強(qiáng)嵌入在群作用下的遺傳性質(zhì)*

李國(guó)強(qiáng)，王顯金

（1.貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025；2.重慶大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院，重慶 401331）

0 引言

在文[1]中，Gromov介紹了度量空間粗嵌入的概念，并指出度量空間粗嵌入到希爾伯特空間或者一致凸巴拿赫空間可能對(duì)粗幾何Novikov猜測(cè)具有重要幫助。隨后，在文[2]中，郁國(guó)樑證明了具有有界幾何的度量空間如果能夠粗嵌入到希爾伯特空間，則該空間上的粗Baum-Connes猜測(cè)成立，進(jìn)而粗Novikov猜測(cè)也成立。在文[2]中，郁還給出了順從性的推廣形式——性質(zhì)A，證明了具有性質(zhì)A的度量空間能夠粗嵌入到希爾伯特空間。后來，性質(zhì)A和粗嵌入得到了廣泛的研究。[3-6]在文[4]中，作者證明了性質(zhì)A在群擴(kuò)張下的保持性。和性質(zhì)A不一樣，粗嵌入在群擴(kuò)張下是不穩(wěn)定的。[7]在文[8]中，Ji，Ogle和W.Ramsey提出了強(qiáng)嵌入的概念，并證明了強(qiáng)嵌入在任何群擴(kuò)張下都是保持的。

強(qiáng)嵌入也是一種粗幾何不變量，它強(qiáng)于粗嵌入又弱于性質(zhì)A。在文[9]中，J.Xia和X.Wang研究了強(qiáng)嵌入的各種保持性問題和在有限分解復(fù)雜度下的不變性；在文[10]中，J.Xia和X.Wang研究了強(qiáng)嵌入在群作用下的遺傳性，本文中我們推廣了這個(gè)結(jié)論。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)離散度量空間。如果對(duì)任意R>0和x∈X，存在NR使得|B(x,R)|≤NR，其中|?|表示單位球B(x,R)中元素的個(gè)數(shù)，則稱X具有有界幾何。如果存在C>0使得對(duì)任意x,y∈X，總有d(x,y)≥C，則稱X是一致離散的。在本文中，我們假設(shè)所有的度量空間是一致離散的且具有有界幾何，這類空間包含許多有趣的例子，比如：有限生成群。設(shè)B是一個(gè)巴拿赫空間，為了書寫方便，我們記B1={η∈B:||η||=1}。對(duì)任意R,ε>0，稱映射ξ:X→B具有(R,ε)-變差，如果對(duì)任意x,y∈X，我們有d(x,y)≤R?||ξx-ξy||≤ε。

定義1[8]設(shè)X為度量空間，稱X是可強(qiáng)嵌入的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意R,ε>0，存在希爾伯特值映射β:X→(l2(X))1滿足：

(1)β具有(R,ε)-變差；

由性質(zhì)A和粗嵌入的等價(jià)定義知，強(qiáng)嵌入是介于二者之間的一種粗幾何性質(zhì)，強(qiáng)于粗嵌入而弱于性質(zhì)A。因此，可強(qiáng)嵌入且具有有界幾何的度量空間上的粗Baum-Connes猜測(cè)成立。

對(duì)一族度量空間來說，我們還經(jīng)常用到在某種一致控制意義下的強(qiáng)嵌入。

定義2[8]設(shè)(Xi)i∈I是一族度量空間，稱(Xi)i∈I是等度可強(qiáng)嵌入的，如果對(duì)任意R,ε>0，存在一族希爾伯特值映射βi:Xi→(l2(Xi))1滿足：

(1)對(duì)每個(gè)i∈I，βi都具有(R,ε)-變差；

設(shè)X是一個(gè)集合，?i:X→[0,1]是X上的一族連續(xù)函數(shù)，且滿足對(duì)任意x∈X，有，則我們稱{?i}i∈I為X上的一個(gè)單位分解。假設(shè)U={Ui}i∈I是X的一個(gè)覆蓋，X上的單位分解{?i}i∈I滿足對(duì)任意i∈I，supp?i?Ui，則我們稱{?i}i∈I為從屬于覆蓋U的單位分解。

