廣義Fibonacci數(shù)列的若干和公式

曾文建

(福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,福建 福州 350007)

Fibonacci數(shù)列是典型的遞推關(guān)系數(shù)列,在數(shù)學(xué)理論研究和實際應(yīng)用中起著重要的作用,不少學(xué)者重視該數(shù)列并對其特性進行了深入細致的研究,得到許多重要、有趣的性質(zhì)[1-3],使其在優(yōu)選法、計算機科學(xué)、人口理論、最優(yōu)化理論、數(shù)據(jù)處理等領(lǐng)域得到廣泛的運用。廣義Fibonacci數(shù)列形式多樣,有很多好的性質(zhì)[4-5],學(xué)者們也推出一些很好的恒等式，如文獻[6-7]給出廣義Fibonacci數(shù)列的一些組合恒等式,文獻[8-9]給出廣義Fibonacci數(shù)的若干恒等式。筆者利用遞推關(guān)系對廣義Fibonacci進一步研究,得到一些新的和公式。

1 預(yù)備知識

定義[10]如果對任意實數(shù)a,b及n=1,2,3,…, 有F0=0,F1=1,…，F(xiàn)n+1=aFn+bFn-1,稱該數(shù)列為廣義Fibonacci數(shù)列。

+3a(-b)nFn。

2 定理證明

+b5k+1F3+…+b(n+2)k+1Fn

=ab2k+b3k(aF2+bF1)+b4k(aF3+bF2)+…+b(n+1)k(aFn+bFn-1)+b(n+2)k+1Fn

=ab2k+b3kF3+b4kF4+…+b(n+1)kFn+1+b(n+2)k+1Fn

由定義有F1=1,F2=a,代入上式,移項化簡得

證明:令u=bkF1+b2kF3+…+bnkF2n-1,

v=bkF2+b2kF4+…+bknF2n。

則(1-bk+1)u=bkF1+b2kF3+…+bnkF2n-1

-(b2k+1F1+b3k+1F3+…+b(n+1)k+1F2n-1)

=bkF1+b2k(F3-bF1)+b3k(F5-bF3)+…

+bkn(F2n-1-bF2n-3)-bk(n+1)+1F2n-1

=bkF1+b2kaF2+b3kaF4+…+bknaF2n-2

-bk(n+1)+1F2n-1

=bkF1+abk(bkF2+b2kF4+…+bk(n-1)F2n-2)

-bk(n+1)+1F2n-1

=bk+abkv-bk(n+1)aF2n-bk(n+1)+1F2n-1

=bk+abkv-bk(n+1)(aF2n+bF2n-1)

=bk+abkv-bk(n+1)F2n+1。

(1-bk+1)v=bkF2+b2kF4+…+bknF2n-(b2k+1F2

+b3k+1F4+…+b(n+1)k+1F2n)

=bkF2+b2k(F4-bF2)+b3k(F6-bF4)+…

+bkn(F2n-bF2n-2)-b(n+1)k+1F2n

=bkF2+b2kaF3+b3kaF5+…+bknaF2n-1

-bk(n+1)+1F2n

=bkF2+au-abkF1-bk(n+1)+1F2n,由定義有

F1=1,F2=a,代入得

(1-bk+1)v=au-bk(n+1)+1F2n,

當(1-bk+1)2-a2bk≠0時, 令D=(1-bk+1)2-a2bk,

=bk-b2k+1-bk(n+1)F2n+1+bkn+2k+1F2n+1

-abkn+2k+1F2n

=bk-b2k+1-bk(n+1)F2n+1+bkn+2k+2F2n-1,

=-bk(n+1)+1F2n+bkn+2k+2F2n+abk-abk(n+1)F2n+1

=abk-bk(n+1)(aF2n+1+bF2n)+bkn+2k+2F2n

=abk-bk(n+1)F2n+2+bkn+2k+2F2n。

(1)

(2)

由(1)+(2)得

定理得證。

(3)

(4)

由(3)-(4)得

由引理2得

由引理3,代入上式化簡得