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    基于單元統(tǒng)整的章起始課教學實踐探索
    ——以人教版“實數(shù)”為例

    2022-01-26 09:17:48邢成云
    中學教研(數(shù)學) 2022年2期
    關(guān)鍵詞:逆運算立方根平方根

    邢成云

    (北鎮(zhèn)中學實驗初中部,山東 濱州 256609)

    時下,單元整體化教學備受關(guān)注,這也是筆者從教以來的探索研究,目前已形成了基于課程統(tǒng)整之上的整體化教學主張[1],其實這也是新的課程改革強調(diào)整體把握課程的大勢所趨.但理念愿景與現(xiàn)實行動之間往往有距離,因此理念如何真正落地才是關(guān)鍵.筆者在教學中主張對“章起始課”進行探索,較好地解決了這一問題.現(xiàn)以人教版初中《數(shù)學》第6章“實數(shù)”為例,展示章起始課的設(shè)計歷程,與諸位同仁共享.

    1 通觀資源,整體規(guī)劃

    1.1 對章前語、章頭圖的認識

    兩段文字一個圖,文圖呼應(yīng).第一段文字通過創(chuàng)設(shè)科學情景,引出了一個數(shù)學問題,即如何知道二次冪求底數(shù)的模型,揭開了本章的核心問題;第二段文字通過單位正方形獲得對角線的長度問題,這個長度數(shù)值不是有理數(shù),而是相克而生的一類數(shù)——無理數(shù),由此數(shù)系擴展為實數(shù),然后通過類比有理數(shù)引入實數(shù)在數(shù)軸上的表示及其運算,并用之解決實際問題.而章頭圖是火箭發(fā)射圖,呼應(yīng)了第一段文字的科學情境.總之,章前語、章頭圖共同把本章的核心內(nèi)容以及研究思路擺了出來,為章起始課的設(shè)計提供了統(tǒng)攝性材料.

    1.2 立足課標,解讀教材

    課標中對應(yīng)本章課程內(nèi)容:

    1)了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念,會用根號表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根;

    2)了解乘方與開方互為逆運算,會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根,會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)(對應(yīng)的負整數(shù))的立方根,會用計算器求平方根和立方根;

    3)了解無理數(shù)和實數(shù)的概念,知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng),能求實數(shù)的相反數(shù)與絕對值;

    4)能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍(可參見文獻[2]中的例47,此處略);

    5)了解近似數(shù),在解決實際問題中,能用計算器進行近似計算,并會按問題的要求對結(jié)果取近似值;

    6)了解二次根式、最簡二次根式的概念,了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、乘、除運算法則,會用它們進行簡單的四則運算(可參見文獻[2]中的例48).

    在無理式退出義務(wù)教育教材后,二次根式被劃進了實數(shù)大范圍,這一大范圍在現(xiàn)行的人教版教材中被分化為兩章:一是七年級下冊的“實數(shù)”;二是八年級下冊的“二次根式”.作為七年級下冊的“實數(shù)”,其學習目標是前5條(見前文),第6條是二次根式的學習目標.

    以上內(nèi)容不僅是后面學習二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎(chǔ),也為高中數(shù)學中學習不等式、函數(shù)以及解析幾何等大部分知識做好“四基”的儲備.

    1.3 育人價值分析

    1.4 整體規(guī)劃單元學程

    第一課時是章起始課.整體統(tǒng)攝,勾勒出本章的結(jié)構(gòu)圖(把教材的章前語、“閱讀與思考”融入).

    第二課時是順承鞏固課.在章起始課的基礎(chǔ)上,進一步認識平方根、立方根以及算術(shù)平方根等概念及簡單運算(把教材“活動1”融入,布置為課后作業(yè),實現(xiàn)動手與動腦的結(jié)合).

    第三課時是深度探研課.在章起始課的基礎(chǔ)上,深化認識無理數(shù)、實數(shù)等概念,以有理數(shù)運算為基礎(chǔ),同構(gòu)實數(shù)運算,感知數(shù)的發(fā)展歷程,形成對實數(shù)的深入認識.

    第四課時是小結(jié)統(tǒng)合課.本節(jié)課是對本章的二次統(tǒng)整,立足教材小結(jié),形成完善的知識結(jié)構(gòu),從而提高學生整理知識、反思建構(gòu)的學習力(把教材活動2融入,布置為課后選作作業(yè),給有興趣的學生以思維進階的機會).

