培養(yǎng)推理意識(shí) 發(fā)展數(shù)學(xué)思維

南欲曉

【摘? ?要】推理是“數(shù)學(xué)思維”的主要表現(xiàn)形式之一，小學(xué)階段要著力培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，具體可從如何讓學(xué)生經(jīng)歷歸納推理的過程，如何在教學(xué)中滲透類比推理的思維方式，如何讓學(xué)生體驗(yàn)演繹推理的嚴(yán)密性這三個(gè)方面展開，以幫助學(xué)生逐步形成推理意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維;邏輯推理;合情推理;演繹推理

學(xué)生推理能力的強(qiáng)弱決定了其是否“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界”。推理是解決問題的一種重要思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。從教學(xué)的角度看，推理能力的培養(yǎng)有一條清晰的路徑，那就是從小學(xué)的推理意識(shí)到初中的推理能力，再到高中的邏輯推理。小學(xué)生年齡較小，經(jīng)驗(yàn)有限，所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)尚不豐富，很多時(shí)候他們的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、能力不足以支撐其進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，所以教學(xué)中并不特別要求學(xué)生保證推理的嚴(yán)密性。但從讓學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”這一角度看，小學(xué)教師自身需要清晰地了解推理的相關(guān)知識(shí)，理解在小學(xué)階段的教學(xué)中滲透推理能力的重要意義與方法。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理

數(shù)學(xué)推理主要有兩種，即合情推理和演繹推理。雖然這兩種推理相互依存，但就數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得而言，還是有所區(qū)別的。在一般情況下，人們是借助合情推理預(yù)測數(shù)學(xué)結(jié)論，借助演繹推理驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論。

（一）合情推理

合情推理是從已有的知識(shí)和具體的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、聯(lián)想、歸納等手段在某種情境和過程中推出結(jié)論。這種推理從觀察、實(shí)驗(yàn)入手，或通過歸納而作出猜想，或通過類比而產(chǎn)生聯(lián)想。

合情推理主要有歸納推理和類比推理。歸納推理是基于一個(gè)“類”的推理，經(jīng)常從看似雜亂無章的對(duì)象出發(fā)，歸納得出共性的“一類”問題的結(jié)論，一般用來預(yù)測結(jié)果或探究成因，是發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的有效途徑。從思維的方式來說它是從特殊到一般的推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用歸納推理進(jìn)行學(xué)習(xí)的典型內(nèi)容有找規(guī)律、運(yùn)算定律、數(shù)的性質(zhì)以及圖形的面積、體積公式的推導(dǎo)等。如在“找規(guī)律”的教學(xué)中，學(xué)生需要從不同的角度出發(fā)，在變化中尋找不變，探尋事物共性的、內(nèi)在的聯(lián)系，并把它們歸納成“一類”。又如“運(yùn)算定律”的教學(xué)，教師常常讓學(xué)生先結(jié)合情境中的例子提出猜想，然后舉例驗(yàn)證，最后歸納運(yùn)算定律，這一教學(xué)路徑體現(xiàn)了歸納推理的特點(diǎn)。再如“商不變性質(zhì)”“小數(shù)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“比和比例的基本性質(zhì)”等內(nèi)容的教學(xué)，教師會(huì)先引導(dǎo)學(xué)生在幾個(gè)例子中發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，然后思考“所有的都是這樣嗎，有沒有不同的反例”等問題，這都是在幫助學(xué)生感知“根據(jù)一類事物的某個(gè)性質(zhì)，進(jìn)而推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論”的推理方法。

