從原始到進化再蛻變，方能抽絲剝繭

劉肖芬

【摘要】抽取有效信息是指在原有的信息情境中，找到特定的信息，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)領(lǐng)域的語言。本文通過分析教材關(guān)于問題情景的呈現(xiàn)方式和學(xué)生易錯的現(xiàn)象，提出有關(guān)“抽取有效信息”的策略。在抽取信息的過程中，學(xué)生容易出現(xiàn)“不會重組、不會篩選、不會分析、不會表達”的現(xiàn)象。因此提出了“巧用數(shù)學(xué)原始形態(tài)，找到教學(xué)生長點;巧建數(shù)學(xué)進化模型，找到教學(xué)關(guān)鍵點;巧變數(shù)學(xué)生活問題，找到教學(xué)鏈接點”的策略。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);問題情境;抽取信息

關(guān)于問題解決的例題，人教版低年級教材出示 “知道了什么？”，中高年級教材則出示“閱讀與理解”。抽取信息是問題解決的第一步。如何對數(shù)學(xué)信息抽絲剝繭，顯得尤為重要。長期以來，學(xué)生抽取信息時依賴教師的講解，這無疑是對學(xué)生獨立獲取信息的能力和思考能力都是不利的。因此，抽取有效信息是提高學(xué)生問題解決能力的重要一環(huán)。

一、關(guān)于問題情境的呈現(xiàn)方式

《新教材》創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生認知水平的問題情境，分為外顯和內(nèi)隱兩種方式：

外顯問題情境一般以學(xué)生熟悉的背景為元素，結(jié)合文字、數(shù)學(xué)符號、圖形、圖表等文本呈現(xiàn)（如圖1），容易剝離情境，可直接抽取或者僅需一步推算即可。

內(nèi)隱的情境則需聯(lián)系數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系等。數(shù)學(xué)特征不明顯，需要在理解的基礎(chǔ)上選擇恰當?shù)姆椒?，涉及兩步或兩步以上的推理和運算（如圖2）。

學(xué)生對不同的信息理解的程度有所不同，對于熟悉的素材和信息簡單的情境，學(xué)生能抽取信息的“骨架”，比較順利地解決問題。對于抽象的素材以及“混合文本”，學(xué)生缺少有效的分析方法。

二、抽取信息時產(chǎn)生的易錯現(xiàn)象

小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的信息呈現(xiàn)形式比較多樣，需要學(xué)生重新組織問題情境，還要篩選多余條件和挖掘隱藏的條件。面對問題情境，學(xué)生常會讀一遍題目，然后就不知從何下手。學(xué)生不能從問題中抽取有效信息，那更談不上解決問題了。

（一）由于缺乏對數(shù)學(xué)情境的閱讀，不會重組信息。面對問題情境，學(xué)生把題目隨意看一遍，沒有把信息串聯(lián)起來，感到茫然失措，然后亂做。由于對圖文中的詞義不理解，難以進入情境，不會把它重組成一個含有條件和問題的情境。

（二）由于容易受語境干擾，不會篩選。在問題情境中，結(jié)構(gòu)不一定良好的，情境可能是復(fù)雜的，數(shù)據(jù)需要取舍。學(xué)生容易受多余或不足條件等障礙的干擾，對條件取舍不當，篩選不出關(guān)鍵的信息（如圖3）。

（三）由于沒挖掘隱含的數(shù)量關(guān)系，不會分析。問題情境往往對一些關(guān)鍵詞或句的理解有所側(cè)重（如圖4），還隱含著重要的數(shù)量關(guān)系，需要學(xué)生用四則運算的意義架起理解的橋梁。學(xué)生往往沒有分析到信息與信息之間，信息與問題之間的關(guān)系，因此沒能有效地往問題解決的下一步思考。

（四）由于思路不清晰，會做但不會表達。學(xué)生解決問題的結(jié)果對了，但是當教師讓學(xué)生表達獲取了什么數(shù)學(xué)信息時，學(xué)生表達的語言組織無序，條理不清晰，表達不出重點的條件和問題。

三、從原始到進化再蛻變，方能抽絲剝繭

數(shù)學(xué)來源于生活，高于生活，用于生活。把課堂回歸到生活，找到數(shù)學(xué)的原始形態(tài)，在教學(xué)中讓學(xué)生“跳一跳摘果子”。但片面化以“生活味”作為生活化，并不是真正意義的數(shù)學(xué)生活化，還得把現(xiàn)實問題進化到數(shù)學(xué)問題。通過建模，不斷提煉、抽象、概括，直到“數(shù)學(xué)化”。最后應(yīng)用數(shù)學(xué)本領(lǐng)，蛻變到現(xiàn)實世界中去，自然而然通過識別、篩選、轉(zhuǎn)化、表達，把問題情境中的具體問題轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學(xué)問題。

