基于APOS理論的“函數(shù)的概念”教學設計

曹 毅

(浙江師范大學附屬中學，浙江 金華 321000)

概念教學有兩種基本形式：概念同化與概念形成.根據(jù)教材設置，本節(jié)課應采用“概念形成”的方式進行教學，筆者認為APOS理論能滿足這些要求，使數(shù)學核心素養(yǎng)滲透整個教學過程.APOS理論通過建立心智結構使學習者形成數(shù)學概念，心智結構的構建分為4步：活動→過程→對象→圖式，即抽象特征—歸納共性—形成概念—同化整合.

1 課前準備，研讀教材

1.1 教材內容解析

《浙江省普通高中學科教學指導意見數(shù)學(2021年版)》中明確指出：函數(shù)是描述客觀世界變量關系和規(guī)律的最基本的數(shù)學語言和工具，是貫穿高中數(shù)學課程的主線.學生在初中階段學習的函數(shù)概念是“變量說”，即函數(shù)是刻畫變量之間的對應關系.在高中階段，學生要在“集合論”的基礎之上建立“對應關系說”，其核心是實數(shù)集合的特殊對應關系.因此本節(jié)課的教學重點是從現(xiàn)實問題出發(fā)，讓學生抽象、建立以集合語言為基礎的函數(shù)概念.

1.2 教學目標解析

筆者基于APOS理論，讓學生通過現(xiàn)實問題，在得到對應關系的基礎上，體會變量范圍對描述問題的重要性，比較函數(shù)不同的表達形式，抽象出函數(shù)的共性，構建“集合—對應關系說”觀點下的函數(shù)概念；再引導學生用高中函數(shù)概念刻畫一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)，以同化新知；最后，讓學生通過構建問題情景，使其中的變量關系滿足給定的函數(shù)表達式，以進一步體會作為數(shù)學工具的函數(shù)是如何描述客觀世界的.

2 構建心智結構，滲透核心素養(yǎng)

2.1 抽象特征，歸納共性，形成概念(APO)

投屏初中函數(shù)概念：一般地，在某變化過程中，設有兩個變量x與y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么y是x的函數(shù)，x是自變量.

學生意見不一，根據(jù)初中學習的函數(shù)概念并不能進行判斷.

師(板書課題)：要解決這些問題，需要進一步學習函數(shù)概念.

根據(jù)APOS理論，我們將高中函數(shù)概念的形成分成以下幾步：

1)通過問題1關注變量的取值范圍；

2)通過問題1和問題2的比較，進一步認識定義域、值域；

3)通過問題3中圖像的對應關系，得到圖像的表達式；

4)通過問題4中表格的對應關系，得到表格的表達式；

5)歸納4個函數(shù)的共性，概括函數(shù)的本質特征；

6)得出函數(shù)概念.

問題1高鐵是我國制造業(yè)的驕傲，是中華民族偉大復興的標志之一.列車行進的路程S(單位：km)與運行時間t(單位：h)的關系可以表示為

S=350t.

(1)

師：根據(jù)初中學習的函數(shù)概念，請同學們判斷S是否為t的函數(shù)？為什么？

生1：是.因為在行駛過程中，對于時間t的每一個確定值，路程S都有唯一確定的值與它對應.

師：“根據(jù)對應關系S=350t，這趟列車加速到350 km/h后，運行1 h就能前進350 km”，這樣的說法正確嗎？如何更精確地表述S與t的對應關系?

生2：對于集合{t|t≤0.5}中每個時間t的確定值，通過式(1)，路程S都有唯一確定的值與它對應.

設計意圖讓學生在解決問題時發(fā)生認知沖突，發(fā)現(xiàn)初中所學概念的局限性，并注意到變量范圍，開始描述變量范圍中的一一對應關系.

問題2保護勞動者合法權益是全社會的共識.為了符合2021年5月21日最新推出的《中華人民共和國勞動法》，某公司確認工資標準為每人每天350元，每周付一次工資，工人每周至少工作1天，至多6天，那么工資w與一周工作天數(shù)d的關系是

w=350d.

(2)

師：仿照問題1，用精確的語言描述本問題中w與d的對應關系.

突發(fā)情況：學生回答天數(shù)d的集合為{d|1≤d≤6}，筆者立即讓學生對比集合{d|1≤d≤6}與{1,2,3,4,5,6}，讓學生認識到在描述問題時應與實際相符合.

生3：對于集合{1,2,3,4,5,6}中每個天數(shù)d的確定值，通過式(2)，工資w都有唯一確定的值與它對應.

師：問題1與問題2中的函數(shù)有相同的對應關系，你認為它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？

設計意圖使學生進一步關注到定義域與值域，體會它們對于函數(shù)概念的必要性.

問題3隨著政府持續(xù)治理，我國的環(huán)境有了根本性的改善.請根據(jù)書本上的圖1(略)回答：如何根據(jù)該圖確定這一天任何一個時刻t的空氣質量指數(shù)值I(以下簡稱AQI)？

設計意圖讓學生指出圖像中包含的對應關系，為判斷是否為函數(shù)提供依據(jù).