類比推理是基于兩個(gè)“類”的推理，依賴于兩類（個(gè)）對(duì)象之間的相似性，一般用來尋找產(chǎn)生某種現(xiàn)象的原因。從思維方式看，它是“從特殊到特殊”的推理，它的關(guān)鍵是要找到兩類內(nèi)容的相似性。觀察、比較與聯(lián)想是類比推理的基礎(chǔ)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要運(yùn)用類比推理思維進(jìn)行學(xué)習(xí)的內(nèi)容很多。比如在教學(xué)“億以內(nèi)數(shù)的讀寫”中，教師引導(dǎo)學(xué)生與“萬以內(nèi)數(shù)的讀寫方法”進(jìn)行類比，這就是在運(yùn)用類比推理的思考方式。如果能把新知識(shí)和相類似的舊知識(shí)進(jìn)行類比，進(jìn)而找到解決問題的方法，就實(shí)現(xiàn)了知識(shí)和方法的正遷移。其實(shí)，圍繞“數(shù)的意義”，除了相對(duì)應(yīng)的內(nèi)容與方法間具有相似性外，不同年級(jí)數(shù)概念的教學(xué)也都有著相同的展開邏輯。從“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”到“百以內(nèi)、千以內(nèi)、萬以內(nèi)、萬以上數(shù)的認(rèn)識(shí)”，再到“小數(shù)的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”，它們都是按照“數(shù)的意義→讀寫→數(shù)的組成→數(shù)的大小比較”這樣的順序進(jìn)行的。這種對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容相似性的探索也是數(shù)學(xué)推理活動(dòng)的常見形式。

“數(shù)的意義”“數(shù)的運(yùn)算”以及“運(yùn)算的規(guī)律”這些知識(shí)展開的方式也有一定的相似性，在整數(shù)教學(xué)中習(xí)得的方式同樣在小數(shù)、分?jǐn)?shù)教學(xué)中適用?！敖鉀Q問題”也有相似性的探索，比較典型的有“雞兔同籠”“抽屜原理”以及數(shù)量關(guān)系相近的問題等。這些內(nèi)容學(xué)習(xí)時(shí)比較強(qiáng)調(diào)“這個(gè)內(nèi)容歸屬于哪一類，內(nèi)容之間有什么相似的關(guān)聯(lián)，它們是如何孕伏、如何發(fā)展的”。從知識(shí)學(xué)習(xí)維度看，把知識(shí)聯(lián)起來、讓不同層次通起來，這些“知識(shí)結(jié)構(gòu)”將會(huì)潛移默化地被學(xué)生“吸收”而內(nèi)化為“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”。

歸納推理和類比推理都屬于合情推理，合情推理的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，還需要用演繹推理去證明。

（二）演繹推理

演繹推理是按照某些規(guī)定了的法則所進(jìn)行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理。也就是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）、確定的規(guī)則出發(fā)，得到某個(gè)具體結(jié)論的推理。從思維的方式上來說它是“從一般走向特殊”。

演繹推理的主要功能是驗(yàn)證猜想或類比得到的結(jié)論是否正確。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，演繹推理更多傾向于應(yīng)用已經(jīng)被驗(yàn)證過的結(jié)論解決問題。演繹推理中常見的推理判斷有三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等，這些在小學(xué)階段都有所涉及。如推導(dǎo)幾何圖形面積的過程、推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和及探索多邊形內(nèi)外角關(guān)系時(shí)一般采用的都是三段論的推理判斷;人教版二年級(jí)下冊中的“數(shù)學(xué)廣角——推理”、四年級(jí)上冊中的“正確區(qū)分在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系”“通過量一量、畫一畫，判斷出點(diǎn)到直線之間的連線中哪條最短”等采用的是選言推理判斷;根據(jù)概念、性質(zhì)等進(jìn)行判斷的一些問題采用的是假言推理判斷;大小比較、恒等變形、等量代換等采用的是關(guān)系推理判斷。

值得注意的是，有時(shí)不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容會(huì)用到同一種推理方法，同一數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，也會(huì)用到不同的推理方法。比如常用的法則、性質(zhì)、定律、圖形公式推導(dǎo)等常常先用合情推理得出結(jié)論，再借助演繹推理的思維方式運(yùn)用結(jié)論解決問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，這兩種推理模式都是非常重要的，都應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)教育中予以充分的重視。推理能力的培養(yǎng)需要和內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，不同推理形式需要做到有機(jī)的統(tǒng)一，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中推理能力的培養(yǎng)

