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    “逆運(yùn)算”的內(nèi)涵解析及其表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)

    2022-05-30 19:47:11劉加霞
    教學(xué)與管理(小學(xué)版) 2022年11期
    關(guān)鍵詞:逆運(yùn)算開方乘方

    摘要 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中明確提出:“減(除)法是加(乘)法的逆運(yùn)算”,為何不提“加(乘)法是減(除)法的逆運(yùn)算”或者“加減、乘除互為逆運(yùn)算”呢?對逆運(yùn)算、互為逆運(yùn)算有三種解釋:映射視角、函數(shù)視角以及單位元視角,不同視角的解釋會帶來不同答案。小學(xué)階段在具體情境中可以說“加減、乘除互為逆運(yùn)算”,不應(yīng)拘泥于映射視角的解釋,并以“減法是加法的逆運(yùn)算”為例提出了它的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)。

    關(guān)? 鍵? 詞 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》 四則運(yùn)算 逆運(yùn)算 內(nèi)涵解析 表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)

    引用格式 劉加霞.“逆運(yùn)算”的內(nèi)涵解析及其表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)[J].教學(xué)與管理,2022(32):31-33.

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《2022年版課標(biāo)》明確指出:數(shù)與代數(shù)是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域,在小學(xué)階段包括“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個主題。強(qiáng)調(diào)“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象,感悟數(shù)的概念本質(zhì)的一致性,形成數(shù)感和符號意識;感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系,體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性,形成運(yùn)算能力和推理意識?!盵1]該內(nèi)容要求與以往數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)相比發(fā)生很大變化。簡言之,特別強(qiáng)調(diào)數(shù)概念、數(shù)的運(yùn)算的一致性,特別強(qiáng)調(diào)整體地把握運(yùn)算之間的關(guān)系。例如,《2022年版課標(biāo)》中多次(共計(jì)10次提及“逆運(yùn)算”,其中2次提到“乘方與開方互為逆運(yùn)算”,其他8次關(guān)涉四則運(yùn)算)強(qiáng)調(diào)“減法是加法的逆運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算”。而以往數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“四則運(yùn)算”都沒有明確提及“逆運(yùn)算”這個術(shù)語。如此強(qiáng)調(diào)“逆運(yùn)算”顯然是凸顯“運(yùn)算之間的關(guān)系”,即從“整體上”理解運(yùn)算。但是關(guān)于四則運(yùn)算均不談“互為逆運(yùn)算”,而乘方與開方談“互為逆運(yùn)算”,為何呢?

    一、“逆運(yùn)算”與“互為逆運(yùn)算”帶來的“麻煩”

    《2022年版課標(biāo)》中非常謹(jǐn)慎地、只是明確地提出“減法是加法的逆運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算”。很自然地,有老師會問為何不提出“加法是減法的逆運(yùn)算、乘法是除法的逆運(yùn)算”呢?甚至再追問“加減法互為逆運(yùn)算、乘除法互為逆運(yùn)算”是正確的還是錯誤的?后兩者在《2022年版課標(biāo)》中沒有提及,我們知道這是編寫者“小心翼翼”選擇的結(jié)果。因?yàn)椤皣?yán)格地說”,后面兩種觀點(diǎn)是“不正確的”或者是“不妥的”。那么,既然要“嚴(yán)格、謹(jǐn)慎地”對待“逆運(yùn)算”,有教師馬上就提出,在第四學(xué)段的“內(nèi)容要求”與“學(xué)業(yè)要求”中明確寫著“了解乘方與開方互為逆運(yùn)算”“知道乘方與開方互為逆運(yùn)算”。既然可以說“乘方與開方互為逆運(yùn)算”,那為何不能說“加法與減法互為逆運(yùn)算、乘法與除法互為逆運(yùn)算”呢?在小學(xué)數(shù)學(xué)教材以及實(shí)際教學(xué)中,是否要明確提出“逆運(yùn)算”這個術(shù)語,是否要明確提出“減法是加法的逆運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算”這兩個事實(shí)?如果明確地提出來了,學(xué)生通過“類比推理”得出“加法是減法的逆運(yùn)算、乘法是除法的逆運(yùn)算”到底算正確還是錯誤?

