關(guān)注生之問 探尋教之策
——以一道數(shù)列通項(xiàng)題的求法為例

郭建華, 于 健, 張?jiān)骑w

(1．金陵中學(xué)，江蘇 南京 210005；2．南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心，江蘇 南京 210017)

對于數(shù)學(xué)解題教學(xué)，章建躍先生曾指出：要以如何發(fā)現(xiàn)和提出問題、如何獲得數(shù)學(xué)對象、如何構(gòu)建研究線索以及掌握解決問題的基本方法等為目標(biāo)，即要讓學(xué)生通過解題逐步學(xué)會認(rèn)識和解決問題的基本方法．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)是以解題為中心展開的．然而，在當(dāng)下課堂教學(xué)中，有的教師為了趕教學(xué)進(jìn)度，把試題講完就算完成任務(wù)了．在這種高容量、快節(jié)奏的課堂模式下，學(xué)生有思考的時(shí)間嗎?有交流的機(jī)會嗎?有探究的空間嗎?在這樣的境況下，何談落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？只有在解題教學(xué)中多和學(xué)生交流、溝通，才能了解學(xué)生需求什么(還學(xué)生話語權(quán))、存在哪些困難(優(yōu)化解題路徑)，并通過設(shè)計(jì)精準(zhǔn)、有效的解題教學(xué)方法和策略，讓學(xué)生“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”，真正促進(jìn)學(xué)生學(xué)會解題．下面，筆者以一堂復(fù)習(xí)課上的解題教學(xué)為例，談?wù)勛约旱淖龇ê退伎?，供參考?/p>

1 題目再現(xiàn)

例1已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an．

1)證明：數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列；

(2021年“八省(市)”聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第17題)

本題考查了依據(jù)連續(xù)3項(xiàng)的數(shù)列遞推關(guān)系，求數(shù)列通項(xiàng)公式、證明等比數(shù)列等；考查學(xué)生靈活運(yùn)用“轉(zhuǎn)化與化歸”思想進(jìn)行解題的能力．

2 關(guān)注生之問

考后學(xué)生沒有終止對這道題的探究，感興趣的學(xué)生對這道題提出了一些問題，筆者梳理如下：

1)命題人是如何想到數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列的?

2)如果改變an+2=2an+1+3an中項(xiàng)的系數(shù)，那么{an+an+1}是否仍為等比數(shù)列?

3)如果沒有第1)小題，那么{an}的通項(xiàng)公式如何求?

4)求這類數(shù)列的通項(xiàng)公式是否存在統(tǒng)一的方法?

5)是否存在一個(gè)更一般的結(jié)論?

教師應(yīng)該及時(shí)分析學(xué)生所提出的問題，因?yàn)樗鼈兪菍W(xué)生真實(shí)學(xué)情的反映，是學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平的體現(xiàn)，是學(xué)生某些知識和方法缺失的暴露等．教師要與不同層次和需求的學(xué)生多溝通和交流，在遵循學(xué)生思維特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，開發(fā)好學(xué)生所提出的問題資源．面向全體學(xué)生以“最近發(fā)展區(qū)”理論設(shè)計(jì)探究教學(xué)，探尋適合學(xué)生的教學(xué)策略，讓更多的學(xué)生真正做到思維的參與，從而達(dá)到教師教得“精準(zhǔn)”、學(xué)生學(xué)得“深刻”的效果．

3 探尋教之策

3.1 引入輔助題目，以退求進(jìn)

在波利亞的“怎樣解題表”中提到：如果你不能解所提的題目，就先嘗試去解某道有關(guān)的題目．你能否想到一道更容易著手的相關(guān)題目?一道類似的題目?……為了更好地解決學(xué)生的問題，選好探究問題的起點(diǎn)至關(guān)重要．

下面，先從學(xué)生熟悉的、連續(xù)兩項(xiàng)的遞推關(guān)系著手．

例2已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3且a1=2，求{an}的通項(xiàng)公式．