師：你認為這里的I是t的函數(shù)嗎？如果是，請仿照前面的方法描述它們的對應關系.

生：對于時刻t的集合A={t|0≤t≤24}中任意一個值t，都有唯一確定的AQI值與它對應，所以I是t的函數(shù).

師(引導)：從圖像出發(fā)，我們并不能準確描述I的取值范圍，需要用AQI值所構成的集合B3，而這不會影響對問題的描述，且I的取值范圍C3滿足：C3?B3={I|0

設計意圖讓學生認識到圖像也是一種函數(shù)表達形式，值域是函數(shù)值所在集合B的子集.

問題4恩格爾系數(shù)是反映人民生活水平的指數(shù)之一，請根據(jù)書本上的表1(略)回答：你能得出該省城居民生活質量發(fā)生了怎樣的變化？你認為恩格爾系數(shù)r是y的函數(shù)嗎？仿照前面的問題精確描述它們的對應關系.根據(jù)恩格爾系數(shù)的定義，r的取值范圍為B4={r|0

設計意圖讓學生認識到表格也是一種函數(shù)表達形式，此處教師根據(jù)恩格爾系數(shù)的定義對函數(shù)值所在的集合B4的合理性進行了解釋.

歸納共性根據(jù)上述4個問題中的函數(shù)，歸納函數(shù)的共性，并概括出函數(shù)的本質特征.

教師給出表1，讓學生歸納4個問題的共性.

表1 4個問題中的函數(shù)特征

師：4個函數(shù)有哪些共同特征？

教師引導學生得到：①都有兩個非空數(shù)集，分別用A與B表示；②都有一個對應關系.

師：自變量與因變量是如何通過對應關系聯(lián)系起來的？

教師引導學生得到：雖然表達方式不一樣，但這4個函數(shù)都滿足“對于數(shù)集A中的每一個x，按照某種對應關系，在數(shù)集B中都有唯一確定的y值和它對應”.

師生活動引導學生最終形成函數(shù)的概念.

2.2 訓練鞏固，理解概念

1)下列給出的對應關系中，是函數(shù)的是

( )

2)設集合A={x|0≤x≤2}，B={x|0≤x≤2}，下列對應關系f不能表示從集合A到集合B的函數(shù)是

( )

A.f∶x→y=xB.f∶x→y=2x

A. B. C. D. E.

設計意圖2個練習分別從不同角度鞏固函數(shù)概念，讓學生更好地理解函數(shù)概念中的任意性與唯一確定性以及值域是集合B的子集.

2.3 同化整合

“圖式階段”是指讓新的概念形成知識圖式，并把這個圖式納入已有認知結構中的教學過程，即知識的同化.筆者安排了兩個教學活動幫助學生完成這一過程.

活動1用高中所學的函數(shù)概念重新描述一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù).

教師引導學生得到一次函數(shù)的描述：f把R中的任意一個x，對應到R中唯一確定的ax+b(其中a≠0).學生獨立思考并描述二次函數(shù)與反比例函數(shù).

活動2試著構建問題情境，使其中的變量關系可以用解析式y(tǒng)=x(10-x)來描述.

筆者在活動2中安排了分組討論，學生在充分理解概念的基礎上，構建了例如銷售總額情景、物體勻加速運動情景等很多精彩的答案.

3 教學反思

3.1 強化必要性是學習函數(shù)概念的前提

高中函數(shù)概念是在初中函數(shù)概念基礎上的再抽象，因此本節(jié)課的引入必須強調“對應關系說”的必要性，讓學生認識到“變量說”的局限性.學生也需要通過對第三章章前語的解讀，并與第一章“集合”的內容產(chǎn)生呼應，認識到在集合基礎上建立函數(shù)概念的必要性.

對“必要性”的研究能幫助學生更好地理解函數(shù)概念，再讓學生完整地經(jīng)歷“問題—觀察—比較—分類—分析—歸納—抽象—概括”的過程，得出函數(shù)概念也就水到渠成了.

3.2 APOS理論下函數(shù)教學的建議

新生概念的學習是學生主動構建知識的過程.在備課階段，教師需要研究學生建構過程中可能產(chǎn)生疑惑的環(huán)節(jié),了解學生的最近發(fā)展區(qū)，找到學生已有的認知結構與新學概念之間的結合點，從而確定教學內容與順序，精心設計教學活動.

若放棄對書本上4個問題的講解,直接給出函數(shù)概念,高一新生則很難體會函數(shù)概念的形成，只能機械記憶.那么學生如果缺乏對數(shù)學概念的理解，就不可能完成對新知識的同化，達到構建心智結構的目的.學習數(shù)學的目的是認識、理解客觀世界，學生不能簡單地將學數(shù)學與做題目等同，此版本教材較好地將該目標滲透到每一章節(jié)中.教師在上課前一定要研讀教材，體會教材設計的初衷，落實數(shù)學核心素養(yǎng)，使學生能自然地使用數(shù)學語言描述客觀世界.