時(shí)間分?jǐn)?shù)階Burger方程的精確表達(dá)式*

張練，劉小華，吳念，曾職云

（貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025）

非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程具有廣泛而豐富的應(yīng)用背景，又由于分?jǐn)?shù)階偏微分方程可以對(duì)復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行更精確的描述。如非布朗運(yùn)動(dòng)、信號(hào)處理、流體流動(dòng)等領(lǐng)域中的許多現(xiàn)象都可以用分?jǐn)?shù)階偏數(shù)分方程來描述。自1834年蘇格蘭工程師Russell發(fā)現(xiàn)一種稱為孤立波的非線性波以來，研究人員不斷地深入研究，從而對(duì)非線性波的研究進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)代。最近，對(duì)于分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程精確解的研究，產(chǎn)生了許多行之有效的方法,例如投設(shè)方法[1]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[2]、修正的試驗(yàn)方程法[3]、動(dòng)力系統(tǒng)分支方法[4-5]等。改進(jìn)的擴(kuò)展輔助方程映射法是一種求解非線性偏微分方程行波解的有效方法，Lu Dianchen[6]等首次運(yùn)用改進(jìn)的擴(kuò)展輔助方程映射法構(gòu)造了廣義ZK-BBM方程和改進(jìn)的C-H方程的孤立波解，Aly R.Seadawy[7]等通過改進(jìn)的擴(kuò)展輔助方程映射法得到非線性擴(kuò)散反應(yīng)(DR)方程的精確行波解、孤立波解。

本文利用改進(jìn)的擴(kuò)展輔助方程映射法考慮如下的非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階Burger方程[8]的精確行波解,

非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階Burger方程是黏性流體現(xiàn)象的一種模型，通過Cole-Hopf變換轉(zhuǎn)化成線性化熱方程，它是一類非常重要的非線性偏微分方程，Burger方程的行波解現(xiàn)已取得了許多重要的結(jié)果。趙昕,夏善磊[9]運(yùn)用子方程法得出分?jǐn)?shù)階Burgers方程和mKdV方程的精確行波解；李曉峰,韓家驊[10]通過擴(kuò)展的映射法得到了mKdV-Burgers方程的孤波解和周期波解；R.Saleh等[11]運(yùn)用奇異流形法得出方程(1)的精確解。本文先對(duì)方程(1)進(jìn)行分?jǐn)?shù)復(fù)變換，將其轉(zhuǎn)化為常微分方程，然后化為與之等價(jià)的平面動(dòng)力系統(tǒng)，利用平面動(dòng)力系統(tǒng)理論與方法進(jìn)行定性分析，給出行波解的存在性，最后利用改進(jìn)的擴(kuò)展輔助方程映射法得出方程(1)新的孤立波解的精確表達(dá)式。

1 方程(1)有界行波解的存在性

對(duì)(1+1)維非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階Burger方程(1)做分?jǐn)?shù)復(fù)變換[12]

其中l(wèi),λ是任意非零常數(shù)，則將方程(1)轉(zhuǎn)化為方程

對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行首次積分得

根據(jù)平面動(dòng)力系統(tǒng)理論[13]可知，如果J(ui,0)<0,則為鞍點(diǎn)，如果J(ui,0)>0,則為中心，如果J(ui,0)=0,則為尖點(diǎn)。

當(dāng)λ>0,l+λ>0時(shí)，(0,0)是鞍點(diǎn)，是中心；當(dāng)λ>0,l+λ<0時(shí)，(0,0)是中心，是鞍點(diǎn);

當(dāng)λ<0,l+λ>0時(shí)，(0,0)是中心，是鞍點(diǎn)；當(dāng)λ<0,l+λ<0時(shí)，(0,0)是鞍點(diǎn)，是中心;

當(dāng)λ≠0,l+λ=0時(shí)，是尖點(diǎn)。

則據(jù)不同參數(shù)條件下系統(tǒng)(4)的相圖如圖1所示。

由平面動(dòng)力系統(tǒng)理論與方法[13]可知，同宿軌對(duì)應(yīng)著方程(3)的鐘狀孤波解，異宿軌對(duì)應(yīng)著方程(3)的扭狀孤波解，閉軌對(duì)應(yīng)著方程(3)的周期解。因此根據(jù)圖1中的(a)~(e)的軌線可知，方程(3)的有界行波解的存在性結(jié)論為：

(1)系統(tǒng)(4)在λ>0,l+λ>0時(shí)，方程(3)存在一個(gè)鐘狀孤波解u(ξ),(u(ξ)→0,ξ→±∞)和無窮多個(gè)周期解(見圖1(a))。

(2)系統(tǒng)(4)在λ>0,l+λ<0時(shí)，方程(3)存在一個(gè)鐘狀孤波解和無窮多個(gè)周期解(見圖1(b))。

(3)系統(tǒng)(4)在λ<0,l+λ>0時(shí)，方程(3)存在一個(gè)鐘狀孤波解和無窮多個(gè)周期解(見圖1(c))。

(4)系統(tǒng)(4)在λ<0,l+λ<0時(shí)，方程(3)存在一個(gè)鐘狀孤波解u(ξ),(u(ξ)→0,ξ→±∞)和無窮多個(gè)周期解(見圖1(d))。

(5)系統(tǒng)(4)在λ≠0,l+λ=0時(shí)，方程(3)存在有界行波解(見圖1(e))。

圖1 系統(tǒng)(4)在不同參數(shù)條件下的相圖

由上面的定性分析可知，方程(3)存在四個(gè)鐘狀孤波解、無窮多個(gè)周期解和有界行波解，上述得知方程(3)的解的個(gè)數(shù)與行波解類型，下面將運(yùn)用改進(jìn)的擴(kuò)展輔助方程映射法討論方程(1)新的精確孤立波解。

