一道全國大學生數(shù)學競賽題的引申與推廣

鄭華盛， 袁達明,2

(1.南昌航空大學 數(shù)學與信息科學學院，南昌 330063； 2.江西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，南昌 330022)

1 引 言

本文旨在將該和式取整問題作進一步地引申和推廣，探討有關(guān)和式不等式與極限新題的構(gòu)造問題.該問題的研究對于創(chuàng)新思維和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)具有一定的意義.下面，首先給出該和式的不等式命題，然后進一步推廣到其它幾類和式情形，得到幾個相關(guān)命題，之后，再利用所得命題，構(gòu)造和編制一系列關(guān)于和式的極限及不等式的新題.

2 幾個相關(guān)結(jié)論

命題1設(shè)m,n為兩個任意給定的正整數(shù)，m

或

或

命題2設(shè)m,n為兩個任意給定的正整數(shù)，m

(i)當α≠1時，有

或

或

(ii)當α=1時，有

或

命題3設(shè)m,n為兩個任意給定的正整數(shù)，m

或

更一般地，由積分和與定積分的幾何意義及凹凸弧的性質(zhì)，可得

命題4設(shè)m,n為兩個任意給定的正整數(shù)，m

(i)當f(x)在(0,+∞)上非負且嚴格單調(diào)減少時，有

或

而當f(x)在(0,+∞)上非負且嚴格單調(diào)增加時，上述不等式反向成立.

(ii)當f(x)為(0,+∞)上的凹弧時，有

而當f(x)為(0,+∞)上的凸弧時，不等式反向成立.

3 賽題的求解及和式極限與不等式新題的構(gòu)造

而S100-1<[S100]≤S100,于是17<[S100]<19,故[S100]=18.

類似地，可求如下和數(shù)x的整數(shù)部分[x]：

此外，利用以上命題，可構(gòu)造和編制一些有關(guān)和式的極限與不等式新題.

由命題2和命題3及夾逼準則，可得一些和式極限：

從而可構(gòu)作如下對應(yīng)的極限新題：

即

于是得

從而可構(gòu)造一類極限新題

其中常數(shù)α≥0,β>0或α>0,β≥0.

于是數(shù)列{an}單調(diào)減少且有界，故又可構(gòu)造如下極限新題：

由此可構(gòu)造如下極限新題：

類似地，由命題4，選取不同的f(x),還可構(gòu)造和編制出一系列的和式極限新題.

利用以上命題2，也可編制一些有關(guān)和式不等式的新題.如：

取α=2,m=1,則有

取α=2,m=2,則有

或

從而

取α=2,m=3,則有

或

即得不等式

特別地，當m=1時，有

特別地，當m=1時，有

由該不等式也可構(gòu)造極限新題：當0<α<1時

類似地，通過選取不同的函數(shù)f(x),由命題4可編制出一系列的和式不等式新題.

4 結(jié) 論

本文對一道關(guān)于和式取整的全國大學生數(shù)學競賽試題進行了引申和推廣，通過構(gòu)作相應(yīng)的輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性，結(jié)合積分和與定積分的幾何意義，得到了幾類和式的不等式命題，之后，探討了如何利用這些命題構(gòu)造和編制和式的極限與不等式新題，并給出了一些應(yīng)用實例.如此過程，不僅拓展和豐富了和式的不等式與極限新題的構(gòu)造方法，而且對于培養(yǎng)和提高學生的探究能力與創(chuàng)新能力具有一定的促進作用.讀者也可以動手類似地構(gòu)作一些有關(guān)和式不等式與極限的新題.

致謝作者非常感謝所引文獻對本文的啟發(fā)及審稿專家提出的寶貴意見.