從高考的視角例談數(shù)學(xué)運(yùn)算的價(jià)值與機(jī)制

沈 良

(蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué),浙江 杭州 311202)

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用[1].數(shù)學(xué)高考在高考選拔中扮演著重要而獨(dú)特的作用，試題具有良好的區(qū)分效果，其選拔功能歷來被重視和認(rèn)可[2].2019年，教育部明確提出要立足全面發(fā)展育人目標(biāo)，構(gòu)建包括“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”在內(nèi)的高考考查內(nèi)容體系，這為科學(xué)構(gòu)建中國高考評價(jià)體系提出了明確目標(biāo)，提供了基本遵循依據(jù)[3].兩年過去了，當(dāng)我們看到2021年全國和各省市的數(shù)學(xué)高考卷時(shí)，還是有許多驚喜.我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)高考試題聚焦核心素養(yǎng)，考查關(guān)鍵能力，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視理性思維，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向和能力為重，同時(shí)倡導(dǎo)理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值等.

數(shù)學(xué)運(yùn)算作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在數(shù)學(xué)解題中具有至關(guān)重要的作用.數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段之一，尤其在數(shù)學(xué)高考紙筆測試的過程中，數(shù)學(xué)運(yùn)算是最重要的求解工具.章建躍先生曾講：“推理是數(shù)學(xué)的‘命根子’，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的‘童子功’.”運(yùn)算與推理息息相關(guān)，運(yùn)算本身就是一種演繹推理.在數(shù)學(xué)解題中，首先以邏輯推理為基礎(chǔ)，將邏輯推理的結(jié)果以數(shù)與式的形式呈現(xiàn)，然后通過運(yùn)算轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)問題求解.下面筆者結(jié)合2021年的部分高考試題，例談數(shù)學(xué)運(yùn)算的價(jià)值意義與發(fā)生機(jī)制.

1 數(shù)學(xué)運(yùn)算的價(jià)值與意義

1.1 數(shù)學(xué)運(yùn)算是代數(shù)變形的基本方法

代數(shù)恒等變形是數(shù)學(xué)解題的基石，變形能力也體現(xiàn)著學(xué)生的解題能力.從運(yùn)算角度看，高中階段的代數(shù)變形就是含字母的運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)的是一種有方向的轉(zhuǎn)化與化歸.通過運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)化繁為簡，實(shí)現(xiàn)問題求解.2021年的數(shù)學(xué)高考不乏直接通過代數(shù)運(yùn)算尋求結(jié)果的試題，這樣的運(yùn)算不僅考查學(xué)生的運(yùn)算能力，也考查學(xué)生思維的縝密性.

例1已知a,b∈R,ab>0,函數(shù)f(x)=ax2+b(其中x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)(s,t)的軌跡是

( )

A.直線和圓 B.直線和橢圓

C.直線和雙曲線 D.直線和拋物線

(2021年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

分析由f(s-t),f(s),f(s+t)成等比數(shù)列，得

f(s-t)·f(s+t)=f2(s)，

即 [a(s-t)2+b]·[a(s+t)2+b]=(as2+b)2.

如何化簡上式是本題的關(guān)鍵.運(yùn)算中可以抓住代數(shù)式之間的聯(lián)系，左式運(yùn)用平方差公式可得

(as2+at2+b)2-(2ast)2=a2s4+2abs2+b2，

化簡整理得a2t4+2abt2-2a2s2t2=0，

即

at2(at2+2b-2as2)=0，

于是

故點(diǎn)(s,t)的軌跡是直線和雙曲線.從這個(gè)解題過程可以看到，合理運(yùn)用運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算公式進(jìn)行化簡是數(shù)學(xué)運(yùn)算的必備能力.

1.2 數(shù)學(xué)運(yùn)算是幾何度量的重要工具

高中數(shù)學(xué)中代數(shù)與幾何是相輔相成的.在數(shù)學(xué)解題中，幾何問題的解決往往可用代數(shù)方法進(jìn)行刻畫轉(zhuǎn)化，也就是尋找到與幾何命題相應(yīng)的代數(shù)命題，再進(jìn)一步運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)求解.在高考中遇到這樣的問題，需要第一時(shí)間找到相應(yīng)的代數(shù)結(jié)論.

例2若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則

( )

A．eb

C．0

(2021年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第7題)

分析首先可以探索到“兩條不同切線”的等價(jià)條件為“兩個(gè)不同切點(diǎn)”.若設(shè)切點(diǎn)為(x0，ex0)，則切線方程為

y=ex0(x-x0)+ex0.