（一）巧用數(shù)學(xué)原始形態(tài)，找到教學(xué)生長點

面對枯燥的問題情境，學(xué)生心里會產(chǎn)生距離感，這樣很容易給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)蒙上一層嚴肅的面紗。如果把連接問題情境和生活資源的經(jīng)脈打通，那問題解決在學(xué)生的眼中變得平易近人、奇妙有趣了。

1.抓住數(shù)學(xué)問題在生活中的原型，摸到數(shù)學(xué)的根

抽象的數(shù)學(xué)概念往往是在生活概念的基礎(chǔ)上，對事物的現(xiàn)象和共性的符號化的提煉，所以每個數(shù)學(xué)知識都有它生活的根，也就是最原始的形態(tài)、知識表象。它就像樹根一樣，決定了學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識的生長點。

【案例1】植樹問題

“植樹問題”是一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題。主要分析“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”的三種關(guān)系。兩頭都種，棵數(shù)=間隔數(shù)+1;兩頭都不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1;一頭種一頭不種，棵數(shù)=間隔數(shù)。然后將此公式模型應(yīng)用于實際問題?！爸矘鋯栴}”的三種情況很容易混淆，特別是逆推時的情況。為此，需要找到其原始的根，讓原始形態(tài)催化“植樹問題”。

情境一：出示生活中爬樓梯、鋸木、排隊的間隔情境;再到校園中樹與樹之間、學(xué)生與學(xué)生之間、路燈與路燈之間的間隔情境;最后到自身手指與手指之間的間隔情境，找到間隔這個概念在生活的原始形態(tài)，創(chuàng)建一個學(xué)生伸手可得的直觀原型，能真切地觸摸到“間隔”在生活中的根。

情境二：直接從除法的意義入手，把平均分引申到植樹問題。通過對比兩個問題“20米路，每5米分一段，共分幾段”和“20米路，每5米栽一棵，共栽幾棵樹”，讓學(xué)生明白植樹問題是在以前學(xué)過的“平均分”基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，并明確區(qū)別平均分是一段一段地分，而植的樹是在段與段之間的點上。從而找到植樹問題的原始形態(tài)是“平均分”，再過渡到點和段的問題。

情境三：以“植樹”為載體，滲透“化繁為簡”的思想生長點。原來的問題情境“在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都要栽），一共要栽多少棵樹？”讓學(xué)生感受到“直接研究大數(shù)據(jù)100米比較難”，于是把復(fù)雜數(shù)據(jù)變成簡單數(shù)據(jù)，先研究“小數(shù)據(jù)20米”的情況，再找規(guī)律推理出“大數(shù)據(jù)100米”的情況。

情境四：以微課《植樹問題—記憶小竅門》進行原始模擬，促進“植樹問題”的生長。通過觀看微課視頻，把手張開，五指四空相當于兩端都種的情況，表示“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”;把大拇指彎曲一下，四指四空相當于一頭種，一頭不種的情況，表示“棵數(shù)=間隔數(shù)”;把大拇指和小指同時彎曲，三指四空相當于兩端都不種的情況，表示“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”。最后還可以把手旋轉(zhuǎn)90度，變成“爬樓梯問題”等“植樹問題”的演變。

生活中數(shù)學(xué)原始形態(tài)牽連著數(shù)學(xué)知識的“心”，找到它們之間內(nèi)在的聯(lián)系，才能找到教學(xué)中的生長點。

2.從已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的雛形

生活經(jīng)驗給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供感覺，圍繞小學(xué)生的生活經(jīng)驗，把“經(jīng)驗”激活，促進數(shù)學(xué)知識生長，提升抽取信息的能力。

【案例2】求不規(guī)則物體的體積

求不規(guī)則物體的體積用到的基本策略有兩個：一是將不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化為規(guī)則物體;二是用排水法來測量不規(guī)則物體的體積，其基本的數(shù)量關(guān)系是“總體積—水的體積=物體的體積”。兩種方法本質(zhì)上都利用了轉(zhuǎn)化的思想，把先前所獲得的知識用于新的、不熟悉的情境的過程。