（一）經(jīng)歷歸納推理的過程

人教版教材四年級(jí)下冊“加法交換律”的教學(xué)是一節(jié)讓學(xué)生真正經(jīng)歷歸納推理全過程的課。從教材內(nèi)容的呈現(xiàn)看，教學(xué)流程大致為先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境列出算式40+56=96或56+40=96，得到40+56=56+40，然后請學(xué)生“再舉出幾個(gè)這樣的例子”，進(jìn)而歸納出加法交換律。要突出培養(yǎng)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”，在教學(xué)時(shí)，教師要注意幾個(gè)關(guān)鍵細(xì)節(jié)的處理。

首先是觀察階段。在讓學(xué)生觀察“40+56=56+40”這個(gè)例子時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察得出“交換40與56的位置，它們的和是不變的”這一結(jié)論。教師要清楚地知道，相對(duì)于“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”來說，“交換40與56的位置，它們的和是不變的”只是一個(gè)特例，它的成立并不能代表其具有普遍性，所以需要進(jìn)行更進(jìn)一步的驗(yàn)證。

其次是舉例階段。讓學(xué)生“舉出幾個(gè)這樣的例子”，目的是讓學(xué)生探尋其他例子中交換兩個(gè)加數(shù)的位置它們的和是不是也不變。有了這樣的認(rèn)知，學(xué)生就會(huì)知道，要舉出的例子應(yīng)該是具有多樣性的，比如兩個(gè)數(shù)都是整數(shù)的，兩個(gè)數(shù)都是小數(shù)的，兩個(gè)數(shù)都是分?jǐn)?shù)的，或者兩個(gè)數(shù)是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)組合的，等等。引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)更多例子的觀察發(fā)現(xiàn)，所有例子中“交換兩個(gè)加數(shù)的位置它們的和都是不變的”，所以就把它們歸為“一類”，這“一類”就是兩個(gè)數(shù)相加;這“一類”的共性就是交換兩個(gè)加數(shù)的位置它們的和不變。教師還要注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到，雖然已經(jīng)把它們歸成一類，且找到了這一類的共性，但它們?nèi)匀皇沁@一類中的特例，不具有普遍性，所以還需要進(jìn)行更進(jìn)一步的驗(yàn)證。

然后是提出合理猜想階段。教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：如果舉出的所有例子“交換兩個(gè)加數(shù)的位置它們的和不變”都成立，那么是不是就可以說明所有的兩個(gè)數(shù)相加，“交換兩個(gè)加數(shù)的位置它們的和不變”都成立呢？從前期的例子中看，不管是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)還是它們之間的組合，“交換兩個(gè)加數(shù)的位置它們的和不變”都是成立的，所以我們就提出合理的猜想，即“交換兩個(gè)加數(shù)的位置它們的和不變”。這就是對(duì)這一類中所有的個(gè)體是否具有共性提出的猜想。

最后是驗(yàn)證階段。前面提出了合理的猜想，猜想得出的結(jié)論是否成立仍需驗(yàn)證。教師引導(dǎo)學(xué)生明確：只要找到一個(gè)反例就能說明猜想是錯(cuò)誤的，在還沒有找到反例的情況下，暫時(shí)可以將它作為結(jié)論來使用。同時(shí)，雖然對(duì)于加法交換律來說，小學(xué)階段不需要嚴(yán)格的證明，但教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖等方式，用加法的意義來說明這一結(jié)論的正確性。