    第五課時是分層考查課.分A,B,C三層級設(shè)立評價題目,形成AB,BC兩個組合,由學生自選進行測試,其中A對應(yīng)教材的拓廣探索題,B對應(yīng)教材的綜合運用題,C對應(yīng)教材的復(fù)習鞏固題.B是保底評價題目,A,C兩組題等分值設(shè)計.

    根據(jù)“單元—課時”設(shè)計,本節(jié)起始課即為單元設(shè)計中的第一課時.

    2 立足起始,整體統(tǒng)攝

    2.1 教學目標

    1)利用逆運算,獲得平方根的概念,進而認識其基本性質(zhì),在此基礎(chǔ)上獲得算術(shù)平方根,會用根號表示,并了解算術(shù)平方根的非負性,明晰算術(shù)平方根與平方根的種屬關(guān)系;

    2)通過類比獲得立方根的概念及有關(guān)性質(zhì);

    4)通過漸成性板書勾勒出本章的知識概貌,形成整體研究路徑.

    2.2 教學重難點

    重點:平方根(算術(shù)平方根)的概念及單元統(tǒng)攝結(jié)構(gòu)的形成.

    難點:平方根概念的獲得以及對無理數(shù)的初步認識.

    2.3 教學過程設(shè)計

    環(huán)節(jié)1起于拼圖.

    問題1用兩張面積為1的正方形紙片,能否通過有限次的剪切、拼接,拼出無縫隙的新正方形,用圖示展示自己的拼法,并說明為什么能實現(xiàn)拼接.

    教學說明事先安排學生課前先行嘗試,動手拼圖,課堂上用來展示與交流理由,以感知面積等于2的正方形邊長的客觀存在性.

    學生展示兩類拼圖(如圖1和圖2所示),引出關(guān)系式x2=2.

    圖1 圖2

    設(shè)計意圖面積、體積是平方根、立方根的依附載體,正方形的面積、立方體的體積是平方、立方的可感質(zhì)體,是數(shù)與形結(jié)合的有效介質(zhì),這為學生拼圖的可行性奠定了基礎(chǔ),讓平方的逆運算有了可感的元素.基于此,利用教材中第41頁的拼圖作為先行組織者,把核心問題揭示出來.

    環(huán)節(jié)2成于互逆.

    問題2章前語中第一段提出的問題以及環(huán)節(jié)1中的拼圖形成的關(guān)系可抽象為x2=m的形式,這里m是已知的,求x的取值.由此我們聯(lián)想到以前是怎么處理的?

    教學說明通過一組填空喚起學生用逆運算研究的想法,然后引導(dǎo)學生回顧學過的逆運算:

    -3+(12)=9, -3×(-3)=9,

    -3+( )=9, -3×( )=9.

    加減互逆:a+b=c→a=c-b,b=c-a.

    順勢出示(-3)2=9與( )2=9,在師生問答中提出問題3.

    問題3加法與減法互為逆運算,乘法與除法也互為逆運算.那么“已知指數(shù)2與冪m,求底數(shù)x”是什么運算呢?它和平方運算有什么關(guān)系呢?

    預(yù)設(shè)由此又會出現(xiàn)一種新的運算叫開平方運算,結(jié)果叫平方根或二次方根,它與平方運算是互逆關(guān)系.

    設(shè)計說明利用逆運算(類比加減互逆、乘除互逆),引出新的運算——開平方運算(其本質(zhì)就是求形式最簡單的一元二次方程的根,故稱之為二次方根或平方根).

    問題4請同學們通過嘗試活動及對互逆的認識,試著給出二次方根的定義.

    預(yù)設(shè)一般地,如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根,也稱為二次方根(板書概念).求一個數(shù)a的平方根的運算,叫做開平方.

    為拓展數(shù)的開方運算為式的開方運算,根據(jù)學情,若學生整體水平較高,則可增加一組練習如下:

    1)求方程x2=4中x的值;

    2)請觀察下列方程,它們是怎樣由方程x2=4逐步轉(zhuǎn)化的:x2-4=0,(x-2)2-4=0,2(x-2)2-8=0;

    設(shè)計說明本彈性環(huán)節(jié)既是拓展應(yīng)用,又為解方程做鋪墊.其中第1)小題是回歸定義求解,第2)小題是以第1)小題為基礎(chǔ)一步一步落實轉(zhuǎn)化的,在化歸中獲得解方程的基本思路,第3)小題是通過第2)小題獲得新發(fā)現(xiàn)并學以致用.

