最小二乘諧波估計對GNSS坐標(biāo)時間序列多路徑效應(yīng)提取能力的研究

曹婷婷 李志峰 茍浩洋

1 同濟(jì)大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海市四平路1239號，200092 2 山東省交通規(guī)劃設(shè)計院有限公司，濟(jì)南市無影山西路576號，250000

在GNSS變形監(jiān)測領(lǐng)域，由于衛(wèi)星信號在傳播過程中不可避免地受變形體或其周圍環(huán)境干擾，會出現(xiàn)多路徑效應(yīng)。多路徑效應(yīng)無法通過雙差方式消除，且會隨監(jiān)測站周圍環(huán)境的變化而變化，嚴(yán)重影響GNSS監(jiān)測的精度。另外，由于監(jiān)測站與周圍環(huán)境均相對穩(wěn)定，多路徑效應(yīng)表現(xiàn)出明顯的周期性特征[1]，其與真實(shí)變形信號混雜在一起，嚴(yán)重干擾觀測人員對變形體真實(shí)運(yùn)動狀態(tài)的判斷。因此，如何有效提取多路徑效應(yīng)及削弱多路徑效應(yīng)的影響是GNSS變形監(jiān)測領(lǐng)域需要解決的重點(diǎn)問題，許多學(xué)者在相關(guān)方面都進(jìn)行過研究[2-5]。最小二乘諧波估計最早由Amiri-Simkooei等[6-7]于2007年提出，并將其應(yīng)用于提取GNSS坐標(biāo)時間序列中的周期項(xiàng)信號和海平面高程時間序列中的周期項(xiàng)信號。最小二乘諧波估計根據(jù)所用數(shù)據(jù)的不同可分為單元諧波估計和多元諧波估計，并且作為傅里葉變換的擴(kuò)展，其既不要求數(shù)據(jù)均勻分布，對周期項(xiàng)信號的波長也沒有整數(shù)周的要求，很適用于對變形監(jiān)測GNSS坐標(biāo)時間序列中多路徑效應(yīng)的提取。

本文主要研究最小二乘諧波估計在提取GNSS坐標(biāo)時間序列中多路徑效應(yīng)方面的效果，并對比單元諧波估計和多元諧波估計的優(yōu)劣。考慮到多路徑效應(yīng)常常與變形信號混雜，本文選取GNSS坐標(biāo)時間序列僅受白噪聲和多路徑效應(yīng)影響的穩(wěn)定監(jiān)測站數(shù)據(jù)，根據(jù)剔除多路徑效應(yīng)后GNSS坐標(biāo)時間序列的穩(wěn)定性，可直觀地評價不同方法提取多路徑效應(yīng)的效果。

1 分析方法

假設(shè)存在以下線性觀測方程：

E(y)=Ax,D(y)=Qy

(1)

式中，E(*)、D(*)分別代表期望與方差；y為維度為n×1的觀測值向量，n為觀測值的個數(shù)；x為維度為m×1的參數(shù)向量，m為參數(shù)的個數(shù)；A為參數(shù)向量的系數(shù)矩陣，維度為n×m；Qy為觀測值向量對應(yīng)方差的協(xié)方差矩陣，維度為m×m。由于模型中存在未知的周期項(xiàng)信號，矩陣A是未知的。最小二乘諧波估計將周期項(xiàng)信號以諧波函數(shù)的形式考慮在數(shù)學(xué)模型中，并通過參數(shù)顯著性檢驗(yàn)來確定最優(yōu)矩陣A。

1.1 單元諧波估計

根據(jù)傅里葉變換理論，對于任意給定的時間序列，可分解為一系列的正弦波akcosωkt+bksinωkt,k=1,…,q，因此式(1)可寫為：

(2)

其中，

1.2 多元諧波估計

多元諧波估計作為單元諧波估計的擴(kuò)展，認(rèn)為多個時間序列中的周期項(xiàng)信號相同，且每個時間序列中的A也相同，則(2)式可改寫為：

E(vec(Y))=(Ir?A)vec(X)+

(3)

2 算例分析

2.1 數(shù)據(jù)來源

本文數(shù)據(jù)來源于同濟(jì)大學(xué)測繪學(xué)院樓頂4個監(jiān)測點(diǎn)(TJ01、TJ02、TJ03、TJ04)2020-12-01～12-02的監(jiān)測結(jié)果。由于監(jiān)測點(diǎn)實(shí)際上并沒有發(fā)生位移，因此GNSS坐標(biāo)時間序列的波動均是由多路徑效應(yīng)和噪聲引起的。另外，由于多路徑效應(yīng)受衛(wèi)星入射角和周圍環(huán)境共同作用，考慮到這些監(jiān)測點(diǎn)的距離十分接近，對應(yīng)于同一衛(wèi)星的入射角幾乎完全一樣，因此可認(rèn)為這些監(jiān)測點(diǎn)的多路徑效應(yīng)具有相同的周期性特征。各監(jiān)測點(diǎn)的GNSS坐標(biāo)時間序列由同濟(jì)大學(xué)自主研發(fā)的Ademos高精度監(jiān)測軟件實(shí)時解算得到，結(jié)果數(shù)據(jù)的采樣間隔為1 min。