由于學(xué)生對該題型比較熟悉，很快得到如下解法：

解法1(配湊法)將an+1=2an+3恒等變形為

an+1+3=2(an+3)，

因?yàn)閍1+3=5≠0，所以{an+3}是公比為2、首項(xiàng)為5的等比數(shù)列，易求其通項(xiàng)公式為an=5×2n-1-3．

解法2(迭代法)由a1=2，an+1=2an+3，得

a2=2a1+3，

a3=2a2+3=22×a1+2×3+3，

a4=2a3+3=23×a1+22×3+2×3+3，

…

以此類推，得

an=2an-1+3=2n-1×a1+2n-2×3+…+2×3+3

=5×2n-1-3．

解法3(疊加法)由an+1=2an+3，a1=2，得

即

利用疊加法，易得an=5×2n-1-3．

有學(xué)生提出：解法1是如何想到的?如果所給的系數(shù)不是很好湊，那么又如何求解呢?讓學(xué)生討論并發(fā)現(xiàn)“巧妙配湊”背后隱藏的東西．讓學(xué)生體會“配湊”的目的，就是將非等差、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列．為了達(dá)到“式子結(jié)構(gòu)”上的一種“平衡”，自然就會想到從系數(shù)入手，從而引入待定系數(shù)法，揭開了“巧法”的神秘面紗，解除了學(xué)生心中的疑惑．

解法4(待定系數(shù)法)設(shè)an+1+t=2(an+t)，其中t為待定的非零常數(shù)，即an+1=2an+t，與an+1=2an+3比較系數(shù)，得t=3，即an+1+3=2(an+3)，下面求解同解法1(略)．

趁機(jī)，讓學(xué)生抽象出更一般的結(jié)論：若an+1=qan+p(其中pq≠0且q≠1)，則令an+1+λ=q(an+λ)，a1+λ≠0，再利用等比數(shù)列求其通項(xiàng).

評注解法1技巧性較強(qiáng)，具有“想的巧，算的少”的特點(diǎn)；解法2通過特殊項(xiàng)探究一般項(xiàng)的規(guī)律，體現(xiàn)了從特殊到一般的解題思想；解法3通過分析式子的結(jié)構(gòu)特征，將其恒等變形為可利用疊加法求通項(xiàng)的形式，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學(xué)思想；解法4其實(shí)就是利用方程的思想換一種方式表征常數(shù)項(xiàng)．通過各種解法的比較，讓學(xué)生體會到待定系數(shù)法的操作性更強(qiáng)．

3.2 鞏固通項(xiàng)求法，變式跟進(jìn)

在例2的基礎(chǔ)上，教師給出相似題組變式，讓學(xué)生思考能否從以下問題的解決，提煉出求解這類問題的更一般的思路和方法．

變式1已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an-4n，a1=3，求{an}的通項(xiàng)公式．

變式2已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an-n2，a1=3，求{an}的通項(xiàng)公式．

變式3已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an-4n，a1=3，求{an}的通項(xiàng)公式．

給學(xué)生時(shí)間，4人一組，讓他們完成以上各變式的解答．分析和比較每道題的解法，在教師的引導(dǎo)下讓學(xué)生提煉出待定系數(shù)法，體會它在每個(gè)問題中的不同呈現(xiàn)方式．

繼續(xù)組織學(xué)生分組討論，抽象出以上各題所具有的一般的結(jié)構(gòu)：an+1=qan+f(n)(其中q≠0且q≠1)，并對待定系數(shù)的表征形式進(jìn)行歸納和梳理．

1)若f(n)=an+b(其中a為非零常數(shù))，則令an+1+λ(n+1)+μ=q(an+λn+μ)；

2)若f(n)=an2+bn+c(其中a，b為非零常數(shù))，則令an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)+c=q(an+λn2+μn+c)；

3)若f(n)=an(其中a為非零常數(shù))，則令an+1+λ×an+1=q(an+λan)．

評注變式教學(xué)是一種行之有效的教學(xué)方法，課堂上要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，在教師引導(dǎo)下激發(fā)學(xué)生的探究熱情，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，提高分析和解決問題的靈活性，鞏固和理解所學(xué)的知識和方法，揭示問題的本質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知水平和主動探究問題的意識．

3.3 依托變式探究，深化理解

通過對例2以及變式的分析，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：如果出現(xiàn)連續(xù)3項(xiàng)的遞推關(guān)系呢？那么待定系數(shù)法是否依然適用?給予充足的時(shí)間讓學(xué)生嘗試操作．

有學(xué)生立刻想到令f(n)=3an，下面，請學(xué)生用待定系數(shù)法分析求解例1．

由an+2=2an+1+3an，令an+2-λan+1=μ(an+1-λan)，得

an+2=(λ+μ)an+1-λμan，

與an+2=2an+1+3an比較系數(shù)，得

解得

故

an+2+an+1=3(an+1+an),

或

an+2-3an+1=-(an+1-3an).

