系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的線性方程組的同解性

張姍梅， 劉耀軍

(1.太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030619； 2.太原師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，山西 晉中 030619)

1 引 言

線性方程組是線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一，主要涉及到線性方程組解的存在性、唯一性及其解法問(wèn)題.這些問(wèn)題在線性代數(shù)中已經(jīng)得到了比較充分的討論.但在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生常常提問(wèn)，兩個(gè)線性方程組同解的條件是什么？

這個(gè)問(wèn)題在現(xiàn)行教材中沒(méi)有完整的論述，為了回答這個(gè)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)學(xué)者進(jìn)行了深入的討論.在文獻(xiàn)[1]中，利用向量組的極大無(wú)關(guān)組，證明了兩個(gè)線性方程組同解的充要條件是它們的增廣矩陣的行向量組等價(jià)；在文獻(xiàn)[2]中，利用[1]的結(jié)論，給出了兩個(gè)線性方程組同解的充要條件的秩的刻畫；在文獻(xiàn)[3]中，利用線性方程組解的存在性定理和[1]的結(jié)論，得到兩個(gè)線性方程組同解的充要條件是它們對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組同解，但是這個(gè)結(jié)論的充分條件是錯(cuò)的；在文獻(xiàn)[4]中，利用線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理，糾正了[3]中的錯(cuò)誤，指出兩個(gè)線性方程組同解的充要條件除了它們對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組同解之外，還應(yīng)該附加條件“兩個(gè)方程組有公共解”.

按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，從最簡(jiǎn)單的線性方程組——系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣的線性方程組入手，討論線性方程組的同解性.利用矩陣的秩的概念，通過(guò)討論由兩個(gè)同解方程組合并而成的輔助方程組，證明了同型的系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的線性方程組同解的充要條件是他們的增廣矩陣相等；利用這個(gè)結(jié)論，得到一般的線性方程組同解的結(jié)論，證明了矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣的唯一性.與傳統(tǒng)的線性相關(guān)性方法[1-4]比較，這里的方法是構(gòu)造性的.因?yàn)橄禂?shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的線性方程組足夠簡(jiǎn)單，使得同解性問(wèn)題可以通過(guò)直接計(jì)算得到解決，也使得“矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣的唯一性的證明”比主元列法的證明[5-8]更加清晰.

在文中，m，n是正整數(shù)，x=(xi)n×1是未知量向量，In是n階單位陣，R(A)是矩陣A的秩.

2 系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的同型齊次線性方程組的同解性

解系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的齊次線性方程組只需要移項(xiàng)，因此系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的齊次線性方程組是最簡(jiǎn)單的線性方程組，其性質(zhì)更容易證明.

定理1系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的同型齊次線性方程組的同解性.設(shè)C與D是m×n行最簡(jiǎn)形矩陣.如果Cx=0與Dx=0同解，那么C=D.

當(dāng)r=0時(shí)，由R(C)=R(D)=0知，C=D=O.對(duì)于r≥1的情形，分兩步證明C=D.第一步，利用數(shù)學(xué)歸納法證明C與D的每個(gè)非零行的首1元素所在列的位置相同；第二步，通過(guò)解線性方程組證明C與D的對(duì)應(yīng)元素相等.

xji=-cij(1≤i≤r)，xj=1，xk=0 (k∈{1，2，…，n}-{j1，j2，…，jr，j}).

因?yàn)榉匠探MCx=0和方程組Dx=0同解，所以它也是Dx=0的解，將此解代入Dx=0的第i個(gè)方程，得恒等式-cij+dij=0，故cij=dij.因此，C=D.

3 系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的同型非齊次線性方程組的同解性

線性方程組和它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解之間有如下關(guān)系：線性方程組兩個(gè)解的差是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解；非齊次線性方程組的一個(gè)解與其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解的和是非齊次線性方程組的解.借助這些性質(zhì)，可得兩個(gè)線性方程組同解與其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組同解的關(guān)系.

引理1[3]設(shè)A與B是m×n矩陣，a與b是m維常數(shù)列向量.如果Ax=a與Bx=b有解并且同解，那么Ax=0與Bx=0同解.

利用系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的齊次線性方程組同解的結(jié)果，作為定理1的應(yīng)用，可以得到系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的非齊次線性方程組同解的增廣矩陣的關(guān)系.

定理2系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的同型非齊次線性方程組的同解性.設(shè)C與D是m×n行最簡(jiǎn)形矩陣，c=(ci)m×1與d=(di)m×1是常數(shù)列向量.如果Cx=c與Dx=d有解并且同解，那么

(C|c)=(D|d).

證因?yàn)镃x=c與Dx=d有解并且同解，所以由引理1知，Cx=0與Dx=0同解，再由定理1得C=D.設(shè)R(C)=r，C如定理1證明所述.當(dāng)r=0時(shí)，由R(C)=0知，C=D=O，因?yàn)镃x=c與Dx=d有解，所以(C|c)=(D|d)=0.對(duì)于r≥1的情形，下面證明c=d，為此解線性方程組Cx=c，把非零行的首1元素對(duì)應(yīng)的未知量保留在方程左邊，其余項(xiàng)移到方程右邊，得方程組Cx=c的解.

所以ci=di=0(n

當(dāng)r

xji=ci(1≤i≤r)，xj=0(j∈{1，2，…，n}-{j1，j2，…，jr}).

