滲透在浙江數(shù)學(xué)高考題中的歸謬與反證思維

徐 劍, 步一雋

(1．杭州第十四中學(xué)，浙江 杭州 310006；2．杭州第四中學(xué)，浙江 杭州 310018)

2021年是浙江省數(shù)學(xué)高考文理合卷的第5年，命題繼續(xù)秉承知識與能力并重的理念，以考生未來發(fā)展為本，聚焦考查數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)．堅持全面考查基礎(chǔ)知識、基本方法與技能，注重數(shù)學(xué)思想，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)；堅持以能力立意，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的考查，突出理性思維與數(shù)學(xué)探究．浙江省數(shù)學(xué)高考命題也繼續(xù)保持傳承與創(chuàng)新同行的風(fēng)格，核心知識與關(guān)鍵能力反復(fù)考查，不斷推陳出新，持續(xù)引領(lǐng)中學(xué)數(shù)學(xué)教育[1]．

分析2017—2021年的浙江省數(shù)學(xué)高考卷，每年均有部分試題滲透著歸謬與反證思維，對學(xué)生逆向分析意識、邏輯推理能力進(jìn)行考查，值得高三師生在復(fù)習(xí)備考中重視．

1 歸謬法與反證法

確定某個命題真?zhèn)蔚乃季S過程稱為論證，它分為證實與證偽兩類．根據(jù)在證明過程中是否使用原命題的否定，又可以劃分為：直接證明與間接證明．歸謬法：首先假設(shè)某命題成立，然后從假設(shè)出發(fā)經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾、不符已知事實或荒謬結(jié)果，從而判定該命題不成立，是證偽的思維過程．反證法：假設(shè)原命題不成立(即假設(shè)原命題的否定成立)，然后從假設(shè)出發(fā)經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，說明假設(shè)錯誤，從而證明原命題成立，是證實的思維過程．反證法的依據(jù)是“排中律”，在論證結(jié)構(gòu)上較歸謬法更復(fù)雜，在論證過程中也往往會使用到歸謬法．歸謬與反證二者既相似，但又有區(qū)別，是逆向思維的集中體現(xiàn)，應(yīng)用廣泛．英國近代數(shù)學(xué)家哈代曾經(jīng)這樣稱贊：“歸謬與反證是數(shù)學(xué)家最有力的武器，比起象棋開局時犧牲一子以取得優(yōu)勢的讓棋法，它還要高明．象棋對弈者不外犧牲一卒或頂多一子，數(shù)學(xué)家索性把全局拱手讓予對方！”

2 高考真題回顧

近5年的浙江省數(shù)學(xué)高考卷中，一部分試題滲透著歸謬與反證思維，下面舉例說明．

( )

A．0 B．1 C．2 D．3

(2021年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第8題)

思路1一方面，根據(jù)假設(shè)得

(1)

另一方面，由基本不等式得

sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα

(2)

思路2一方面，根據(jù)假設(shè)得

(3)

另一方面，

sinαcosβ·sinβcosγ·sinγcosα

(4)

思路3一方面，

(5)

不妨設(shè)α<β<γ，則

cosα>cosβ>cosγ, sinα

另一方面，由排序不等式可得

sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα

≤ sinαcosγ+sinβcosβ+sinγcosα

(6)

評注本題的分析與推證過程都用了反證法．首先結(jié)合題意提出反論題，然后進(jìn)行推理，得出矛盾，從而不難得出正確選項．學(xué)生若缺少逆向意識與反證思維，則往往只能停留在取特殊值試探的較淺思維層面，難以說清問題，這更凸顯了具備此類意識與思維的重要性．

例2已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，則

( )

A．a(chǎn)1a3,a2

C．a(chǎn)1a4D．a(chǎn)1>a3,a2>a4

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第10題)

分析首先，考慮對目標(biāo)(選項)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即

問題的關(guān)鍵是：判斷公比q可能落在(-∞,-1),(-1,0),(0,1),(1,+∞)這4個區(qū)間中的哪一個．

其次，對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，聯(lián)想到“切線不等式”，即

a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1，

整理得

a1q3≤-1,

從而

q<0,

排除區(qū)間(0,1),(1,+∞)．

若q<-1，則

a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)<0,

而

a1+a2+a3=a1(1+q+q2)>1，

于是

ln(a1+a2+a3)>0，

二者矛盾，從而排除(-∞,-1)．因此，-1

評注歸謬法在高考中應(yīng)用廣泛，往往和分類討論思想結(jié)合在一起．首先確定問題的若干種可能性，然后逐一反駁排除，最后得出正確結(jié)果，這就是窮舉歸謬的思維．

例3已知a,b∈R，函數(shù)

若函數(shù)y=f(x)-ax-b恰有3個零點，則

( )

A．a(chǎn)<-1,b<0 B．a(chǎn)<-1,b>0

C．a(chǎn)>-1,b<0 D．a(chǎn)>-1,b>0

(2019年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

分析設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-ax，h(x)=b，問題轉(zhuǎn)化為：若函數(shù)