情境一：喚醒學(xué)生玩橡皮泥的經(jīng)驗，感受等積變形。如圖5，五年級的學(xué)生在生活中見過雪梨，玩過橡皮泥，能直觀感受雪梨和橡皮泥都是不規(guī)則的物體，不同的是橡皮泥可以捏壓變形。在教學(xué)時，喚醒學(xué)生玩橡皮泥的經(jīng)驗，拿橡皮泥可變形的特性大做文章。提問：乍一看，橡皮泥的體積我們不能直接求出來，但它可以變形，我們又學(xué)過長方體和正方體的體積，如果……？這里留白，給予學(xué)生充分的時間思考，學(xué)生雖然沒有現(xiàn)場玩橡皮泥，但在頭腦中想象玩橡皮泥的經(jīng)驗，很快便知道：把它捏成長方體或正方體這樣的圖形就可以計算出體積了。

情境二：激活《烏鴉喝水》的經(jīng)驗，類比捏橡皮泥等積變形的轉(zhuǎn)化?？梢园严鹌つ嗄蟪梢?guī)則圖形的體積來研究，形狀變了，但體積不變。追問：那雪梨呢？它是不規(guī)則物體，又不能變形。怎么辦呢？這時，學(xué)生皺著眉頭，苦思冥想。教師此時誘一誘學(xué)生，晾出《烏鴉喝水》這個故事圖。學(xué)生已經(jīng)學(xué)過《烏鴉喝水》的故事情境，在頭腦中想象烏鴉借助石頭把水排出來的情景，很快學(xué)生就聯(lián)想到用排水法求不規(guī)則雪梨的體積，從而找到解決問題的出路。

（二）巧建數(shù)學(xué)進化模型，找到教學(xué)關(guān)鍵點

北京師范大學(xué)周玉仁教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》指出，小學(xué)生在解決問題的過程中，實質(zhì)上是完成了兩次認識上的轉(zhuǎn)化。抽取數(shù)學(xué)信息是第一個轉(zhuǎn)化，指從紛亂的實際問題中收集、觀察、比較、篩選出有用的信息從而抽象出數(shù)學(xué)問題。

在問題情境中建立數(shù)學(xué)進化模型充當轉(zhuǎn)譯，使條件與問題“雙向通路”。數(shù)學(xué)進化模型的優(yōu)勢在于既聯(lián)系問題情境，又轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)難度低的問題。數(shù)學(xué)進化模型包括把信息進化成表格、把信息進化成圖、把信息進化成數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)。

1.整理信息，進化成表格

學(xué)生面對混亂的信息時，教師要讓學(xué)生感受“需要整理”的迫切性，引導(dǎo)學(xué)生把信息進化成表格。列表僅是一種呈現(xiàn)形式，其背后蘊含著學(xué)生獨立整理信息、抽取有效信息的意識。

【案例3】應(yīng)用估算解決實際問題

在教學(xué)過程中先讓學(xué)生把信息一項一項找出來，再把信息板打亂（如圖6）。

師問：這么多信息，一下子不好判斷，所以我們需要——

生答：需要整理這些信息。

接著把信息進行分類（如圖7）。

為了加固，給它加個邊框，變成3行、3列，形成簡單表格（如圖8）。

最后歸類完善（如圖9）。

形成表格后，讓學(xué)生觀察把信息整理成表格的好處。學(xué)生很快就能從表格中找到數(shù)量關(guān)系，最后再小結(jié)列表整理信息的好處。

2.壓縮情境，進化成圖

遇到復(fù)雜的信息時，壓縮情境，進化成圖，使問題變得更加容易。同時，讓學(xué)生感受畫圖的意義，幫助理解抽象的數(shù)量關(guān)系，感悟圖的直觀性，從而為學(xué)生自覺畫圖解決問題做了很好的鋪墊。

【案例4】連續(xù)求一個數(shù)的幾分之幾的應(yīng)用

學(xué)生通過文字信息，難以理解蘿卜地面積與大棚面積關(guān)系;紅蘿卜地面積與整個蘿卜地面積的關(guān)系;紅蘿卜地與整個大棚面積的關(guān)系。此時不妨引導(dǎo)學(xué)生畫圖看看效果，再交流對比，凸顯畫圖的價值。

把信息進化成圖，需要描述并提煉情境中關(guān)鍵的數(shù)學(xué)要素。在抽取信息的過程中，要主動見數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合。想到哪里有困難，想不清了，學(xué)生會不自覺產(chǎn)生畫圖的需要，從中更清晰地理解和分析數(shù)量關(guān)系。

3.進化成易理解的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)