至此，不僅發(fā)現(xiàn)了命題人如何命制{an+an+1}為等比數(shù)列的“小秘密”，而且還找到了求解這類問題的通性通法．同時(shí)，學(xué)生還獲得了一個(gè)意外的收獲，那就是又構(gòu)造出了一個(gè)數(shù)列{an+1-3an}.

a2-3a1=0，

當(dāng)n≥2時(shí)，

an-3an-1=0，

即

an=3an-1，

學(xué)生感覺收獲頗大，探究的熱情被激發(fā)起來了，抓住這個(gè)契機(jī)，放手讓他們繼續(xù)探究．伴隨著問題的解決，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造數(shù)列{an+an+1}或{an+1-3an}，求{an}的通項(xiàng)是相同的，這是為什么？它們之間存在怎樣的聯(lián)系？

又產(chǎn)生了一個(gè)新的問題，大家的思緒又聚集起來了．等待片刻，一位學(xué)生提出，其實(shí)反映的就是一個(gè)問題的兩種不同的表現(xiàn)形式，即

an+2=2an+1+3an，

an+2+an+1=3(an+1+an)，

an+2-3an+1=-(an+1-3an),

下面繼續(xù)參照例1，讓學(xué)生來做一回“命題專家”，能否利用已經(jīng)掌握的知識和方法編擬類似于例1的試題.大家開始投入編擬試題的狀態(tài)，教師巡視，選用幾道典型的問題作為大家的課堂鞏固練習(xí)．

變式4求滿足下列條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：

1)a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an；

2)a1=1，a2=2，an+2=an+1+an；

3)a1=1，a2=2，an+2=2an+1-2an．

通過變式4的練習(xí)，學(xué)生在解題的過程中又發(fā)現(xiàn)了新的問題，有的二階線性遞推數(shù)列的特征方程有實(shí)數(shù)解，有的無實(shí)數(shù)解，教師給予說明，對于無實(shí)數(shù)解的暫不研究．對學(xué)生編擬的試題教師要給予指導(dǎo)和積極的評價(jià)，只要理解問題的背景，抓住命題的核心要素，編擬試題將不是難事．通過“命題”活動，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心．

評注只要給學(xué)生時(shí)間和空間，一定會呈現(xiàn)驚喜.學(xué)生通過探究，在思考和交流中抽象和歸納出求解問題的一般方法.在教師的引導(dǎo)、鼓勵(lì)、幫助下，學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的同時(shí)體驗(yàn)成功的快樂和感悟探究的樂趣.

3.4 探究一般形式，融會貫通

通過以上分析，教師規(guī)定只要研究待定系數(shù)為實(shí)數(shù)的情況，繼續(xù)讓學(xué)生探究更一般化的結(jié)論．

例3[1]設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，a2=b，an+2=pan+1+qan(其中pq≠0)，求an．

分析令an+2-λan+1=μ(an+1-λan)，則

an+2=(μ+λ)an+1-λμan，

從而

易知λ,μ為方程x2-px-q=0的兩個(gè)根，當(dāng)Δ=p2-4q≥0時(shí)，設(shè)該方程的兩個(gè)根分別是α,β，則

故an+2-αan+1=β(an+1-αan),

或an+2-βan+1=α(an+1-βan).

當(dāng)a2-αa1≠0，a2-βa1≠0時(shí)，數(shù)列{an+1-αan}，{an+1-βan}分別是公比為β，α的等比數(shù)列，從而

an+1-αan=(a2-αa1)βn-1,

(1)

an+1-βan=(a2-βa1)αn-1.