    合作活動生生互助:一位學生給出一個數(shù),另一位學生給出其平方根.

    預(yù)設(shè)通過這樣的開放性活動,學生會發(fā)現(xiàn):4,9,16等的平方根均有兩個,而2,5,6,7等的平方根沒法寫出來,-4,-16等的平方根又找不到,0的平方根只有一個……

    至此提出問題5.

    問題5學過的所有數(shù)是否都具有平方根呢?在求一個數(shù)的平方根的過程中會遇到哪些情況?

    以上活動充分暴露了一個數(shù)的平方根的各類情況,通過追問和追問之下學生的探索,平方根的性質(zhì)已成型,教師可以與學生一起歸納出平方根的性質(zhì)(教師板書,學生默記):

    1)一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);

    2)0有一個平方根,它是0本身;

    3)負數(shù)沒有平方根.

    問題6通過學生互助活動,已經(jīng)對平方根的性質(zhì)有了一定的認識.但在活動中,也遇到了像2,5,6,7,11等數(shù)的平方根感覺有但又說不出來的問題,怎么辦?

    問題7關(guān)于平方根,我們研究了哪些內(nèi)容?請同學們多角度地談?wù)剬ζ椒礁恼J識?

    預(yù)設(shè)從平方根的定義、性質(zhì)、與方程的關(guān)系、運算(逆運算)、符號、應(yīng)用等角度切入.

    設(shè)計說明學生在七年級上冊已學習了加、減、乘、除、乘方運算,積累了加和減、乘和除相互間存在互逆關(guān)系的數(shù)學活動經(jīng)驗.本環(huán)節(jié)基于學生的已有知識和已有經(jīng)驗,研究了平方的逆運算,即開平方,為后繼環(huán)節(jié)立方根的學習搭起了框架結(jié)構(gòu),它在教學內(nèi)容上起著統(tǒng)攝統(tǒng)領(lǐng)、承上啟下的作用.

    至此,思維啟動起來了,如果就此打住,就失去了思維進階的機會,由此,教師提出了問題8.

    環(huán)節(jié)3發(fā)于類比.

    問題8我們在學習數(shù)的平方后,還學習了立方以及乘方,體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法.類似地,在學完平方根后,還可以進一步研究什么?

    預(yù)設(shè)研究立方的逆運算以及一般性的乘方的逆運算.如果一個數(shù)x的立方等于a,那么x叫a的什么?如果一個數(shù)x的四次方及n次方等于a,那么x叫a的什么?……由此引出立方根、四次方根及一般意義上的方根(n次方根).

    相對應(yīng),立方與開立方也互為逆運算,即乘方與開方互為逆運算.

    設(shè)計說明通過類比,獲得開立方運算的結(jié)果稱為立方根,進而提出n次方根的概念,但限于學段認知,n次方根將在高中階段進一步學習,在此不展開,點到為止,只是為了實現(xiàn)從平方根到n次方根的貫通,體現(xiàn)前后一致性.初中階段僅研究偶次方根和奇次方根的兩個代表:平方根和立方根.這樣從特殊到一般的研究思路呈現(xiàn)出來,不但擴充了知識,更重要的是拓展了思維,這是基于素養(yǎng)、著眼發(fā)展的好舉措.

    問題9根據(jù)剛才平方根的學習經(jīng)驗,同學們認為可以如何研究立方根?請同學們設(shè)想立方根的學習思路.

    預(yù)設(shè)類比平方根的學習,我們需要研究立方根的定義、開立方的定義、立方根的性質(zhì)、與方程的關(guān)系、立方根的符號表示、立方根的應(yīng)用等.

    設(shè)計說明充分利用平方根教學過程所形成的大思路、大框架,引領(lǐng)出立方根的學習脈絡(luò),并共同服務(wù)于大概念的教學——乘方與開方運算的互逆性.一個是教結(jié)構(gòu),另一個是用結(jié)構(gòu),它們邏輯連貫、一脈相承地彰顯出來,其遷移性能得以展現(xiàn),這就是單元教學的價值所在.

    問題10請同學們從不同的角度談?wù)剬α⒎礁睦斫庖约捌椒礁?、立方根的區(qū)別與聯(lián)系.