與函數(shù)h(x)=b的圖像有3個交點，則判斷參數(shù)a，b的范圍．

當(dāng)x<0時，函數(shù)g(x)=(1-a)x與函數(shù)h(x)=b的圖像交點最多只有一個．

若a+1<0，則g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，與函數(shù)h(x)=b的圖像最多只有一個交點．不符合要求，舍去．

若a+1>0，g(x)在[0,a+1)上單調(diào)遞減，在(a+1,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)與函數(shù)h(x)=b的圖像最多可以有兩個交點．

結(jié)合兩段圖像，不難得出a>-1,b<0.故選C．

類似地，還有以下高考題：

例4已知a，b∈R且ab≠0，對于任意的x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0，則

( )

A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．b<0 D．b>0

(2020年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

評注這兩道題均考查含參零點與函數(shù)圖像之間的動態(tài)聯(lián)系，“奇穿偶回”的作圖技巧揭示了圖像變化趨勢的本質(zhì)．2020年試題是2019年試題的傳承與創(chuàng)新，降低了問題轉(zhuǎn)化的難度，增加了分類討論的情況，但均體現(xiàn)了窮舉歸謬的思維方式．

例5已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*)，證明：當(dāng)n∈N*時，

1)0

2)，3)略．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

分析第1)小題的關(guān)鍵在于證明xn>0．當(dāng)n=1時，x1=1．假設(shè)n=k時，xk>0，那么當(dāng)n=k+1時，若xk+1≤0，則

xk=xk+1+ln(1+xk+1)≤0，

矛盾.故xk>0.

評注結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法與反證法使得解答過程在邏輯形式與表達(dá)規(guī)范上更為出色．從文理合卷這5年試題的變化與發(fā)展上，可以看出高考對于歸謬與反證法的考查從方法層面向思維層面轉(zhuǎn)變．

3 教學(xué)啟示

歸謬與反證法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較初等數(shù)學(xué)更為普遍．從目前的情況看，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對反證法的教學(xué)定位在“教方法”遠(yuǎn)多于“教思維”．教師的課堂教學(xué)不僅要揭示知識的本質(zhì)及知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，還要努力研究如何從思維層面教會學(xué)生理解知識，讓學(xué)生能夠通過教師的教學(xué)語言與教學(xué)活動設(shè)計感悟到有思維特征的數(shù)學(xué)知識.

1)課標(biāo)中，對于“間接證明”提出的內(nèi)容和要求是：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的教學(xué)案例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點[2]．在實際教學(xué)中，教師往往定位于向?qū)W生介紹一種間接證明的方法，大部分情況是給出了目標(biāo)論題，強(qiáng)調(diào)反論題的正確形式，使學(xué)生了解并能模仿運用反論題，進(jìn)行推理證明．這樣的教學(xué)，并沒有上升到分析與解決問題的思維層面．2021年的高考試題啟示我們：在教學(xué)中，把一個要求用反證法論證的題目改編為多角度的數(shù)學(xué)探究題，將問題換一個提法，更有利于學(xué)生思維方式的養(yǎng)成．

2)在立體幾何教學(xué)中，大量的性質(zhì)與判定定理本身就是需要用反證法來證明的，但基于當(dāng)前的教學(xué)要求，對于這些定理學(xué)生主要是通過直觀感知、接受，然后運用定理解決問題．這就錯失了強(qiáng)化反證思維的時機(jī)，在教學(xué)中適度穿插一些定理本身的證明，未嘗不是一件好事．對一些通過直觀判斷的問題(比如判斷空間兩條直線的異面位置關(guān)系)，多問一個“為什么”，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維．

3)教學(xué)中的四基，前三基耳熟能詳(即基礎(chǔ)知識、基本方法與技能、基本數(shù)學(xué)思想)，而第四基“基本活動經(jīng)驗”在課堂上較為欠缺．波利亞關(guān)于“反證法”講過一個教學(xué)案例：用0,1,2,3,…，9這10個數(shù)字組成幾個數(shù)，使它們的和為100，每個數(shù)字都用一次而且也只能用一次．他指出：我們可以在嘗試解決這個難題中學(xué)到一些東西．波利亞將問題的條件分解成兩個部分：①0～9這10個數(shù)字用且只能用一次；②組成的數(shù)字之和為100．他提示先保留一個條件，丟掉另一個條件，引導(dǎo)學(xué)生“嘗試、再嘗試”，經(jīng)歷多次不成功的試驗以后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個部分條件均滿足的情況并不會發(fā)生，進(jìn)而懷疑命題本身的正確性．那么假設(shè)這樣的一種組合是存在的，設(shè)這些數(shù)的十位數(shù)字之和為t，因為0～9這10個數(shù)字的和為45，所以這些數(shù)的個位數(shù)字之和為45-t，那么必有

10t+(45-t)=100，

教師研究教學(xué)，就要把自己放在學(xué)習(xí)知識的角度來研究如何理解知識，提煉出用數(shù)學(xué)概念理解知識的思維特征是什么，并能夠把這種思維特征變成自己教學(xué)時的思維特點，通過不同的知識載體讓學(xué)生體會出具有共性的思維，并變成他們的思維習(xí)慣．