2 改進(jìn)的擴(kuò)展輔助方程映射方法

考慮如下形式的非線性偏微分方程：

其中P是包含u(x,t)及其它的各導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)。

步驟1：對(duì)上述方程(7)做行波變換u(x,t)=u(ξ),ξ=lx+λt,其中l(wèi),λ是任意非零常數(shù)；將上述方程(7)轉(zhuǎn)化為如下的常微分方程：

其中F是包含u(x,t)及其它的各導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)。

步驟2：假設(shè)方程(8)有如下形式的解：

其中ai,bi,ci,di為待定系數(shù)，將在后面給出，n由齊次平衡原則確定；ψ(x),ψ′(x)滿足如下常微分方程

其中a,b,c是常實(shí)數(shù)，方程(10)的解見文獻(xiàn)[14],在第3部分僅用其中孤立波形式的解。

步驟3：將方程(9),(10)代入方程(8),令ψi(ξ)ψ′j(ξ),(i=-n,-n+1,…,n-1,n;j=0,1)的每個(gè)多項(xiàng)式等于零，結(jié)合Maple軟件解這個(gè)代數(shù)方程組，得到ai,bi,ci,di,l,λ的值。

步驟4：將步驟3得到的值與ψi(ξ)ψ′j(ξ),(i=-n,-n+1,…,n-1,n;j=0,1)代入假設(shè)(9),從而得到方程(8)的解，又根據(jù)行波變換進(jìn)而可得方程(7)的有界行波解。

3 方程(1)的孤立波解的精確表達(dá)式

下面利用改進(jìn)的輔助方程映射法來討論方程(1)的孤波解，由方程(3)的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u″(ξ)與最高階非線性項(xiàng)u2(ξ)的平衡原則,有n+2=2n得n=2,則可假設(shè)方程(3)的解有如下形式：

將(10)，（11）代入方程(3),合并ψi(ξ)ψ′j(ξ),(i=-4,-3,…,3,4;j=0,1)的同類項(xiàng)，并令每個(gè)代數(shù)方程組等于零，結(jié)合Maple軟件解這個(gè)代數(shù)方程組，求得參數(shù)a0,a1,a2,b1,b2,c2,d1,d2,λ,a,b的值。下面情形中沒有寫出的a,λ為任意非零常數(shù)，,其中ξ0=0,根據(jù)參數(shù)的不同，得到7組不同情形如下：

情形1：

由（10）,(12)的解代入假設(shè)(11)中可得方程(3)的孤立波解,又根據(jù)分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)進(jìn)而可得方程(1)的孤立波解為

情形2:

由(10)，（16）的解代入假設(shè)(12)中可得方程(3)的孤立波解,又根據(jù)分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)進(jìn)而可得方程(1)的孤立波解為

運(yùn)用Maple軟件得出(18)式解的平面圖與三維圖(圖2)：,η=-2

圖2 其中ε=8,a=2,c=2,a0=2,l=1,λ=4,θ=

情形3：

由（10）,(20)的解代入假設(shè)(11)中可得方程(3)的孤立波解,又根據(jù)分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)進(jìn)而可得方程(1)的孤立波解為

情形4：

由(10),(24)的解代入假設(shè)(11)中可得方程(3)的孤立波解,又根據(jù)分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)進(jìn)而可得方程(1)的孤立波解為

運(yùn)用Maple軟件得出(25)式解的平面圖與三維圖(見圖3)：

圖3 其中取ε=8,a=2,c=2,b=0,a0=0.5357,l=1,λ=4,θ=

情形5：

由(10)，（28）的解代入假設(shè)(11)中可得方程(3)的孤立波解,又根據(jù)分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)進(jìn)而可得方程(1)的孤立波解為

情形6：

由（10），（32）的解代入假設(shè)(11)中可得方程(3)的孤立波解,又根據(jù)分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)進(jìn)而可得方程(1)的孤立波解為

運(yùn)用Maple軟件得出(35)式解的平面圖與三維圖(見圖4)：-1,c2=-2,d2=2,λ=-,θ=,p=2,η=-2

圖4 其中取ε=8,l=1,c=2,a=

情形7：

由（10），（36）的解代入假設(shè)(11)中可得方程(3)的孤立波解,又根據(jù)分?jǐn)?shù)復(fù)變換(2)進(jìn)而可得方程(1)的孤立波解為

注1：其中的ε,η,p的值是據(jù)參考文獻(xiàn)[7]中平方項(xiàng)DR方程的對(duì)應(yīng)系數(shù)取值。

4 結(jié)論

本文通過平面動(dòng)力系統(tǒng)理論與方法以及改進(jìn)的輔助方程映射法討論時(shí)間分?jǐn)?shù)階Burger方程解的存在性及21個(gè)有界行波解，所得鐘狀孤波解都是通過cothξ,sinhξ,coshξ,cschξ形式組合，經(jīng)查閱文獻(xiàn)得知，這種方法得出方程(1)的解的形式是首次得到的，運(yùn)用此方法擴(kuò)展了方程(1)的解系；通過對(duì)方程(3)進(jìn)行定性分析，還知有無窮多個(gè)周期波解，通過此方法能夠求出其部分周期解，已有文獻(xiàn)對(duì)方程(1)周期波解進(jìn)行研究，本文沒有給出其周期波解。