    預(yù)設(shè)略.

    設(shè)計說明對比平方根和立方根的異同點,概括二者的相同點是一種同化過程,而理清二者的區(qū)別卻是一種分化活動.分化的過程促進了學生對概念的理解,便于學生將新概念納入已有的認知結(jié)構(gòu)中,加深對新、舊知識的聯(lián)系,優(yōu)化知識在大腦中的儲存和提取.

    環(huán)節(jié)4終于內(nèi)需.

    預(yù)設(shè)討論后指導(dǎo)學生閱讀人教版七年級下冊教材第58頁的“閱讀與思考”,初步感知無理數(shù).或通過梳理數(shù)的發(fā)展歷程的思路(再現(xiàn)數(shù)的邏輯發(fā)展歷程:用微視頻展播),然后對照這4個數(shù),發(fā)現(xiàn)它們不屬于前面學習的各類數(shù),那么它們到底屬于哪類數(shù)呢?

    由此,新的一類數(shù)出場的必要性突顯出來,這類數(shù)的價值性不用多言,順理成章,意義建構(gòu),有理數(shù)、無理數(shù)攜手出場,實數(shù)的概念水到渠成.至此,本章的概貌基本形成.

    環(huán)節(jié)5收于小結(jié).

    基于漸進性板書,知識系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖水到渠成,通過完善板書終成概貌.

    圖3

    設(shè)計說明結(jié)構(gòu)圖不僅僅是知識的組合,更是建立了一種知識點之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu),既可以展現(xiàn)學習的路徑,也能表達數(shù)學概念學習的一般套路.這是對策略性知識的滲透,也是一種著眼于學生會學的行動.

    3 教學反思

    3.1 重構(gòu)中厘清脈絡(luò)

    現(xiàn)行人教版教材的設(shè)計是把算術(shù)平方根設(shè)置為第一課時,然后才是平方根,隨后是立方根,最后是實數(shù)的學習,這個脈絡(luò)也體現(xiàn)了知識學習的基本路徑.但筆者認為,作為具有統(tǒng)領(lǐng)性的章起始課,需要把本章學習的脈絡(luò)厘清,讓學生能見到“森林”,讓知識之間的整體關(guān)聯(lián)更加密切.基于此,筆者對教材進行了解構(gòu)再統(tǒng)合,首先研究平方根,然后學習其中的特殊一族也是關(guān)鍵一族——算術(shù)平方根,如此,它們之間的一般與特殊的關(guān)系會愈加清晰,在此基礎(chǔ)上學習立方根將不成問題,就在這樣的研究過程中,不同于有理數(shù)的一類“數(shù)”登堂入室就水到渠成了.

    3.2 互逆中見諸生長

    平方與平方根、立方與立方根,相逆而生,代數(shù)中逆運算的構(gòu)建、幾何中逆命題的探索均是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的元認知性策略的踐行.追溯舊知尋源頭,邏輯發(fā)展即生長,是一種由內(nèi)(基于數(shù)學的內(nèi)部發(fā)展)而外的生成性學習,是對運算的自我完善,面對加、減、乘、除、乘方運算的發(fā)展,在加減互逆、乘除互逆已有現(xiàn)實經(jīng)驗的支持下,基于內(nèi)部自洽,自然留下一個思維缺口——乘方是否有逆運算的構(gòu)想.當然這樣的思考也是基于前4種運算一致性的認識,是“大概念引領(lǐng),大任務(wù)驅(qū)動”[3],是整體觀統(tǒng)攝、整體中孕育一貫、完善運算的行動.有了這種從逆運算角度引入新運算而完備知識系統(tǒng)的全息認識,使得教學更加自然順暢,更加順乎其然,展現(xiàn)出數(shù)學的本色.

    3.3 類比中一脈相承

    當平方根的學習落地后,類比平方根的研究思路自然獲得立方根的系列知識,這是基于一致性的落實,就是把平方根的研究思路(吳亞萍教授的“教結(jié)構(gòu)”)遷移到立方根的教學中來(用結(jié)構(gòu)).如此,不但是借了力,降低了學生的認知負荷,簡縮了探研時間,而且引導(dǎo)學生從學會走向了會學,真正落實了“教為主導(dǎo)、學為主體”的基本原則,在這樣的一脈中加強了知識的邏輯連貫,章起始課的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、整體性躍然紙上.

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