    從“學(xué)理”上教師可以解釋說明“加與減、乘與除互為逆運(yùn)算”是不正確的,但這些解釋不可能“講給”小學(xué)生聽。實(shí)際教學(xué)中,總有一些特別愛思考的學(xué)生非要追問“加法是減法的逆運(yùn)算、乘法是除法的逆運(yùn)算”到底“對不對”時(shí),一線教師該怎樣回答呢?專家可能會說“模糊處理”,只要學(xué)生“知道減法是加法逆運(yùn)算、除法是乘法逆運(yùn)算”就行。但是,不是一直倡導(dǎo)要讓學(xué)生“學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”嗎?學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題(猜想)了,總要知道它“正確與否”吧。既不能判斷它正確與否、更不能解釋“其所以然”,那么在教學(xué)實(shí)踐中到底該如何處理呢?教師日常教學(xué)中如果說它們“互為逆運(yùn)算”難道算“科學(xué)性錯誤”?

    還有另一個“麻煩”,《2022年版課標(biāo)》的第一學(xué)段“數(shù)與運(yùn)算”的“學(xué)業(yè)要求”有“知道減法是加法的逆運(yùn)算、乘法是加法的簡便運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算[2]”,既然是“學(xué)業(yè)要求”,學(xué)段結(jié)束后學(xué)生就必須達(dá)到該要求。但是,判定是否達(dá)到學(xué)業(yè)要求的“標(biāo)準(zhǔn)”是什么?即如何判斷學(xué)生是否“知道”呢?學(xué)生能夠完成哪些任務(wù)或解決哪些問題就表明學(xué)生已經(jīng)“知道”這些結(jié)論(命題)?這又涉及到“學(xué)業(yè)要求”的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)問題。作為綱領(lǐng)性文件的課程標(biāo)準(zhǔn)不可能將每一個“學(xué)業(yè)要求”的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)都“描述出來”,需要教材編寫者、一線教師與專家學(xué)者共同來研究。

    二、“逆運(yùn)算”與“互為逆運(yùn)算”的含義

    有很多人認(rèn)為“加法與減法互為逆運(yùn)算、乘法與除法互為逆運(yùn)算”是不正確的,也認(rèn)為減法、除法“不存在逆運(yùn)算”,有人甚至認(rèn)為也不能說“乘方與開方互為逆運(yùn)算”[3]。為何《2022年版課標(biāo)》在小學(xué)階段“小心翼翼”地提加法與乘法的逆運(yùn)算,但不提“互為逆運(yùn)算”,而到了初中階段卻“直截了當(dāng)”地寫上“乘方與開方互為逆運(yùn)算”呢?難道小學(xué)階段要“嚴(yán)謹(jǐn)”而中學(xué)階段卻可以“模糊”“不糾纏”互為逆運(yùn)算的內(nèi)涵?

    判斷前述命題是否正確的前提是“什么是運(yùn)算以及逆運(yùn)算、什么是互為逆運(yùn)算”。前面提及的研究者基本都是按照1986年6月新疆青少年出版社出版的由鐵鵬主編的《中學(xué)數(shù)學(xué)詞典》中對逆運(yùn)算的定義:設(shè)某一集合內(nèi)定義了一種運(yùn)算*,且對其中的元素a、b、c有a*b=c,則把已知a、c求b或已知b、c求a的過程叫做*的逆運(yùn)算。由這個定義(稱之為映射定義)可以知道,如果*是加(乘)法運(yùn)算,則前述兩個過程都是減(除)法,所以減(除)法是加(乘)法的逆運(yùn)算。但是,如果*是減(除)法,則前述兩個過程中雖然有b+c=a(b×c=a),但是還有a+c≠b(a×c≠b)的存在,所以“加(乘)法不是減(除)法的逆運(yùn)算”,即不能說“加減法互為逆運(yùn)算,乘除法互為逆運(yùn)算”。當(dāng)*是“乘方”時(shí),乘方的逆運(yùn)算是開方運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算,即乘方存在兩種逆運(yùn)算,所以說“乘方與開方互為逆運(yùn)算”不正確。

