問題與征解

問題9(供題者：東南大學(xué) 陳建龍)設(shè)A為3階實(shí)對稱矩陣,它的3個(gè)特征值為λi(i=1,2,3)，滿足λ1=λ2≠λ3，α1,α2為屬于特征值λ1的線性無關(guān)的特征向量.請用λ1,λ3,α1,α2給出A的表達(dá)式.

問題10(供題者：湖南交通工程學(xué)院高科技研究院 馮良貴)設(shè)R={1,0,-1}，Rn×n為R上n階方陣全體，證明：集合S={detA|A∈Rn×n} 必包含開區(qū)間(-2n-1,2n-1)內(nèi)的一切整數(shù).進(jìn)一步，我們提出如下開放問題：S是否就由閉區(qū)間[-2n-1,2n-1]內(nèi)的一切整數(shù)所構(gòu)成呢?

問題2解答

以下解答由王尉(浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的本科生，Email:3180104850@zju.edu.cn)提供.

對于ε∈，[a,b]?，記

(1)

供題者點(diǎn)評提出此問題的背景是尋找刻畫函數(shù)導(dǎo)數(shù)/梯度為零的條件，尤其是由函數(shù)的積分來表示的條件.王尉同學(xué)的解答挺好，能想到這樣做很不容易.

問題3解答

問題3(供題者：廈門大學(xué) 林亞南)

(i)證明:對于數(shù)域F上任意的n階矩陣A，存在可逆矩陣P使得B≡PA是對稱矩陣.

(ii)設(shè)計(jì)一個(gè)算法，實(shí)現(xiàn)(i)的任務(wù)，即輸入一個(gè)n階矩陣A，輸出相應(yīng)的對稱矩陣B.

以下解答由王中華(河南大學(xué)，Email：10100006@vip.henu.edu.cn)提供.

證(i)存在數(shù)域F上的可逆矩陣R和S，使得Ar=RAS，其中Ar為對角矩陣，r為矩陣A的秩.令P=(S-1)TR，B=PA，則B=PA=[(S-1)TR](R-1ArS-1)=(S-1)TArS-1,易見B是對稱矩陣.

(ii)最后計(jì)算B=PA.算法實(shí)現(xiàn)的偽代碼如下：

子程序a：輸入一個(gè)矩陣，對其前n行作初等行變換，使前n行前n列其變?yōu)樯先蔷仃嚕蛔映绦騜：輸入一個(gè)矩陣，對其前n行作初等列變換，使前n行前n列其變?yōu)橄氯蔷仃嚕?/p>

1 輸入矩陣A；

3 對H前n行、前n列分別作初等行、列變換，使其前n行前n列變?yōu)閷蔷仃嚕?/p>

4 令R為H的前n行，后n列組成的矩陣，S為H的后n行，前n列組成的矩陣；

6 令P為K的后n列組成的矩陣；

7 輸出B=PA.

供題者點(diǎn)評基于問題(i)證明的思想，解答者正確完整地回答了問題(ii).有沒有可能直接給出算法呢？

問題4解答

問題4(供題者：復(fù)旦大學(xué) 謝啟鴻 厲茗)設(shè)n階復(fù)方陣A滿足：對任意的正整數(shù)k，|Ak+In|=1.證明：A是冪零陣.

以下解答由伍詩穎(湖南第一師范學(xué)院2018級本科生，Email：sywu15211032635@163.com)提供，給出本題正確解答的還有周爍星(復(fù)旦大學(xué)2018級本科生).

要證A冪零,即要證λ1=λ2=…=λn=0.將展開式

中的各項(xiàng)記作y1,y2,…,y2n-1.則對任何k=1,2,…,有

若y1,y2,…,y2n-1均為零，則結(jié)論得證.否則,設(shè)y1,y2,…,y2n-1中的所有不同的非零值為x1,x2,…,xm,且出現(xiàn)的次數(shù)依次為n1,n2,…,nm,則

解得n1=n2=…=nm=0.矛盾.因此，λ1=λ2=…=λn=0.即A冪零.