高階線性Gronwall不等式的推廣及應用

廖玲藍,王朋杰,張 潔

(貴州師范大學 數(shù)學科學學院，貴州 貴陽 550025)

數(shù)學物理方程的能量估計[1]和解的存在唯一性[2]是微分方程最重要的內(nèi)容之一，而微分與積分形式的Gronwall不等式[3-4]求解思想是得到能量估計和解的存在唯一性的關鍵，該方法是通過指數(shù)函數(shù)求導來求解方程的。由于方程因時間和空間變化的多樣性，一階線性Gronwall不等式不能滿足現(xiàn)階段方程的需求，因此相關的高階線性Gronwall不等式[5-9]求解方法的研究受到了學者的極大關注。文獻[3]研究了含有2個函數(shù)的一階線性Gronwall不等式；文獻[4]研究了二階線性常數(shù)項Gronwall不等式；文獻[5]研究了含有一階、二階、常數(shù)項的Gronwall不等式。本文在文獻[3-5]的基礎上進行推廣，構造三階或者含有2個函數(shù)的方程，通過一階線性Gronwall不等式求解方法實現(xiàn)對高階線性Gronwall不等式的求解，最后將得到的解結(jié)合實例來具體分析。

1 Gronwall不等式的主要性質(zhì)

引理1[1](Gronwall不等式)令η(·)是[0,T]上的非負絕對連續(xù)函數(shù)，滿足幾乎處處于t的導數(shù)不等式η′(t)≤φ(t)η(t)+ψ(t)，其中ψ(t)是φ(t)非負可積函數(shù)，則

0≤t≤T。

2 高階Gronwall不等式的推廣與證明

Gronwall 不等式的廣泛應用解決了大量微分方程問題。例如一階Gronwall不等式用于解決常微分中解的唯一性問題；二階Gronwall不等式能更好解決方程的能量估計問題等；而對于三階Gronwall不等式只含一個函數(shù)時，目前的研究還不是很完善。下面本文接著討論三階線性并含有2個函數(shù)的Gronwall不等式，從而得到了類似于二階Gronwall不等式的結(jié)果。

(1)

則存在常數(shù)m1,m2使得

+k4)dξ，

證明文獻[5]研究g(t)=u(t)的情況，并且得到了結(jié)果u(t)≤c,c為正常數(shù)。下證g(t)≠u(t)的情況。

由于k1>0，則存在正常數(shù)a>0，使得m1=k1-a>0，在式(1)的兩端乘e-at，則

k3e-atg(t)+k4e-at;

(2)

在式(2)的兩端減ae-atu″(t)，則

(3)

令F(t)=e-atu″(t),G1(t)=k2e-atu′(t)+

k3e-atg(t)+k4e-at，由u″(0)=0得到F1(0)=0,從而式(3)可整理為

(4)

在式(4)的兩端減ae-atu′(t)，則

(5)

由u′(0)=0得F2(0)=0,從而式(5)可整理為

代入F2(t),G2(t)以及引理2得

整理并且對t∈[0,T]積分，代入u(0)=0得

+k4)dξ,

一般高階Gronwall不等式的“高”只會體現(xiàn)在u(t)上，對于含有2個函數(shù)的不等式，文獻[5]已經(jīng)討論了g(t)為常數(shù)或者是一階線性函數(shù)的情況，下面討論g(t)為二階線性函數(shù)的情況，得到類似g(t)為一階線性函數(shù)的結(jié)果。

定理2設u(t),g(t)滿足

(6)

且g(t)≥0,c2<0,c1為正常數(shù)，u″(0)=u′(0)=

u(0)=0，g′(0)=g(0)=0,則存在正常數(shù)c，使得

u(t)≤0。

證明整理(6)得

(7)

在式(7)的兩端乘e-c2t，則

(e-c2tu″(t)+e-c2tg′(t))′≤c1e-c2t

+((c2e-c2tu(t))′+c2e-c2tu′(t)+c2e-c2tg(t))′；

(8)

式(8)兩端在t∈[0,T]上積分，并且?guī)脒呏禇l件有

(9)

式(9)兩端在t∈[0,T]上積分，代入邊值條件并且消去e-c2t，有

由c1>0,c2<,g(t)≥0得

由引理1得u(t)≤c。

對于二階連續(xù)可微函數(shù)，當g(t)=c=常數(shù)時，文獻[4]已經(jīng)得到通解，下面將討論如何在g(t)≠c的情況，得到類似文獻[4]的結(jié)果。

定理3設u(t)是定義在[0,T]上的二階連續(xù)可微函數(shù),g(t)在[0,+∞]上可積，存在正常數(shù)c，使得

(10)

證明在式(10)的兩端乘ec1t，則

u″(t)ec1t≤cu(t)ec1t+g(t)ec1t,

上式對t∈[0,T]積分，由分部積分公式得

u′(t)ec1t-u(0)≤c1u(t)ec1t-c1u(0)

(11)

在式(11)的兩端乘e-2c1t，則

u′(t)e-c1t-u′(0)e-2c1t≤c1u(t)e-c1t

上式對t∈[0,T]積分并且使用分部積分公式得

整理化解后得

3 應用舉例

最后本文將討論以上定理在雙曲型能量估計不等式中的應用。

(12)

利用格林公式進行分部積分，并且代入初邊值條件得

(13)

(14)

(15)

其中c1為一個與u無關的函數(shù)，由弗里德里克斯不等式[2]得

(16)

由Young不等式[1]得

(17)

將(14)～(17)代入(13)有

其中c是與u無關的正常數(shù)，由引理1得

4 結(jié)語

本文主要是對u(t)、g(t)進行推廣改進，將一階、二階線性形式函數(shù)u(t)推廣到三階線性形式，將常數(shù)形、一階線性形式函數(shù)g(t)推廣到二階線性形式，從而得到與文獻[3]～[5]類似的估計。根據(jù)本文推廣的形式，后續(xù)可以繼續(xù)改進推廣到更高階線性形式。