    “乘方與開方互為逆運(yùn)算”真的不正確嗎?不是,論述之不正確是按照前述逆運(yùn)算的映射定義推理得到的。但是,從函數(shù)及其反函數(shù)的角度看,“乘方與開方互為逆運(yùn)算”是正確的。從函數(shù)角度(稱之為函數(shù)定義)看,兩種運(yùn)算互為逆運(yùn)算就是指一個函數(shù)存在反函數(shù),二者“互反”,當(dāng)然其前提是“函數(shù)存在反函數(shù)”且是指一元函數(shù),有的函數(shù)不存在反函數(shù)在此不論及。例如,當(dāng)*是乘方運(yùn)算時(shí),前面的映射(即乘方運(yùn)算)就是ab=c,這是一個二元函數(shù)(涉及三個變量),為了將其變?yōu)橐辉瘮?shù),需要將a或b看作常數(shù):當(dāng)將b看作常數(shù),就是冪函數(shù)y=xb(乘方運(yùn)算),它的反函數(shù)是y=b=(開方運(yùn)算);反過來也成立,所以可以說“乘方與開方互為反函數(shù)”,也可以說“乘方與開方互為逆運(yùn)算”。當(dāng)將a看作常數(shù),就是指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1),它的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1);反之,對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù),所以“指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算”也是正確的。

    當(dāng)*是減法、除法運(yùn)算時(shí),如果把減數(shù)、除數(shù)當(dāng)作常數(shù),則x-b=y或x÷b=y存在反函數(shù),分別是y=x+b或者y=b×x,此時(shí),可以說加(乘)法是減(除)法的逆運(yùn)算。但是,當(dāng)被減數(shù)、被除數(shù)是常數(shù)時(shí),而a-x=y或a÷x=y的反函數(shù)是它自身,此時(shí)不能說“加(乘)法是減(除)法的逆運(yùn)算”。所以,一般不說“加減法互為逆運(yùn)算、乘除法互為逆運(yùn)算”,由第一種情況可知,“加(乘)法是減(除)法的逆運(yùn)算”不能算錯誤。

    在小學(xué)階段可以再換一個角度(稱之為單位元定義)來看互逆運(yùn)算:對某個運(yùn)算對象A進(jìn)行*運(yùn)算,然后再進(jìn)行**運(yùn)算(或者先進(jìn)行**運(yùn)算,再進(jìn)行*運(yùn)算),如果所得到的結(jié)果仍然是A,則稱*與**互為逆運(yùn)算。例如,因?yàn)橛校篈+b-b=A、A-b+b=A,則稱加法減法互為逆運(yùn)算也解釋得通,其直觀表現(xiàn)就是“向右走5步,再向左走5步,一定回到了原點(diǎn)”。同理,乘法除法也可以稱作“互為逆運(yùn)算”,其直觀表現(xiàn)就是“把一段繩子先放大5倍,再縮小到它的,繩子長短沒變”。小學(xué)數(shù)學(xué)日常教學(xué)中教師們不要去糾結(jié)“加減法互為逆運(yùn)算、乘除法互為逆運(yùn)算”是否正確、是否能說,在具體情境中“說了”不算錯誤。例如,經(jīng)典的“一圖四式”都有助于學(xué)生認(rèn)識到加法和減法運(yùn)算的互逆關(guān)系[4]。

    此外,隨著數(shù)系的擴(kuò)充只剩下兩種運(yùn)算:加法、乘法。例如,從自然數(shù)集合擴(kuò)充到整數(shù)集,減法也是加法,即“減去一個數(shù)等于加這個數(shù)的相反數(shù)”,再擴(kuò)充到有理數(shù)集,除法也是乘法,即“除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”。既然數(shù)系擴(kuò)充后,只剩加法、乘法兩種運(yùn)算,再強(qiáng)調(diào)“減法是加法的逆運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算”意義不大。在群論中,單位元以及逆元的價(jià)值更大,即單位元定義更有價(jià)值。

