一個廣受關(guān)注的數(shù)列極限的注記

楊 威， 李華冰

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230601； 2.合肥工業(yè)大學(xué) 宣城校區(qū)基礎(chǔ)部，安徽 宣城 242000)

1 引 言

類比是特殊到特殊的思維方式，是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，是提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)的重要源泉，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力.在高等數(shù)學(xué)中出現(xiàn)眾多的類比.如低維與高維，離散與連續(xù)的類比等等.關(guān)于類比思想有眾多的文獻(xiàn)進(jìn)行了闡述，讀者可查閱相關(guān)文獻(xiàn).

受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā)，文章用類比思維探討了一個正切函數(shù)積分的數(shù)列極限問題，豐富了相關(guān)結(jié)論，對教學(xué)具有一定的參考價值.

(1)

(2)

(3)

(4)

2 證 明

下面將基于類比思維，利用換元法和分部積分法，借助于數(shù)列的單調(diào)性，來給予證明.證明如下.

利用分部積分法可得

即

(5)

由此可知

從而(n+1)bn+1≥nbn，所以數(shù)列{nbn}單調(diào)遞增.

因此(4)式成立，從而(3)式也成立.

(4)式也可以用如下方法證明.

(6)

由于bn+2≤bn+1≤bn，所以由(6)知

(7)

(8)

由(7),(8)可得

(4)

3 應(yīng) 用

下面舉幾個例子，說明(4)的應(yīng)用.

在微積分中，有兩個大家熟悉的結(jié)論，數(shù)列

(9)

(10)

由于

(11)

(12)

(13)

表1

4 結(jié) 論

致謝審稿專家對文章的修改提了很多寶貴意見，在此表示感謝.