因?yàn)镃x=c與Dx=d同解，所以，它也是Dx=d的解，將此解代入Dx=d的第i(1≤i≤r)個(gè)方程中得到ci=di.因?yàn)镃x=c與Dx=d有解，所以

R(C|c)=R(D|d)=r，

這樣對(duì)于r

例如，如果

和

有解且同解，那么由兩個(gè)方程組的第二個(gè)方程可見(jiàn)c2=d2=0.第一個(gè)方程組的解為x1=c1-ax2，由此x2=0，x1=c1是第一個(gè)方程組的一個(gè)解，因?yàn)閮蓚€(gè)方程組同解，所以x2=0，x1=c1是第二個(gè)方程組的解，代入第二個(gè)方程組的第一個(gè)方程中得c1=d1；x2=1，x1=c1-a是第一個(gè)方程組的解，代入第二個(gè)方程組的第一個(gè)方程得c1-a=d1-b，因此a=b.于是

4 應(yīng) 用

由高斯消元法知，一般線性方程組的問(wèn)題可以化為系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣的線性方程組討論.

4.1 同型齊次線性方程組的同解性

對(duì)于齊次線性方程組，通過(guò)矩陣的初等行變換，把方程組的系數(shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，解此系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的齊次線性方程組得到原齊次線性方程組的解.因此，此系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的線性方程組蘊(yùn)含原方程組的信息.借助定理1可得到同解的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣間的關(guān)系.

推論1設(shè)A與B是m×n矩陣，如果Ax=0與Bx=0同解，那么A與B是行等價(jià)的.

證設(shè)A通過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣C，則A與C行等價(jià)，Ax=0與Cx=0同解；設(shè)B通過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣D，則B與D行等價(jià)，Bx=0與Dx=0同解；如果Ax=0與Bx=0同解，那么Cx=0與Dx=0同解.由定理1知C=D，從而由行等價(jià)的對(duì)稱性和傳遞性知A與B是行等價(jià)的.

高斯消元法表明，如果A與B行等價(jià)，那么Ax=0與Bx=0同解.推論1指出其逆命題也成立.因此，Ax=0與Bx=0同解的充分必要條件是A與B行等價(jià).

4.2 矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣唯一性的證明

根據(jù)系數(shù)矩陣行等價(jià)的齊次線性方程組同解，借助定理1可證矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣的唯一性.

推論2矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣唯一.

證設(shè)A是m×n矩陣，C與D都是A的行最簡(jiǎn)形矩陣，則齊次線性方程組Ax=0與Cx=0和Dx=0同解.由Cx=0與Dx=0同解，C與D都是行最簡(jiǎn)形矩陣，根據(jù)定理1得C=D.

4.3 同型非齊次線性方程組的同解性

通過(guò)線性方程組與系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形的線性方程組的聯(lián)系，借助定理2，可得同解線性方程組的增廣矩陣間的關(guān)系.

推論3設(shè)A與B是m×n矩陣，a與b是m維常數(shù)列向量.如果Ax=a與Bx=b有解并且同解，那么(A|a)與(B|b)是行等價(jià)的.

證設(shè)(A|a)通過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣(C|c)，則(A|a)與(C|c)行等價(jià)，Ax=a與Cx=c同解；設(shè)(B|b)通過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣(D|d)，則(B|b)與(D|d)行等價(jià)，Bx=b與Dx=d同解；如果Ax=a與Bx=b有解并且同解，那么Cx=c與Dx=d有解并且同解.由定理2知(C|c)=(D|d)，從而由行等價(jià)的對(duì)稱性和傳遞性知(A|a)與(B|b)是行等價(jià)的.

高斯消元法表明，如果(A|a)與(B|b)行等價(jià)，那么Ax=a與Bx=b同解.因此，如果Ax=a與Bx=b有解，那么Ax=a與Bx=b同解的充分必要條件是(A|a)與(B|b)行等價(jià).

4.4 任意線性方程組的同解性

因?yàn)樵诰€性方程組中添加方程0=0不改變方程組的解，在矩陣中減少0行不改變行向量組的等價(jià)性，因此由推論3可得如下推論.

推論4任意兩個(gè)線性方程組有解并且同解的充要條件是它們的增廣矩陣的行向量組等價(jià).

4.5 主元列的唯一性

輔助方程組方法將兩個(gè)矩陣聯(lián)系在了一起，為比較兩個(gè)行最簡(jiǎn)形矩陣帶來(lái)方便.輔助方程組方法也可用于行階梯形矩陣的比較.用輔助方程組方法可以證明：

推論5與一個(gè)矩陣行等價(jià)的任意兩個(gè)行階梯形矩陣的對(duì)應(yīng)非零行的首非零元素所在列的位置都相同.

事實(shí)上，設(shè)C與D都是與m×n矩陣A行等價(jià)的行階梯形矩陣，則方程組

Ax=0，Cx=0，Dx=0

同解.從而

同解，于是

把定理1證明“C與D的每個(gè)非零行的首1元素所在列的位置相同”的證明稍作修改，就可以證明C與D的對(duì)應(yīng)非零行的首非零元素所在列的位置都相同.

5 結(jié) 論

本文主要探討了系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣的線性方程組的同解性，并由此證明了線性方程組同解的充要條件和矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣的唯一性.得到的結(jié)論豐富了線性代數(shù)教材的內(nèi)容，對(duì)教學(xué)具有一定的參考價(jià)值.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).