    由上述論證看出,什么是“逆運(yùn)算”可以從不同角度定義和解釋。所以,強(qiáng)烈建議:在小學(xué)第一學(xué)段的教材中不要明確寫出“逆運(yùn)算”“減法是加法的逆運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算”等術(shù)語和事實(shí)性結(jié)論,否則將引發(fā)太多的“解釋不清”、太多的“麻煩”。但是,在第一學(xué)段如何讓學(xué)生直觀地感知“減法是加法的逆運(yùn)算(學(xué)生提出‘加法是減法的逆運(yùn)算不能算錯誤)”呢?如何判斷學(xué)生是否“知道減法是加法的逆運(yùn)算”而不糾纏前述跟學(xué)生“說不清、道不明”的命題?這就涉及表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)問題,即第一學(xué)段的該項(xiàng)學(xué)業(yè)要求要滲透在理解加減法運(yùn)算意義及其問題解決中。

    三、“學(xué)業(yè)要求”的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)亟待厘清

    《2022年版課標(biāo)》中明確提出了“學(xué)業(yè)要求”“學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”這一“創(chuàng)新點(diǎn)”,“學(xué)業(yè)要求主要明確學(xué)段結(jié)束時(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容與相關(guān)核心素養(yǎng)所要達(dá)到的程度[5]”。如何判斷學(xué)生是否達(dá)到了“學(xué)業(yè)要求”呢?學(xué)生有哪些“行為表現(xiàn)”就說明他達(dá)到了“知道減法是加法的逆運(yùn)算”的學(xué)業(yè)要求呢?即這個學(xué)業(yè)要求的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)是什么呢?如果沒有表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn),教材編寫者如何編寫教材?一線教師如何有效實(shí)施教學(xué)以達(dá)到“學(xué)業(yè)要求”呢?如果表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)不明確、不具備可操作性,教材編寫者的理解、一線教師的理解都與《2022年版課標(biāo)》的要求“不一致”,如何落實(shí)新課標(biāo)呢?由此可見,“學(xué)業(yè)要求”的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)亟待厘清。

    下面以“知道減法是加法的逆運(yùn)算”為例闡述其表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)下各版小學(xué)數(shù)學(xué)教材都將加減法、乘除法分別編寫在同一冊教材中,讓學(xué)生在“比較”中學(xué)習(xí)加減法各自能解決的實(shí)際問題,利用實(shí)際問題情境感悟兩種運(yùn)算的互逆關(guān)系。學(xué)生能解決哪些問題或有哪些行為表現(xiàn)即能表明學(xué)生“知道減法是加法的逆運(yùn)算”?筆者認(rèn)為其表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)主要包括以下幾方面。

    1.能夠正確完成如圖1所示的問題

    2.能夠正確填寫□-5=7中的數(shù),且學(xué)生思考過程是“因?yàn)?+7=12,所以填寫12”。或者能夠完成圖2所示的內(nèi)容。

    可以看出,圖1、圖2的問題都在強(qiáng)調(diào)“加減法互為逆運(yùn)算”。

    3.借助“左右跳”游戲活動,只要“左右跳”的步數(shù)相同,一定可以“跳回原點(diǎn)”。當(dāng)然,能夠在數(shù)線上“表達(dá)”前述“活動過程”更可以表明學(xué)生“知道減法是加法的逆運(yùn)算”。

    4.能夠解決“逆向加法”問題。例如,飛機(jī)場停放著9架飛機(jī),飛走了3架,問飛機(jī)場原來有多少架飛機(jī)。其思考過程是:多少架飛機(jī)減去3架等于9架?用“9+3=?”解決。

    5.利用加減法的互逆關(guān)系正確計(jì)算出結(jié)果。例如,計(jì)算71-69=?有學(xué)生通過“69+2=71”得到“71-69=2”。

    此外,脫式計(jì)算、利用等式性質(zhì)解決問題等等都蘊(yùn)含著加減法、乘除法為“互逆運(yùn)算”。作為“基本事實(shí)”,它們無處不在。

    參考文獻(xiàn)

    [1][2][5] 中華人們共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022:18,19,17.

    [3] 蘭昌雄.談?wù)劵槟孢\(yùn)算[J].四川教育學(xué)院學(xué)報(bào),2001(05):64.

    [4] 蔡金法,江春蓮,聶必凱.我國小學(xué)課程中代數(shù)概念的滲透、引入和發(fā)展:中美數(shù)學(xué)教材比較[J].課程·教材·教法,2013,33(06):57-61+122.

    [責(zé)任編輯:陳國慶]

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