小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)可以分為五種結(jié)構(gòu)：加法、減法、乘法、等分除、包含除。這五種運算結(jié)構(gòu)總的來說都屬于部分與整體的關(guān)系。掌握部分與整體的關(guān)系，就是解決問題的關(guān)鍵。在教學(xué)時，可以把問題情境的信息拆解、分析成學(xué)生容易接受的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)。

【案例5】公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的應(yīng)用

學(xué)生已經(jīng)知道因數(shù)和倍數(shù)是在整除的情況下產(chǎn)生的，此時才能說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)。出示問題“有一些小朋友在排隊，6人為一組或9人為一組，都剛好沒有剩余，人數(shù)在40人以內(nèi)，問這里可能有多少人？”

讓學(xué)生用兩條除法等式表示情境。

（? ? ）÷6=（? ? ）

（? ? ）÷9=（? ? ）

接著進化成容易理解的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)：總?cè)藬?shù)÷每組人數(shù)=組數(shù)

因為總?cè)藬?shù)相同，把括號改成框框。

然后找到解題的關(guān)鍵：總?cè)藬?shù)既是6的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)，也就是6和9的公倍數(shù)?？?cè)藬?shù)在40人以內(nèi)，也就是求40以內(nèi)6和9的公倍數(shù)。

在復(fù)雜的信息中，從情境剝離，替換成對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，聚焦某一數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，找準關(guān)鍵點就可突圍了。

（三）巧變數(shù)學(xué)生活問題，找到教學(xué)鏈接點

提高學(xué)生抽取信息的能力最好的方式就是一次次推進“改變的生活問題”，靠近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，借助一把梯子，找到數(shù)學(xué)知識的鏈接點。

1.巧變生活素材內(nèi)容，讓學(xué)生“找最近的教具”動手操作

【案例6】公因數(shù)和最大公因數(shù)的應(yīng)用

教材的例題（如圖10）。例題涉及二維空間，學(xué)生難以突破正方形邊長分別與長方形貯藏室長和寬的關(guān)系。

因此，在教學(xué)時“找最近的教具”，巧妙地改成“數(shù)筆的問題”：請同學(xué)們準備好6支鉛筆，8支圓珠筆，分別分給同一些同學(xué)，都正好分完。這里最多可能有幾位同學(xué)？每人得到幾支鉛筆，幾支圓珠筆？

學(xué)生在動手分筆的過程中，對6和8的公因數(shù)形成天然的領(lǐng)悟。

2.選擇采用不同的生活文本形式，讓學(xué)生養(yǎng)成融合信息的習(xí)慣

在練習(xí)的過程中，可以呈現(xiàn)數(shù)學(xué)相關(guān)的繪本、故事、新聞等生活信息，讓學(xué)生把信息融合重組成簡單而突出重點的語句，積累處理非標準文本的經(jīng)驗。

3.加入語境干擾，提高學(xué)生分析和處理信息的能力

首先數(shù)據(jù)要取舍得當。抽取信息的過程中，要排除多余條件，不要在枝節(jié)問題上糾纏，在抽取信息時，可借助信息處理參考表進行分析。

然后挖掘隱含的數(shù)學(xué)信息，發(fā)現(xiàn)已知信息與問題目標之間的聯(lián)系。如圖11，在教學(xué)時，讓學(xué)生在“在變中找不變”，雖然形狀變了，但正方體的體積和長方體體積相等。從“形變等積”這個結(jié)構(gòu)出發(fā)，建立題目中隱含條件之間的關(guān)系，找到解決問題的關(guān)鍵。

俗話說：“唯有源頭活水來?！背槿⌒畔⑹菃栴}解決的源頭，需要學(xué)生多讀，其義自現(xiàn);需要學(xué)生養(yǎng)成抽取信息的習(xí)慣，篩選、挖掘、提煉、改造信息;學(xué)會用圖、表、數(shù)量關(guān)系等形式去表達。抽取信息的素養(yǎng)非一日之功，需要親自“想數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”“說數(shù)學(xué)”，方能抽絲剝繭。

【參考文獻】

[1]郜舒竹.問題解決與數(shù)學(xué)思考[M].北京：北京首都師范大學(xué)出版社，2007.

[2]王光明.新版課程標準解析與教學(xué)指導(dǎo)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2018.

[3]上海出版社.小學(xué)數(shù)學(xué)教師[J].上海出版社，2016（3）.

[4]馮克永.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生獨立獲取數(shù)學(xué)知識能力的研究.

[5]李修昂.小學(xué)低年級學(xué)生獲取組織表達數(shù)學(xué)信息能力現(xiàn)狀的分析.

[6]中國人民大學(xué)書報資料中心.小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（3）.

（責任編輯：洪冬梅）