因?yàn)檫^點(diǎn)(a,b)，即

b=ex0(a-x0)+ex0，

所以關(guān)于x0的方程b=ex0(a-x0)+ex0有兩個(gè)解.設(shè)g(x)=(a+1-x)ex，則

g′(x)=(a-x)ex，

故g(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞增，在(a,+∞)上單調(diào)遞減，且

g(x)max=g(a)=ea，

當(dāng)x→-∞時(shí)，g(x)→0，于是0

本題將兩條切線轉(zhuǎn)化為兩個(gè)切點(diǎn)，再將兩個(gè)切點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的兩個(gè)解，通過運(yùn)算實(shí)現(xiàn)幾何性質(zhì)刻畫，可以發(fā)現(xiàn)這樣的運(yùn)算實(shí)際上難的是第一步：將幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題.

1.3 數(shù)學(xué)運(yùn)算是概念表達(dá)的重要形式

概念是邏輯思維的細(xì)胞，是反映事物本質(zhì)屬性和特征的思維形式.數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的思維形式.數(shù)學(xué)概念往往通過定義、描述等方式給出，有時(shí)也可通過運(yùn)算等形式進(jìn)行符號(hào)化定義，比如指數(shù)函數(shù)y=ax(其中a>0,a≠1)，角的正弦值y=sinα(其中y為角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)).

例3有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

( )

A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立

C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立

(2021年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第8題)

在選項(xiàng)A中，P(AC)=0≠P(A)P(C)；

在選項(xiàng)D中，P(CD)=0≠P(C)P(D).

故選項(xiàng)B是正確的，事件甲和丁相互獨(dú)立.在考試環(huán)境下，面對迷惑的數(shù)字關(guān)系，可以從定義出發(fā)通過數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探索，從而得到正確結(jié)果.

1.4 數(shù)學(xué)運(yùn)算是探索數(shù)學(xué)規(guī)律的重要途徑

數(shù)學(xué)是人們對客觀世界的定性把握和定量刻畫，是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具.在一定意義上，數(shù)學(xué)研究的就是變化中不變的規(guī)律.而研究事物變化規(guī)律的方法和形式有很多，有時(shí)可借助觀察直接發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，有時(shí)可通過數(shù)學(xué)運(yùn)算尋找變化規(guī)律.特別地，在高考限時(shí)考試中，尋找數(shù)的變化規(guī)律，有利于我們較好地找到問題解決的路徑.

(2021年全國數(shù)學(xué)高考Ⅰ卷理科試題第16題)

分析本題以生活中的折紙問題為背景，探究紙對折過程中不同規(guī)格圖形的面積之和，以運(yùn)算為路徑，列舉前幾次的變化規(guī)律如表1所示：

表1 對折后的變化規(guī)律

因此，對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5種，且

利用錯(cuò)位相減法求和可得

2 數(shù)學(xué)運(yùn)算的發(fā)生機(jī)制

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等[1].這里主要探討在數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中，如何在一些關(guān)鍵點(diǎn)上探究運(yùn)算思路和選擇運(yùn)算方法等.

2.1 以形助數(shù)探索運(yùn)算方向

數(shù)學(xué)運(yùn)算的優(yōu)勢是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、推證嚴(yán)密，但其劣勢是有時(shí)容易陷入“形式化”的海洋中，不容易直接發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論.因此，在有些問題中以形助數(shù)，能幫助我們迅速取得運(yùn)算的突破口，這也體現(xiàn)了“直觀想象”素養(yǎng)與“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的融合.

( )

(2021年全國數(shù)學(xué)高考甲卷理科試題第12題)

分析f(x+1)為奇函數(shù)，其代數(shù)刻畫為f(-x+1)=-f(x+1)，后續(xù)轉(zhuǎn)化處理相對難捉摸；而幾何刻畫是f(x+1)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，即f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，因此

f(1)=0,f(0)=-f(2).

同理,由f(x+2)為偶函數(shù)，可得f(x)的圖像關(guān)于x=2軸對稱，從而

f(3)=f(1)=0，

從而

a+b=0， -(4a+b)=6，

解得

a=-2,b=2，

當(dāng)然，結(jié)合圖像還可以發(fā)現(xiàn)f(x)的周期為4，運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)解題效果會(huì)更好.在時(shí)間有限的情況下，我們需要找到一些問題的突破口，而數(shù)形結(jié)合就是一種很好的方式.