引理1[10]設(shè)X為度量空間，如果對(duì)任意R,ε>0，存在X上的單位分解{?i}i∈I滿足：

(1)對(duì)任意x,y∈X，若d(x,y)≤R，則；

(2){?i}i∈I從屬于X的等度可強(qiáng)嵌入覆蓋U={Ui}i∈I，

則X是可強(qiáng)嵌入的。

設(shè)U={Ui}i∈I是度量空間X的一個(gè)覆蓋。對(duì)任意x∈X，如果x至多包含在U的k個(gè)元素中，則稱k為覆蓋U的重?cái)?shù)。設(shè)R>0，對(duì)X中任意一個(gè)以R為半徑的球B(R)，如果B(R)至多與U中的n個(gè)元素相交，則稱n為覆蓋U的R-重?cái)?shù)。設(shè)L>0，如果X中任意一個(gè)半徑不超過L的球都能包含在覆蓋U的某個(gè)元素中，則稱覆蓋U的勒貝格數(shù)為L(zhǎng)。如果對(duì)任意U′,V′∈U且U′≠V′我們有d(U′,V′)>L，則稱覆蓋U是L-分離的。

設(shè)k≥0,L>0，如果存在覆蓋U的一個(gè)劃分U=U0∪U1∪…∪Uk，且每個(gè)Ui，(i=0,1,…,k)是L-分離的，則稱覆蓋U是(k,L)-分離的。

注意到，如果X的覆蓋U是(k,2L)-分離的，則U的L-重?cái)?shù)≤k+1。

若令U(L)={x∈X:d(x,U)≤L}，UL={U(L):U(L)∈U}。如果X的覆蓋U的L-重?cái)?shù)≤k+1，則覆蓋UL的重?cái)?shù)≤k+1，勒貝格數(shù)為L(zhǎng)。

定義3[11]設(shè)X為度量空間，X具有有限漸近維，如果存在k≥0使得對(duì)任意L>0，存在X的一個(gè)勒貝格數(shù)至少為L(zhǎng)、重?cái)?shù)為k+1的一致有界覆蓋。則滿足上述條件的最小的k稱為X的漸近維數(shù)，記asdimX=k。

引理2[11]設(shè)X為度量空間，U={Ui}i∈I是X上重?cái)?shù)為k，勒貝格數(shù)為L(zhǎng)的覆蓋。則存在從屬于覆蓋U的單位分解{?i}i∈I使得對(duì)任意x,y∈X，有

下面將介紹群的粗?jǐn)M作用(coarse quasi-action)的概念，它是群的擬作用的推廣。[12]

(1)f是恰當(dāng)?shù)?proper)，如果對(duì)Y中任意有界子集B，逆像f-1(B)在X中是有界的。

(2)f是擴(kuò)張的，如果存在非減函數(shù)γ:[0,∞]→[0,∞]使得對(duì)任意x,x′∈X，有

(3)如果f既是恰當(dāng)?shù)挠质菙U(kuò)張的，則f稱為粗映射。

兩個(gè)映射f,f′:X→Y被稱為相近的(close)，如果存在常數(shù)C≥0，使得d(f,f′)≤C。X,Y是粗等價(jià)的(coarse equivalent)，如果存在粗映射f:X→Y和粗映射f′:Y→X，使得f°g和g°f分別與Y和X上的恒等映射是相近的。

定義5[13]稱映射f:G×X→X為群G度量空間X上粗?jǐn)M作用，如果對(duì)每個(gè)g∈G，fg:X→X是粗等價(jià)映射且滿足

(1)所有的fg都是粗映射，且存在非減函數(shù)γ:[0,∞]→[0,∞]使得對(duì)任意g∈G，有

(2)存在一個(gè)數(shù)A≥0使得d(fid,idX)≤A；

(3)存在一個(gè)數(shù)B≥0使得對(duì)任意g,h∈G，有d(fg°fh,fgh)≤B。

玉米淀粉經(jīng)過擠壓蒸煮后，糊化度明顯升高，糊化度能達(dá)到90%以上。玉米淀粉經(jīng)過擠壓機(jī)的擠壓和閃蒸后，在室溫下冷卻，這為RS3的形成提供了條件[9]。濾餅中RS3數(shù)量多，則產(chǎn)生的葡萄糖相應(yīng)減少，影響經(jīng)濟(jì)效益，因而需要尋找較優(yōu)的系統(tǒng)參數(shù)組合，使產(chǎn)生的RS3質(zhì)量分?jǐn)?shù)最少。

從上述定義，我們知道，對(duì)任意g∈G，有

2 主要結(jié)果

在這一部分，我們將推廣文[13]中的結(jié)論。首先回顧擬穩(wěn)定子的概念。設(shè)G是一個(gè)有限生成群且粗?jǐn)M作用在度量空間X上，選定X中一點(diǎn)x0。對(duì)T>0，群作用的擬穩(wěn)定子為