2.2 單元最小二乘諧波估計

以TJ01點(diǎn)為例進(jìn)行單元最小二乘諧波估計分析，圖1展示了12-01 TJ01點(diǎn)去噪前后坐標(biāo)時間序列的變化情況。本文利用12-02數(shù)據(jù)，特意在08:00和18:00附近各模擬了1 h的監(jiān)測中斷，用于進(jìn)一步分析在數(shù)據(jù)發(fā)生中斷的情況下多路徑效應(yīng)的提取效果，并在圖2展示了去噪前后坐標(biāo)時間序列的變化情況。為便于查看，有意將去噪后的坐標(biāo)時間序列向下偏移10 cm，圖中線條表示去噪前的時間序列，十字點(diǎn)表示去噪后的時間序列。由于監(jiān)測點(diǎn)實(shí)際沒有發(fā)生位移，原始GNSS坐標(biāo)時間序列中的不平穩(wěn)信號均是由多路徑效應(yīng)引起的，利用單元諧波估計提取多路徑效應(yīng)后，GNSS坐標(biāo)時間序列中明顯不再存在不穩(wěn)定信號，說明多路徑效應(yīng)得到了較好的剔除。將4個測點(diǎn)各自的信息進(jìn)行統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，經(jīng)單元諧波估計去噪后4個測點(diǎn)E、N、U三方向的平均剔除率分別為23.85%、25.88%、27.23%(12-01)及23.97%、21.68%、26.73%(12-02)，降噪效果明顯。由此可見，單元最小二乘諧波估計方法能有效提取GNSS坐標(biāo)時間序列中的多路徑效應(yīng)。

圖1 TJ01點(diǎn)(12-01)單元諧波估計降噪前后對比Fig.1 Comparison betweenunit-harmonic estimations before and after de-noising at TJ01 station on 12-01

圖2 TJ01點(diǎn)(12-02)單元諧波估計降噪前后對比Fig.2 Comparison between unit-harmonic estimations before and after de-noising at TJ01 station on 12-02

2.3 多元最小二乘諧波估計

利用TJ01、TJ02、TJ03、TJ04監(jiān)測點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多元最小二乘諧波估計分析。與單元諧波估計類似，圖3和4分別展示了多元諧波估計12-01與12-02 TJ01點(diǎn)去噪前后的GNSS坐標(biāo)時間序列，為便于查看，仍將去噪后的GNSS坐標(biāo)時間序列向下偏移10 cm。原始GNSS坐標(biāo)時間序列中的不平穩(wěn)信號經(jīng)多元諧波估計提取多路徑效應(yīng)后，不再存在不穩(wěn)定信號，說明多路徑效應(yīng)得到了較好的剔除。將4個測點(diǎn)各自的信息進(jìn)行統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，經(jīng)多元諧波估計去噪后4個測點(diǎn)E、N、U三方向的平均剔除率分別為26.52%、28.38%、31.73%(12-01)及21.55%、17.03%、26.68%(12-02)。在未發(fā)生數(shù)據(jù)中斷的情況下，相比于單元諧波估計，多元諧波估計的去噪效果更明顯，E、N、U三方向的平均剔除率分別有2.67%、2.50%、4.48%的提高。但在數(shù)據(jù)中斷的情況下，單元諧波估計的去噪效果更好，相比于多元諧波估計，單元諧波估計在E、N、U三方向分別有2.42%、4.65%、0.05%的提高。

圖3 TJ01點(diǎn)(12-01)多元諧波估計降噪前后對比Fig.3 Comparison between mult-harmonic estimations before and after de-noising at TJ01 station on 12-01

圖4 TJ01點(diǎn)(12-02)多元諧波估計降噪前后對比Fig.4 Comparison between mult-harmonic estimations before and after de-noising at TJ01 station on 12-02

3 結(jié) 語

本文首先介紹了2種最小二乘諧波估計方法的數(shù)學(xué)原理及實(shí)現(xiàn)步驟，并通過實(shí)驗(yàn)對比分析了單元諧波估計和多元諧波估計對GNSS坐標(biāo)時間序列中多路徑效應(yīng)的提取能力。結(jié)果表明，單元諧波估計和多元諧波估計均可用于提取GNSS坐標(biāo)時間序列中的多路徑效應(yīng)，不論監(jiān)測數(shù)據(jù)是否發(fā)生中斷，均能獲得較好的去噪效果。在監(jiān)測數(shù)據(jù)無長時間中斷的情況下，多元諧波估計相比于單元諧波估計具有更強(qiáng)的多路徑效應(yīng)提取能力，能更好地提取GNSS坐標(biāo)時間序列中的多路徑效應(yīng)；但若監(jiān)測數(shù)據(jù)存在較長時間的中斷，多元諧波估計并不能獲得比單元諧波估計更優(yōu)的提取效果。