再如“找規(guī)律”教學(xué)時(shí)，規(guī)律得出的過程也是歸納推理的過程。規(guī)律就是從“一類問題”錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系中提煉出來的本質(zhì)的、內(nèi)在的聯(lián)系，即“萬變”中的“不變”。如根據(jù)圖1所示的一組圖找規(guī)律，可以把“前一個(gè)點(diǎn)子圖的數(shù)量和圖列”作為“不變”，找到相鄰兩個(gè)圖形的關(guān)系，也可以把“第一個(gè)點(diǎn)子圖或者其中的某部分”作為最基本圖形保持“不變”，找到它和所有圖形之間的關(guān)系，還可以把“圖形的層數(shù)”作為“不變”，找到相鄰層之間的數(shù)量關(guān)系及最上一層數(shù)量與圖序之間的關(guān)系，從而推斷出點(diǎn)子圖序與點(diǎn)子之間的關(guān)系。

“找規(guī)律”和“加法交換律”的學(xué)習(xí)，學(xué)生都要經(jīng)歷歸納推理的過程，但它們是不一樣的。得出加法交換律的思考過程是“簡單枚舉”，也就是通過舉例歸納共性，進(jìn)而得出結(jié)論，因此在舉例階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生盡可能多地找到不同的例子，以保證結(jié)論的可信性。而“找規(guī)律”時(shí)，得出結(jié)論的可靠性跟例子的多少?zèng)]有太大的關(guān)系，主要思考的是對(duì)象之間的因果關(guān)系，這是一種應(yīng)用“科學(xué)歸納法”進(jìn)行的推理。

“歸納推理”是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題或進(jìn)行創(chuàng)造的基礎(chǔ)。小學(xué)階段發(fā)展學(xué)生的歸納推理能力，要引導(dǎo)學(xué)生不斷豐富歸納推理的思維方式，讓學(xué)生體會(huì)到：簡單枚舉推理需要擴(kuò)大舉例子的范圍，并強(qiáng)化“找反例”，應(yīng)用“科學(xué)歸納法”進(jìn)行推理則側(cè)重找關(guān)系，在變化中找到不變的規(guī)律。

（二）滲透類比推理的思維方式

類比推理指根據(jù)兩類事物某方面的相似性推導(dǎo)出其他方面的相似性，因此比較強(qiáng)調(diào)“具有相同屬性”。通過類比得出的結(jié)論具有或然性，但類比的思維方式能引發(fā)學(xué)生將已經(jīng)掌握的知識(shí)進(jìn)行遷移，使學(xué)生能“舉一反三”“聞一知十”。類比推理能力強(qiáng)的學(xué)生遇到新問題時(shí)，會(huì)根據(jù)以前遇到過的類似問題的解決過程，嘗試從舊知識(shí)、老辦法中找到解決新問題的方案，這是適應(yīng)當(dāng)代社會(huì)非常重要的能力。

小學(xué)教材的編寫遵循螺旋上升的原則。當(dāng)教學(xué)的“新內(nèi)容”與以往某些“老內(nèi)容”有相似之處時(shí)，教師可以善加利用，滲透“類比”思維。這種滲透可以在上某節(jié)課之前進(jìn)行，也可以隔段時(shí)間，在學(xué)生學(xué)習(xí)的某一階段進(jìn)行。如每學(xué)期的第一節(jié)數(shù)學(xué)課，可以組織學(xué)生上一節(jié)“目錄課”，引導(dǎo)學(xué)生先按照不同領(lǐng)域?qū)Ρ緝越滩闹幸獙W(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行分類，然后思考“這些內(nèi)容可能與我們以前學(xué)過的哪些內(nèi)容有關(guān)，學(xué)過的哪些內(nèi)容可能對(duì)本學(xué)期的學(xué)習(xí)有幫助”。這樣的教學(xué)能幫助學(xué)生整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，主動(dòng)在舊知與新知之間建立聯(lián)系。當(dāng)然，在“目錄課”中，學(xué)生所進(jìn)行的“類比”是比較粗獷的，但卻對(duì)學(xué)生“類比”思維的培育有重要的影響。他們會(huì)在后續(xù)學(xué)習(xí)中，進(jìn)一步嘗試通過“遷移”解決新問題。