(2)

根據(jù)前面解題方法的提煉，學(xué)生很容易得到式(1)和式(2)，面對這兩個(gè)式子，如何確定數(shù)列的通項(xiàng)呢?經(jīng)過討論，得到以下兩種情況：

1)當(dāng)α≠β時(shí)，式(1)兩邊同時(shí)除以αn+1，或式(2)兩邊同時(shí)除以βn+1，再利用疊加法求得

獲得結(jié)果的過程還是比較艱辛的．教師讓學(xué)生觀察和討論有沒有更簡捷的辦法得到an，有的學(xué)生想到前面已經(jīng)分析過式(1)和式(2)都是數(shù)列{an}的兩種不同表征形式，因此，由式(1)-式(2)，得

有的學(xué)生對“二階線性遞推數(shù)列的特征方程”不熟悉．下面，教師給予補(bǔ)充說明：

1)方程x2=px+q叫做二階線性遞推數(shù)列的特征方程，λ,μ是其特征根．其特征方程可以由所給的二階遞推數(shù)列直接得到．

an=(λ1+λ2n)αn；

an=μ1αn-1+μ2βn-1．

再結(jié)合已知條件，便可迅速確定待定系數(shù)，讓學(xué)生再次感受待定系數(shù)法在處理問題中的重要作用．

學(xué)生再次發(fā)現(xiàn)，有了這種簡約的表達(dá)形式后，對于研究an+2=pan+1+qan的通項(xiàng)更為方便．繼續(xù)讓學(xué)生練習(xí)變式4中的第1)和第2)小題，讓學(xué)生體驗(yàn)這種簡捷形式的表達(dá)．其解題過程(略).

評注讓學(xué)生體會從特殊化到一般化，再從一般化再到特殊化的探究問題的思維路徑，旨在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考和學(xué)會解題，將所學(xué)的知識融會貫通，讓學(xué)生的理解進(jìn)一步得到深化和升華，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果．

4 教學(xué)反思

4.1 鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題

善于從學(xué)習(xí)材料中發(fā)現(xiàn)問題，并通過抽象、概括提出問題的能力是當(dāng)前學(xué)生的“短板”，應(yīng)予以重視．對于學(xué)生能發(fā)現(xiàn)和提出的問題，教師要給予積極的評價(jià)和鼓勵(lì)，以便更好地保護(hù)學(xué)生提出問題的積極性．只有關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力的培養(yǎng)，才能真正落實(shí)以學(xué)生發(fā)展為本、立德樹人的根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]．從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題應(yīng)該滲透在日常的探究教學(xué)中，教師給予正確、適時(shí)的引導(dǎo)和幫助，為學(xué)生提供機(jī)會，鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于思考．通過學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出的問題，判斷學(xué)生對知識的理解和對方法的掌握程度，進(jìn)而更精準(zhǔn)和更有效地調(diào)整“教”與“學(xué)”的行為．

4.2 注重學(xué)生自主探究和合作交流

解題教學(xué)活動的重心應(yīng)該放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會解題上，積極探討有利于促進(jìn)學(xué)生解題的教學(xué)方式、方法和策略，在教師引導(dǎo)下進(jìn)行“再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造”的解題探究活動．在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上展開，選擇適宜學(xué)生探究的起點(diǎn)，不僅能對問題的求解起到啟迪作用，而且還能激發(fā)學(xué)生探究的熱情．本節(jié)課采取“以退求進(jìn)”的策略展開教學(xué)，在教師引導(dǎo)下，讓學(xué)生在“做中學(xué)”和“學(xué)中做”，讓學(xué)生表達(dá)和交流，發(fā)現(xiàn)“巧法”背后的“秘密”，進(jìn)而找到解決這一類問題的一般方法．為了更好地促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法的理解，讓學(xué)生通過小組合作“編擬”試題，從而對試題不斷進(jìn)行修正和優(yōu)化，進(jìn)一步探究、歸納、提煉出更一般的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作意識和科學(xué)精神．教師通過從特殊到一般，再從一般到特殊的解題方式教學(xué)，讓學(xué)生體驗(yàn)和掌握一種探究問題的方式，真正達(dá)到“授人以漁”的效果．