另外，我們總是可以把G看成帶有字長(zhǎng)度量的度量空間。

定理1設(shè)G是一個(gè)有限生成群且粗?jǐn)M作用在度量空間X上。如果X具有有限漸近維，且存在X中一點(diǎn)x0使得對(duì)任意T>0，擬穩(wěn)定子WT(x0)是可強(qiáng)嵌入的，則G是可強(qiáng)嵌入的。

證明：

由于軌道Gx0是X的子空間，所以Gx0也具有有限漸近維。不失一般性，我們可以假設(shè)G在X上的作用是傳遞的。

設(shè)S是G一個(gè)對(duì)稱有限生成集，d是相對(duì)于S的字長(zhǎng)度量。令

定義映射π:G→X為π(g)=gx0。如 果G等距作 用在X上，則π:G→X是λ-李普 希茨。但在命 題的條 件下，π:G→X是γ(λ)-李普希茨，其中γ滿足定義5(1)。事實(shí)上，對(duì)任意g∈G和s∈S，我們有

假設(shè)asdimX≤k，給出L>0。由定義3知，存在X的一個(gè)勒貝格數(shù)為L(zhǎng)、重?cái)?shù)為k+1的一致有界覆蓋U={Ui}i∈I，記覆蓋U的L-鄰域?yàn)棣?{Vi}i∈I，則ν也是X的一個(gè)重?cái)?shù)為k+1的覆蓋。因?yàn)棣褪且恢掠薪绲?，則對(duì)任意i∈I，存在T>0和xi∈Xi使得Vi?B(xi,T)。

另一方面，我們可取gi∈G使得xi=gi x0。由定義5，我們有d(g-1i xi,x0)≤A+B，

則

由π:G→X的定義知，

所以我們得到g-1i(Vi)=WA+B+γ(T)(x0)。

注意到{π-1(Vi)}i∈I與WA+B+γ(T)(x0)的一族子空間等距。因?yàn)閃A+B+γ(T)(x0)是可強(qiáng)嵌入的，則我們有{π-1(Vi)}i∈I是等度可強(qiáng)嵌入的。同理，{π-1(Ui)}i∈I也是等度可強(qiáng)嵌入的且覆蓋G。

我們將利用引理1來完成證明。對(duì)任意R,ε>0，令L≥。

由于U是X的一個(gè)勒貝格數(shù)為L(zhǎng)、重?cái)?shù)為k+1的一致有界覆蓋，由引理2知，存在從屬于覆蓋U的單位分解{?Ui}Ui∈U滿足對(duì)任意x,y∈X，有

另外，因?yàn)閧π-1(Vi)}i∈I是等度可強(qiáng)嵌入的，則存在一族映射βi:π-1(Vi)→(l2(π-1(Vi)))1

使得對(duì)任意i∈I，βi具有-變差。對(duì)任意i∈I，定義映射φi:G→[0,1]為

下面我們證明{φi}i∈I是G上滿足引理1的單位分解。

首先，對(duì)任意g∈G，我們有

注意到suppφi?π-1(Ui)，則{φi}i∈I是G上的單位分解且從屬于覆蓋{π-1(Ui)}i∈I。

其次，對(duì)任意g,g′∈G,d(g,g′)≤R，如果g∈{π-1(Ui)}i∈I，則存在Ui使得π(g′)∈Ui(γ(λ)R)，其中，Ui(γ(λ)R)是Ui的γ(λ)R-鄰域。如果L足夠大，則

這樣我們有，

由引理1知，G是可強(qiáng)嵌入的。證畢。

因?yàn)橐?也適用于粗嵌入到希爾伯特空間和正合性(在具有有界幾何度量空間下和性質(zhì)A等價(jià))，[4]所以對(duì)于粗嵌入到希爾伯特空間和正合性具有類似的結(jié)論，具體描述如下:

定理2[4]設(shè)X為度量空間，如果對(duì)任意R,ε>0，存在X上的單位分解{?i}i∈I滿足：

(1)對(duì)任意x,y∈X，若d(x,y)≤R，則；

(2){?i}i∈I從屬于X的等度可粗嵌入的(等度正合的)覆蓋U={Ui}i∈I，

則X是可粗嵌入的(正合的)。

定理3設(shè)G是一個(gè)有限生成群且粗?jǐn)M作用在度量空間X上。如果X具有有限漸近維，且存在X中一點(diǎn)x0使得對(duì)任意T>0，擬穩(wěn)定子WT(x0)是可粗嵌入的(正合的)，則G是可粗嵌入的(正合的)。