小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容很多，編排分散，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過類比遷移的方式萃取不同內(nèi)容編排時(shí)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，感受計(jì)算學(xué)習(xí)內(nèi)容的“相似性”和“一致性”。如學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)了小數(shù)之后可以提問“小數(shù)與咱們學(xué)過的整數(shù)一樣，都是數(shù)。先回想一下，你是怎么學(xué)習(xí)整數(shù)的，然后想想，關(guān)于小數(shù)你還想研究什么”。這樣的問題指向引導(dǎo)學(xué)生通過“小數(shù)和整數(shù)都是數(shù)”這一相同屬性進(jìn)行“類比”，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)中體會(huì)小數(shù)的大小比較、小數(shù)的計(jì)算意義、小數(shù)的計(jì)算方法與整數(shù)之間的一致性奠定基礎(chǔ)。

也就是說，小學(xué)階段，學(xué)生不一定要經(jīng)歷嚴(yán)密的類比推理過程，但教師要通過教學(xué)不斷滲透類比的思維方式，讓學(xué)生體會(huì)類比的價(jià)值。

（三）體驗(yàn)演繹推理的嚴(yán)密性

三段論推理是演繹推理中的一種簡單推理判斷，它包括一個(gè)包含大項(xiàng)和中項(xiàng)的命題（大前提）、一個(gè)包含小項(xiàng)和中項(xiàng)的命題（小前提）以及一個(gè)包含小項(xiàng)和大項(xiàng)的命題（結(jié)論）三部分。三段論是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)證明、科學(xué)研究時(shí)，能夠得到正確結(jié)論的方法之一。三段論的語言形式具有“因?yàn)椤浴钡男问?，是一種因果關(guān)系。雖然在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不要求學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明，但需要培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，要讓學(xué)生體驗(yàn)到培養(yǎng)推理的嚴(yán)密性需從平時(shí)教學(xué)的點(diǎn)點(diǎn)滴滴做起。如培養(yǎng)學(xué)生“有條有理思考、有根有據(jù)表達(dá)”的習(xí)慣，做到“言之有據(jù)”“言之有理”，等等。

人教版教材四年級(jí)上冊“直線和角”部分中有一道題，要求學(xué)生測量圖中四個(gè)角的度數(shù)，并發(fā)現(xiàn)它們的相等關(guān)系（如圖2）。這道題是讓學(xué)生在現(xiàn)有知識(shí)基礎(chǔ)上經(jīng)歷較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹把堇[推理”過程的好素材。

教學(xué)時(shí)，有學(xué)生提出“用量角器分別量出四個(gè)角大小再比較”的方法，但因?yàn)椤傲俊背鼋Y(jié)果有可能產(chǎn)生誤差，所以結(jié)論并不嚴(yán)謹(jǐn)。教師要讓學(xué)生先感受這種不嚴(yán)謹(jǐn)，然后提問：“能不能不用測量說明∠1和∠3相等，∠2和∠4相等？”引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的過程：因?yàn)椤?+∠2是一個(gè)平角，平角是180°，所以∠1=180°-∠2;同理，因?yàn)椤?+∠2也是一個(gè)平角，所以∠3=180°-∠2，由此發(fā)現(xiàn)∠1和∠3相等。

現(xiàn)實(shí)生活中，人們面對(duì)紛繁復(fù)雜的信息，經(jīng)常需要先進(jìn)行選擇和判斷，接著進(jìn)行推理、作出決策。因此，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，是培養(yǎng)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)的重要著力點(diǎn)之一。核心素養(yǎng)的培育是一個(gè)漫長的過程，推理能力的形成也并非一朝一夕之事，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理與演繹推理相輔相成，共同擔(dān)負(fù)著發(fā)展學(xué)生“推理意識(shí)”的重要作用，促進(jìn)這種“意識(shí)”在教學(xué)中落地，還需要我們共同努力。

（浙江省杭州市拱墅區(qū)賣魚橋小學(xué)文匯校區(qū)? ?310015）