締合勒讓德函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)向前按列遞推公式

張捍衛(wèi) 張 華 李鵬杰

1 河南理工大學(xué)測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院，河南省焦作市世紀(jì)大道2001號(hào)，454000

研究地球重力場(chǎng)需要計(jì)算fnALFs數(shù)值及其各階導(dǎo)數(shù)和定積分?jǐn)?shù)值，使用的遞推公式目前主要有標(biāo)準(zhǔn)向前按列或行遞推公式[1-2]、貝爾科夫遞推公式[3]及跨階次遞推公式[4]等。隨著衛(wèi)星重力學(xué)研究的發(fā)展，需要計(jì)算超高階的fnALFs數(shù)值，目前主要通過(guò)選擇合適的計(jì)算方法和修正語(yǔ)言編程2種途徑來(lái)提高計(jì)算速度和擴(kuò)展遞推階次，如傅里葉級(jí)數(shù)展開法[5-7]和多項(xiàng)式逼近法[8]等。

標(biāo)準(zhǔn)向前按列遞推公式的應(yīng)用很廣泛[9-12]，但這些研究都是通過(guò)對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)來(lái)擴(kuò)展遞推階次。本文不討論算法，只是在Paul[1]理論研究的基礎(chǔ)上完善扇諧項(xiàng)和準(zhǔn)扇諧項(xiàng)推導(dǎo)的嚴(yán)謹(jǐn)性，基于fnALFs的2個(gè)導(dǎo)數(shù)公式給出推導(dǎo)fnALFs定積分遞推公式的新方法，且本文給出的遞推公式可從第2階開始遞推。

1 關(guān)于fnALFs及其積分的按列遞推公式

首先給出完善后的fnALFs標(biāo)準(zhǔn)按列遞推公式：

(1)

式中，θ∈[0,π]。其中，

fnALFs定積分的標(biāo)準(zhǔn)按列遞推公式為：

(2)

當(dāng)積分區(qū)間很小時(shí)，可采用式(3)：

(3)

以上公式的精度評(píng)定見文獻(xiàn)[1]。

2 關(guān)于式(1)的證明

關(guān)于n階的勒讓德函數(shù)[13-15]為：

(4)

式中，int[·]表示取整數(shù)，n=0,1,2,…。

關(guān)于n階m次的ALFs[13-15]為：

(5)

顯然，當(dāng)m=0時(shí)，式(5)等同于式(4)。關(guān)于fnALFs的定義[13-15]為：

(6)

(7)

根據(jù)式(5)可得：

(8)

根據(jù)式(8)可直接得到：

(9)

將式(9)規(guī)格化，就可得到式(1)中第2種和第3種情況。

3 關(guān)于式(2)的證明

定義ALFs的3個(gè)定積分公式：

(10)

(11)

ALFs的一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式[15]為：

(12)

另一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式[15]為：

(13)

式(13)可根據(jù)式(5)直接得到。設(shè)有：

(14)

對(duì)式(14)采用分部積分法，并考慮式(10)和式(11)可得：

(15)

同理，根據(jù)式(12)和式(13)可得：

(16)

(17)

根據(jù)式(7)可得：

(18)

根據(jù)式(15)～式(18)可得：

(19)

式(19)只適用于0≤m≤(n-2)的情況。

(20)

在式(19)中，令m=n-1且不考慮等號(hào)右端第1項(xiàng)，就等價(jià)于式(20)。將式(19)和式(20)規(guī)格化，就可得到式(2)中第1種和第2種情況。

(21)

在兩極附近y=sinθ值很小，依據(jù)式(21)的遞推會(huì)產(chǎn)生較大誤差。根據(jù)

可得：

(22)

將式(21)和式(22)規(guī)格化，可得式(2)中第3種情況和式(3)。關(guān)于式(2)中第3種情況，文獻(xiàn)[1]給出的系數(shù)為：

(23)

這顯然與本文結(jié)果不一致。由此可見，文獻(xiàn)[1]中的公式只能從第3階開始遞推，而不能從第2階開始遞推。

4 數(shù)值計(jì)算與分析

第n階fnALFs數(shù)值計(jì)算結(jié)果的精度檢驗(yàn)公式[1]為：

(24)

關(guān)于fnALFs數(shù)值積分最簡(jiǎn)單的精度檢驗(yàn)公式[1]為：

(25)

圖1 公式(1)的適用性(T(n)<10-12)Fig.1 Applicabilty to equation (1)

圖1表明，在±23°緯度范圍內(nèi)，式(1)可將fnALFs遞推至9 000階；在±44°、±62°和±86°緯度范圍內(nèi)，可分別將fnALFs遞推至3 000階、2 000階和1 000階。在兩極區(qū)域(緯度絕對(duì)值大于86°范圍內(nèi))，遞推公式效果較差。

圖2 θ1=45°、θ2=46°且n=2 000階時(shí)積分?jǐn)?shù)值結(jié)果Fig.2 Integral numerical results when θ1=45°,θ2=46°,n=2 000

圖3 θ1=5°、θ2=6°且n=1 000階時(shí)積分?jǐn)?shù)值結(jié)果Fig.3 Integral numerical results when θ1=5°,θ2=6°,n=1 000

5 結(jié) 語(yǔ)

實(shí)際上，ALFs的帶諧項(xiàng)(次為零)、扇諧項(xiàng)(次等于階)、準(zhǔn)帶諧項(xiàng)(次等于1)及準(zhǔn)扇諧項(xiàng)(次為階減1)很特殊，統(tǒng)稱為邊界項(xiàng)，在其他形式遞推公式的推導(dǎo)過(guò)程中表現(xiàn)尤為明顯，甚至要擴(kuò)展邊界項(xiàng)范圍，邊界項(xiàng)的遞推必須單獨(dú)討論。

ALFs導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用廣泛，由其推導(dǎo)ALFs定積分公式的過(guò)程顯得很簡(jiǎn)單。遞推公式應(yīng)明確指出最低可從第幾階開始，不然在應(yīng)用中難免會(huì)出錯(cuò)。根據(jù)式(15)～式(18)還可得到如下2個(gè)形式的積分公式：

(26)

(27)

式(26)和式(27)只是一個(gè)計(jì)算式，當(dāng)然也可得到其遞推公式。

本文完善了ALFs扇諧項(xiàng)和準(zhǔn)扇諧項(xiàng)的遞推公式，利用ALFs的2個(gè)導(dǎo)數(shù)公式給出了定積分的標(biāo)準(zhǔn)向前按列遞推公式，使推導(dǎo)過(guò)程更簡(jiǎn)明，可為ALFs的理論研究提供一定的參考。