)學為背景的相關課程資源，并結合學生的情況、教材的安排以及社會實際的現(xiàn)狀，研發(fā)相應的校本課程.

以數(shù)學項目學習為例，筆者圍繞無錫最著名的石拱橋——清明橋，開展了以下教學嘗試. 在江南古典音樂的背景下，屏幕上出現(xiàn)了從不同背景、不同角度拍攝的清明橋照片，結合畫面對該橋作簡介：清明橋，始建于明朝萬歷年間，是無錫古運河上最著名的經(jīng)典，它是單孔石拱橋，橋長43.2米，寬5.5米，高8.5米，橋孔13.1米. 圍繞清明橋這一話題，老師先拋出以下兩個與數(shù)學相關的問題，供同學們思考：

（1）從直覺來看，清明橋橫截面的拱圈更接近圓弧，還是更接近拋物線??？

（2）如何用數(shù)學的定量方法，來論證你的觀點？

兩個問題為同學們開展項目式學習打開了話題，不同的判斷，依據(jù)不同的數(shù)學模型，首先分別建立坐標系、設點和求曲線方程等建立模型，其次通過圖形整體縮放、等分尋高等獲得相應數(shù)據(jù)，然后由幾何畫板得出各自模型的數(shù)據(jù)，最后通過對比分析得出結論. 在此基礎上，引發(fā)學生通過相互交流，提出每一4人小組設計的問題，這里列舉其中5個：

（1）清明橋橫截面的拱圈可能更接近于一個離心率很小的橢圓（有待于計算確認）;

（2）以上兩個模型中，如果河水上漲1米，橋拱圈的寬度將為多少？此時，若船在橋洞中間行駛過去，船浮出水面的高度有什么限制？

（3）清明橋為什么要設計成接近于圓（橢圓）的石拱橋？

（4）清明橋為什么會建造在此處？它對當時無錫的經(jīng)濟和生活有什么影響？

（5）清明橋的石材都是方直的，為什么我們看到的橋卻是彎曲、弧形狀的？

問題1是對教師提問的質(zhì)疑，通過計算，用橢圓作為數(shù)學模型比圓的確更為精準，體現(xiàn)了當代學生的分析質(zhì)疑能力及批判性思維. 問題2源于教材的例題、習題，并作了改造，但作為兩個模型的對比分析，仍然有其研究價值. 問題3具有一定跨學科性，有的從便于水流交通的角度進行分析;有的從物理學圓周運動中重力與彈力的合力等于向心力，即mg-N=mv2r，N=mg-mv2r是關于r的增函數(shù)，拱圈越鼓對應圓半徑越小，橋面承接的壓力越小，從而在數(shù)理知識融合中形成了科學的解釋;有的同學則從人文、美觀和旅游的角度加以詮釋. 對問題4，學生分別從河面相對較窄、人口流動多、交通樞紐、工商業(yè)發(fā)達、文化旅游等方面進行分析. 問題5的討論同樣出人意料，有的想起了劉徽的割圓術，用微元分析、極限的思想進行分析;有的從哲學的角度對直與曲、方與圓、微觀與宏觀、精確與誤差等作了深入剖析;有的從中國古代傳統(tǒng)文化的視野作了論述，真可謂教學相長，后生可畏. 可以預見，項目式學習在培養(yǎng)學生能力和素養(yǎng)方面，將越來越受到各界人士的關注，MM教育方式也必將重視其今后的發(fā)展.

MM教育方式經(jīng)歷了三十多年的風風雨雨，雖然取得了卓越的成果和良好的效果，但由于我們正處于世紀之交，各種教育理論和教學模式的呈現(xiàn)日新月異，因此MM教育方式的完善與創(chuàng)新、發(fā)揚與廣大、實驗性與示范性等都遇到了極大的挑戰(zhàn). 新課程理念的愿景是美好的，但數(shù)學核心素養(yǎng)如何在實踐中落地生根，需要依托于成功的教學范式，MM教育方式作為數(shù)學教育的品牌，理應發(fā)揮其學術引領和實踐示范的作用，以展示其獨特的教育價值.

參考文獻

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[4]華志遠. MM教育方式的源與流＼[J＼]. 數(shù)學通報，2020（08）：3235.

作者簡介華志遠（1964—），男，江蘇無錫人，現(xiàn)任無錫市第一中學副校長，中學正高級教師，特級教師，曾獲蘇步青數(shù)學教育獎;主要研究中學數(shù)學課程、教材、教法;發(fā)表論文100余篇，其中15篇被中國人民大學資料中心全文轉載.