2.2 借數(shù)字特征選擇運(yùn)算路徑

數(shù)學(xué)運(yùn)算不是盲目的，它是有方向的.數(shù)學(xué)運(yùn)算中要觀察具體數(shù)與式的特征，合理利用運(yùn)算定理和運(yùn)算性質(zhì)，展開聯(lián)想巧妙構(gòu)造，有效尋找到數(shù)學(xué)運(yùn)算的路徑.運(yùn)算中蘊(yùn)涵思維，思維通過運(yùn)算實(shí)現(xiàn).

( )

A．a(chǎn)

C．b

(2021年全國數(shù)學(xué)高考乙卷理科試題第12題)

從而

a-c=f(0.01)，

易得

且當(dāng)0≤x<2時(shí),

從而f′(x)≥0，故f(x)在[0,2)單調(diào)遞增，于是

a-c=f(0.01)>f(0)=0，

得a>c.

同理比較b與c的大小，可構(gòu)造函數(shù)

則

b-c=g(0.02)，

由

容易判斷當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，g′(x)≤0，g(x)單調(diào)遞減，從而

g(0.02)

故

b

因此

b

觀察數(shù)字特征成為構(gòu)造運(yùn)算路徑的關(guān)鍵點(diǎn).

2.3 以思想方法指引運(yùn)算過程

有方向的運(yùn)算，還包括以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo).數(shù)學(xué)思想方法是人們從某些具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中概括出來的，是對所使用的方法和規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，具有普遍的指導(dǎo)意義和相對穩(wěn)定的特征.在數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中，需要以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，有目的、有策略、有方向地進(jìn)行運(yùn)算.

例7如圖1，已知F是拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且|MF|=2.

圖1

1)求拋物線的方程；

2)設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B，若斜率為2的直線l與直線MA,MB,AB,x軸依次交于點(diǎn)P,Q,R,N，且滿足|RN|2=|PN|·|QN|，求直線l在x軸上截距的取值范圍.

(2021年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

分析本題給人的感覺是元素較多，直線l分別與MA,MB,AB,x相交，且A,B又是過點(diǎn)F的直線與拋物線的交點(diǎn)，直線AB的轉(zhuǎn)動(dòng)和直線l的平移影響了點(diǎn)P,Q,R,N的位置，在|RN|2=|PN|·|QN|條件下，求l在x軸上截距的取值范圍.

第1)小題中容易求得拋物線的方程為y2=4x.第2)小題中，首先將“|RN|2=|PN|·|QN|”代數(shù)化，因?yàn)辄c(diǎn)N恰好在x軸上，可得

也就是圍繞著縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，且目標(biāo)指向?yàn)橹本€l橫截距的計(jì)算，所以

欲計(jì)算yPyQ，考慮l與MA和MB相交，進(jìn)一步考慮AB與拋物線相交，先聯(lián)立x=ty+1和y2=4x，得

y2-4ty-4=0.

記A(x1,y1)，B(x2,y2)，得

y1+y2=4t,y1y2=-4.

同理可得

結(jié)合y1與y2的關(guān)系式，可以得到關(guān)于m,t的關(guān)系式，化簡得

易知m≠1，參變分離可得

針對此題，在考試限時(shí)的條件下，面對這樣的大運(yùn)算量，我們不僅需要運(yùn)算仔細(xì)，更需要把握運(yùn)算的方向，由于直線AB和l的運(yùn)動(dòng)會(huì)影響點(diǎn)P,Q,R,N的位置，因此從直線AB與拋物線入手，通過點(diǎn)A表示點(diǎn)P,點(diǎn)B表示點(diǎn)Q，尋找點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，這就是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸指導(dǎo)下開展的數(shù)學(xué)運(yùn)算.

本文從高考解題的視角，探討了數(shù)學(xué)運(yùn)算在數(shù)學(xué)解題中的作用.在數(shù)學(xué)紙筆測試中，數(shù)學(xué)運(yùn)算具有十分重要的作用，它是代數(shù)運(yùn)算的基本方法、幾何度量的重要工具、數(shù)學(xué)概念表征的重要形式和數(shù)學(xué)規(guī)律探索的重要途徑等.當(dāng)然，在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)運(yùn)算也離不開其他素養(yǎng)和能力的支持，比如直觀想象有利于從繁雜代數(shù)形式尋找到一些結(jié)論，為簡化運(yùn)算鋪路；比如數(shù)學(xué)思想方法指引下的數(shù)學(xué)運(yùn)算有利于我們找到運(yùn)算方向，使運(yùn)算有理有據(jù)等.當(dāng)然，我們也要從高考評價(jià)的要求出發(fā)，反思我們?nèi)粘５倪\(yùn)算教學(xué).